数学必修 第四册11.2 平面的基本事实与推论随堂练习题

11.2 平面的基本事实与推论

一、选择题

1．下列说法正确的是（    ）

A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形

C．梯形一定是平面图形 D．共点的三条直线确定一个平面

【答案】C

【解析】对于A，由公理3知，不共线的三点确定一个平面，故A不正确；

对于B，四边形有平面四边形和空间四边形，由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形，故B不正确；对于C，再同一个平面内，只有一组对边平行的四边形为梯形，故C正确；

对于D，当三条直线交于一点时，三条直线有可能不共面，故D不正确.故选C.

2．如图所示，，，，，，则平面和平面的交线是（    ）

A．直线 B．直线

C．直线 D．直线

【答案】D

【解析】∵，，∴，又，∴．又平面，∴为平面与平面的交线．故选D

3．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．非充分非必要条件

【答案】A

【解析】由题意，根据直线和直线外的一点，有且只有一个平面，所以“这四个点中有三点在同一直线上”，则“这四个点在同一平面上”，反之不一定成立，所以“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的充分非必要条件，故选A．

4．如图，四棱锥，， 是 的中点，直线交平面 于点 ，则下列结论正确的是（  ）

A． 四点不共面 B． 四点共面

C． 三点共线 D． 三点共线

【答案】D

【解析】直线与直线交于点，所以平面与平面交于点O，所以必相交于直线，直线在平面内，点故面，故四点共面，所以A错．点若与共面，则直线在平面内，与题目矛盾，故B错．为中点，所以，，故，故C错．故选D．

5．（多选题）下列说法中错误的是（    ）

A．不共面的四点中，任意三点不共线

B．三条两两相交的直线在同一平面内

C．有三个不同公共点的两个平面重合

D．依次首尾相接的四条线段不一定共面

【答案】BC

【解析】由公理2易知选项AD正确；对于选项B：如正方体中，具有同一顶点的三条棱不在同一平面内，故选项B错误;对于选项C:三个不同的公共点可在两平面的交线上.,故选项C错误;

6．（多选题）已知表示不同的点，表示直线，表示不同的平面，则下列推理正确的是（    ）

A．，，，

B．，，，

C．，

D．，,

【答案】ABD

【解析】对于选项A:由公理1知,,故选项A正确;对于选项B：因为表示不同的平面，由公理3知,平面相交,且,故选项B正确;对于选项C:分两种情况:与相交或.当与相交时，若交点为A，则，故选项C错误；对于选项D：由公理1逆推可得结论成立,故选项D成立;故选:ABD

二、填空题

7．(1)平面平面_______;

(2)平面平面________.

【答案】    AC   

【解析】

由图可知，（1）平面平面，（2）平面平面 AC

8．如果a，b是异面直线，直线c与a，b都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有___________个.

【答案】2

【解析】

如图，空间三条直线中的一条直线与其他两条异面直线都相交，那么由这三条直线可确定平面的个数是两个.故答案为:2.

9．给出下列说法：

①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

④若一个四边形有三条边在同一个平面内，则第四条边也在这个平面内；

⑤点在平面外，点和平面内的任意一条直线都不共面.

其中所有正确说法的序号是______.

【答案】③④

【解析】①中线段可以与平面相交；②中的四边形可以是空间四边形；③中平行的对边能确定一个平面，所以是平行四边形；④中由四边形的三条边在同一个平面内，可知第四条边的两个端点也在这个平面内，所以第四条边在这个平面内；⑤中点和平面内的任意一条直线都能确定一个平面.

10．如图所示，在正方体中，点是棱的中点，动点在体对角线上（点与点，不重合），则平面可能经过该正方体的顶点是______.（写出满足条件的所有顶点）

【答案】

【解析】

见上面左图，取中点E，因为ME,所以A,M,E,四点共面，在平面两侧，所以和平面交于点N,此时平面AMN过点A, ;

见上面右图，取中点F,因为,所以四点共面，在平面两侧，所以和平面交于点N,此时平面AMN过点A, ;

综上，平面可能经过该正方体的顶点是.故答案为：

三、解答题

11．如图所示，直角梯形中，，是直角梯形所在平面外一点，画出平面和平面的交线，并说明理由.

【答案】见解析

【解析】由题意知，点是平面和平面的一个公共点，即点在交线上．由于，则分别延长和交于点，如图所示．∵，••平面，∴平面．

同理可证平面，∴点在平面和平面的交线上．

连接，故直线是平面和平面的交线．

12．如图所示，在正方体中，为的中点，为的中点.

求证：（1）四点共面；

（2）三线共点.

【答案】（1）见证明 （2）见证明

【解析】证明：（1）连接.

∵分别是和的中点，

∴.

又，

∴四边形是平行四边形，

∴，∴，

∴与确定一个平面，

∴四点共面．

（2）由（1）知，，且，

∴直线与必相交，设.

∵平面，，∴平面.

又平面，，

∴平面，即是平面与平面的公共点，

又平面平面，

∴，∴三线共点．