人教B版 (2019)必修 第四册9.3 数学探究活动:得到不可达两点之间的距离练习题

2019-2020学年度高一下学期期中模拟试题（提升篇）

（总分：150分  时间：120分钟）

考试说明：

本试卷共150分.考试时间120分钟.

注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

本试卷主要考试内容：三角化简求值（30%），三角函数的图像和性质（40%），平面向量（30%）

一、选择题（每小题5分，共60分）

1.向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，(a＋b)⊥(2a－b)，则向量a与b的夹角为(　　)

A.45°   B.60°   C.90°   D.120°

【解析】　∵(a＋b)⊥(2a－b)，∴(a＋b)·(2a－b)＝0，

∴2a2－a·b＋2b·a－b2＝0，∴a·b＝0，∴向量a与b的夹角为90°.故选C.

【答案】　C

2.已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则θ的值为(　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】　由sin ＞0，cos ＜0知角θ是第四象限的角，

∵tan θ＝＝－1，θ∈[0，2π)，∴θ＝.

【答案】　D

3．已知，是方程x2＋3x＋4＝0的两根，若α，β∈，则α＋β＝(　　)

A.         B.或－π

C．－或π  D．－π

【解析】：由题意得＋＝－3，

＝4，

所以＜0，＜0，

又α，β∈，故α，β∈，

所以－π＜α＋β＜0。

又tan(α＋β)＝＝＝。

所以α＋β＝－。

【答案】：D              

4.已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且＝2，则向量＝(　　)

A.＋    B.＋

C.＋    D.＋

【解析】　如图，∵＝2，

∴＝＋＝＋

＝＋(－)＝＋.

【答案】　C

5.将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数在区间 和上均为单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A.               B.   

C.               D.

【答案】A

【解析】 ，其单调增区间为

即 ，选A.

6.已知函数的最小正周期为，若将其图像沿轴向右平移个单位（），所得图像关于原点对称，则实数的最小值为（   ）

A.             B.                  C.                    D.

【答案】A

【解析】，所以，将其图像沿轴向右平移个单位得，又图像关于原点对称，所以为奇函数，所以，由a>0,所以的最小值为

7.函数的（，）图象关于直线对称，且图像上相邻两个最高点的距离为，若，则(    )

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】 的图象两个相邻最高点的距离为 ， ,由图象关于直线对称，, ， 时， ， ， ，故选A.

8.定义域为的函数图像的两个端点为、，向量，是图像上任意一点，其中，若不等式恒成立，则称函数在上满足“范围线性近似”，其中最小正实数称为该函数的线性近似阈值.若函数定义在上，则该函数的线性近似阈值是（   ）

A． B． 

C． D．

【答案】B

【解析】

作出函数图像，它的图象在上的两端点分别为：,

所以直线的方程为：

设是曲线上的一点，，其中

由，可知三点共线，

所以点的坐标满足直线的方程，

又,,则

所以两点的横坐标相等.

故

函数在上满足“范围线性近似”

所以时，恒成立.

即：恒成立.

记，整理得：，

，当且仅当时，等号成立。

当时，

所以，所以.

即：

所以该函数的线性近似阈值是：

故选：B．

9.在平面上，⊥，|OB1|＝||＝1，＝＋.若||＜，则||的取值范围是(　　)

A.  B.

C.  D.

【答案】D　

【解析】根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图．设|AB1|＝a，|AB2|＝b，点O的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(a，b)，           

由||＝||＝1得

则

又由||＜，得(x－a)2＋(y－b)2＜，则1－x2＋1－y2＜，即x2＋y2＞①.

又(x－a)2＋y2＝1，得x2＋y2＋a2＝1＋2ax≤1＋a2＋x2，则y2≤1；

同理由x2＋(y－b)2＝1，得x2≤1，即有x2＋y2≤2②.

由①②知＜x2＋y2≤2，所以＜≤.

而||＝，所以＜||≤，故选D.

10.已知，把的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到的图象，若对任意实数，都有成立，则（    ）

A. 3    B. 4    C. 2    D.

【答案】B

11.若函数的图象关于直线对称，且当时，，则等于（   ）

A．                       B．                     C．                    D．

【分析】先借助函数的图象关于直线对称求出,由此可得函数的对称轴为,借助题设可知,从而求得,进而使得问题获解.

【解析】由题设可知函数得,即,故,所以,因此.由题设可知函数的对称轴为,当时, ,所以,所以,故应选C.

12.在平面内，定点满足，，动点满足，，则的最大值是（    ）

A．         B．       C.         D．

【答案】B

【解析】甴已知易得．以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则．设由已知，得，又，所以，所以，它表示圆上的点与点的距离的平方的，所以，故选B．

二、填空题（每小题5分，共20分）

13.已知函数f(x)＝sin(＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)在一个周期内的图象如图所示．若方程f(x)＝m在区间[0，π]上有两个不同的实数x1，x2，则x1＋x2的值为________．

答案　或π              

解析　由图象可知y＝m和y＝f(x)图象的两个交点关于直线x＝或x＝π对称，

∴x1＋x2＝或π.

14.如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若＝x＋y，则x＝________，y＝________.

【答案】　1＋　

【解析】　以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系如图，令AB＝2，则＝(2,0)，＝(0,2)，过D作DF⊥AB交AB的延长线于F，由已知得DF＝BF＝，则＝(2＋，)．

∵＝x＋y，∴(2＋，)＝(2x,2y)，即有解得

15.设函数f(x)＝sin(＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．

【答案】π

【解析】因为f(x)在区间上具有单调性，

所以≥－，即T≥.又f＝f，

所以x＝和x＝均不是f(x)的对称轴，其对称轴应为x＝＝.又因为f＝－f，且f(x)在区间上具有单调性，

所以f(x)的一个对称中心的横坐标为＝.

故函数f(x)的最小正周期T＝4×＝π.

16.设＝(－2,4)，＝(－a,2)，＝(b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为________．

【答案】

【解析】由题意得＝(－a＋2，－2)，＝(b＋2，－4)，

又∥，所以(－a＋2，－2)＝λ(b＋2，－4)，

即整理得2a＋b＝2，

所以＋＝(2a＋b)(＋)＝(3＋＋)≥(3＋2)＝(当且仅当b＝a时，等号成立)．

三、解答题（17、18、19题各/12分，20题12分，21题 12分，22题10 分共70分）

17.已知函数在区间上的最大值为2.

（1）求函数在区间上的值域；

（2）设，求的值.

.................5分

（2），

∴，   ...................................8分

，∴，

∴............................12分

18.在已知函数，(其中，，)的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为

（1）求的解析式；

（2）当时，求的值域；

（3）求在上的单调区间．

【答案】（1）；（2）；（3）见解析．

【解析】（1）由最低点为得．由轴上相邻两个交点之间的距离为，

得，即，∴．    .......................................2分

由点在图象上得，即，

故，∴，............................................4分

又，∴．故．....................................................5分

（2）∵，∴

当，即时，取得最大值2；

当，即时，取得最小值，

故的值域为． ...........................................................8分

（3）由的单调性知，即时，单调递增，所以在上单调递增，

结合该函数的最小正周期，在上单调递减．.............................................................12分

19已知a>0，函数f(x)＝－2a·sin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.

(1)求常数a，b的值；

(2)设g(x)＝f且lg g(x)>0，求g(x)的单调区间．

【答案】(1) a＝2，b＝－5   (2) ，k∈Z

【解析】(1)∵x∈，

∴2x＋∈.

∴sin∈，

∴－2asin∈[－2a，a]．

∴f(x)∈[b，3a＋b]，

又∵－5≤f(x)≤1，

∴b＝－5，3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5..................................................5分

(2)由(1)得，f(x)＝－4sin－1，

g(x)＝f

＝－4sin－1

＝4sin－1，又由lg g(x)>0，得g(x)>1，....................................................7分

∴4sin－1>1，

∴sin>，

∴2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，................................................8分

其中当2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，

g(x)单调递增，即kπ<x≤kπ＋，k∈Z，

∴g(x)的单调增区间为，k∈Z...................................................................10分

又∵当2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z时，

g(x)单调递减，即kπ＋<x<kπ＋，k∈Z.

∴g(x)的单调减区间为，k∈Z.........................................................12分

20.在中，角，，的对边分别为，，，向量，

，满足．

（1）求角的大小；

（2）设，，有最大值为，求的值．

【答案】（1）；（2）或．

【解析】（1）由条件，两边平方得，

又，，代入得，

根据正弦定理，可化为，即，

又由余弦定理，所以，．..................................5分

（2），，，

，而，，........................7分

①时，取最大值为，．...........................................8分

②时，当时取得最大值，解得或，

（舍去）．..................................................10分

③时，开口向上，对称轴小于0当取最大值，（舍去），

综上所述，或．.................................................12分

21.已知函数.

（1）求的单调递减区间；

（2）若对于任意，都有成立，求实数的取值.

【答案】（1）；  （2）.

【解析】（Ⅰ）.

因为函数的单调递减区间为．

由，

得．

所以的单调递减区间为．.................................................5分年

.............................................12分

考点：1.三角恒等变换公式；2.正弦型函数图像及性质.

22.已知函数．

（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；

（2）若，且的最小值是，求实数的值．

【答案】(1)，；(2).

【解析】

（1）∵

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

由得，

∴函数的单调增区间为．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

∵，∴，∴．．．．．．．．．．．．．．8分

①当时，当且仅当时，取得最小值-1，这与已知不相符；．．．．．9分

②当时，当且仅当时，取最小值，由已知得，

解得；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

③当时，当且仅当时，取得最小值，由已知得，解得，这与相矛盾，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

综上所述，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分