数学11.4.2 平面与平面垂直第1课时习题

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11.4.2 平面与平面垂直（1）【基础练习】一、单选题1．正方体的棱长为1，则二面角的余弦值为（   ）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，取中点，连结交于点，连结，，则，，所以即是二面角的平面角，又因正方体棱长为1，所以，所以，又，所以在，即二面角的余弦值为，故选A2．已知矩形的两边，，平面，且，则二面角的正切值为（   ）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示，在平面内，过作的垂线，垂足为，连接，因为平面， 平面，所以，因为， ，故平面，因为平面，故，所以为的平面角，在直角三角形中， ，，故，故，故选B. 3．下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系，其中正确的是(  )A．①③ B．②④C．③④ D．①②【答案】B【解析】对于①，显然混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对于②，由于a，b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角)，所以应是相等或互补，是正确的；对③，因为不垂直于棱，所以是错误的；④是正确的，故选B．4．在长方体的侧面中，与平面ABCD垂直的平面有（    ）个A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】如图在长方体中，侧棱与底面都是垂直的，所以侧面与底面ABCD垂直.平面、平面、平面、平面均与平面ABCD垂直.故选：D5．已知三棱锥A－BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有（  ）A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ADC⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ABC⊥平面ADB【答案】B【解析】画出图象如下图所示，由于，所以平面，而平面，所以平面平面.故选B.二、填空题6．如图所示，在三棱锥中，若，，是的中点，则下列命题中正确的是_______(填序号)． ①平面平面； ②平面平面；③平面平面，且平面平面； ④平面平面，且平面平面.【答案】③【解析】因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE．因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE．又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，故答案为：③．7．已知直线平面，直线在平面内，给出下列四个命题：①;②；③；④ ，其中真命题的序号是__________.【答案】①，④【解析】由直线m⊥平面α，直线n在平面β内，知：①∵α∥β，∴直线m⊥平面β，∴m⊥n，故①正确；②α⊥β⇒m与n相交、平行或异面，故②错误；③m⊥n⇒α与β相交或平行，故③错误；④∵m∥n，所以n⊥平面α，∴由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故④正确．故答案为①④．8．过正四棱锥的顶点与四个侧面所成的锐二面角都相等的平面有__________个.【答案】3.【解析】如图：，故过正四棱锥的顶点与四个侧面所成的锐二面角都相等的平面，根对称性可得：有面ABCD，面PAC,面PBD，故有三个面，答案为3 三、解答题9．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，求二面角的平面角的大小.【答案】二面角的平面角的大小为45°.【解析】，，.同理可证.，且平面平面.由平面，.又，平面平面.平面，.为二面角的平面角.在中，.∴二面角的平面角的大小为45°.10．如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点，且（1）求证：平面平面；（2）求证：∥平面.【答案】（1）见证明；（2）见证明【解析】 (1)证明：因为为棱的中点，且，所以，因为是直三棱柱，所以，因为，所以， 又因为，且，所以，因为，所以平面. (2)取的中点，连接和，因为为棱的中点，所以，且，因为是棱柱，所以，因为为棱的中点，所以，且， 所以，且，所以是平行四边形， 所以，又因为，所以.【提升练习】 一、单选题1．已知正三棱锥的所有棱长均为2，则侧面与底面所成二面角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图所示，过点作底面，点为垂足，连接，则，点为等边三角形的中心.延长交于点，连接.则.为侧面与底面所成二面角的平面角.∵正三棱锥的所有棱长均为2，.在中，，故选C.2．如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（    ）﹒A．平面PAC B． C． D．平面平面PBC【答案】C【解析】对于A，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，而底面圆面，则，又由圆的性质可知，且，则平面PAC.所以A正确；对于B，由A可知，由题意可知，且，所以平面，而平面，所以，所以B正确；对于C，由B可知平面，因而与平面不垂直，所以不成立，所以C错误.对于D，由A、B可知，平面PAC，平面，由面面垂直的性质可得平面平面PBC.所以D正确；综上可知，C为错误选项.故选：C.3．如图所示，在四面体中，若，，E是的中点，则下列结论中正确的是（    ）A．平面平面B．平面平面C．平面平面，且平面平面D．平面平面，且平面平面【答案】C【解析】因为，且是的中点，所以因为，且是的中点，所以又，平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.因为平面，所以平面平面.故选：C.4．若二面角为，直线，直线，则直线所成角的取值范围是 （ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，设上一点在平面内的垂足为，过点作交线的垂线，垂足为，连接，则可得是二面角的平面角，故，则．因为异面直线所成角最大为，而，所以当时，所成角取到最大值．而所在平面内的直线与所成的角中最小的角是线面角，所以当为直线或时，因为，所以此时所成角为，所成角的最小值为．所以所成角的取值范围为，故选C5．在三棱锥中，平面，，分别是的中点，，且.设与所成角为，与平面所成角为，二面角为，则（  ）A． B．C． D．【答案】A【解析】如图可知，，因为平面则，又由，故，则，同理可证得所以故选 二、填空题6．若四边形是正方形，平面，则在平面、平面、平面、平面和平面中，互相垂直的平面一共有_______对.【答案】5【解析】因为平面，平面，故，因为四边形为正方形，故，因，故平面，因平面，所以平面平面，同理平面平面，平面平面，而平面， 平面 ，故平面平面，同理平面平面，故共5对.填5.7．如图所示，在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，是上的一动点，当点满足条件①，②，③中的______时，平面平面（只要填写一个你认为是正确的条件序号即可）.【答案】②（或③）【解析】底面,,底面各边都相等,,,平面,,当(或时,即有平面,而平面,平面平面.故答案为:②(或③).8．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时，那么这个二面角大小是_________.【答案】60°【解析】很明显或其补角为所求二面角的平面角，设等腰直角△ABC的直角边长度为，则，由余弦定理可得：，则，△B’CD为等边三角形，据此可得，即所求二面角大小是60°. 三、解答题9．如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，平面，，为的中点，为底面对角线的交点；（1）求证：平面；（2）求二面角的正切值.【答案】（1）证明见详解（2）【解析】（1）如图，连接，为的中点，为菱形对角线的交点，为中点，，又平面，，又菱形的对角线互相垂直平分，，又，平面；（2）如图，设中点为，由底面为菱形可知，为等边三角形，，又平面，，平面，，为二面角的平面角，，故10．在四棱锥中，侧面PAD是等边三角形，且平面平面ABCD，，.（1）AD上是否存在一点M，使得平面平面ABCD；若存在，请证明，若不存在，请说明理由；（2）若的面积为，求四棱锥的体积.【答案】(1) 存在一点M为中点，使得平面平面ABCD，证明见详解；(2).【解析】（1）存在点为中点，使得平面平面ABCD，证明如下：取中点为，连接，如下图所示：因为为等边三角形，为中点，故可得；又因为平面平面ABCD，且交线为，又因为平面，，故可得平面，又平面，故可得平面平面，即证.（2）不妨设，故可得，由（1）可知为直角三角形，且，，故可得；在中，因为，则，则，故可得其面积，解得；故可得又由（1）可知，平面，故.故四棱锥的体积为.