高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第九章 统计9.2 用样本估计总体导学案及答案

【新教材】 9.2.3 总体集中趋势的估计

（人教A版）

1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(众数、中位数、平均数)．

2.会求样本数据的众数、中位数、平均数．

3.理解集中趋势参数的统计含义.

1．数学运算：求样本数据的众数、中位数、平均数；

2. 数据分析：频率分布直方图中的众数、中位数、平均数.

重点：求样本数据的众数、中位数、平均数.

难点：求样本数据的众数、中位数、平均数.

一、    预习导入

阅读课本203-207页，填写。

1．众数、中位数、平均数定义

(1)众数：一组数据中重复出现次数       的数．

(2)中位数：把一组数据按              的顺序排列，处在       位置(或中间两个数的         )的数叫做这组数据的中位数．

(3)平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数．

2.频率分布直方图中的众数、中位数、平均数

①在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标；

②中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；

③平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．

1．判断下列说法是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)改变一组数据中的一个数，则这些数据的平均数一定会改变．(　　)

(2)改变一组数据中的一个数，则其中位数也一定会改变．(　　)

(3)在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标．(　　)

2．已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是(　　)

A．平均数>中位数>众数

B．平均数<中位数<众数

C．中位数<众数<平均数

D．众数＝中位数＝平均数

3．已知一组数据为－3,5,7，x,11，且这组数的众数为5，那么该组数据的中位数是(　　)

A．7  B．5

C．6  D．11

4．如果5个数x1，x2，x3，x4，x5的平均数为7，那么x1＋1，x2＋1，x3＋1，x4＋1，x5＋1这5个数的平均数是________．

题型一  平均数、中位数、众数在具体数据中的应用

例1 某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)：

甲群：13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；

乙群：54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.

(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？

(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？

跟踪训练一

1.　某校在一次考试中，甲、乙两班学生的数学成绩统计如下：

选用平均数与众数、中位数评估这两个班的成绩．

题型二  在频率分布直方图中求平均数、中位数、众数

例2　某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．

(1)求这次测试数学成绩的众数；

(2)求这次测试数学成绩的中位数；

(3)求这次测试数学成绩的平均分．

解题技巧 (知频率分布直方图中求平均数、中位数、众数)

(1)众数：频率分布直方图中，最高矩形的底边中点的横坐标．

(2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数．

(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和．

跟踪训练二

1.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间分别是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．

(1)求图中a的值；

(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均数、众数和中位数(要求写出计算过程，结果保留一位小数)．

1．期中考试以后，班长算出了全班40人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M∶N的值为（   ）

A． B．1 C． D．2

2．在某次考试中，共有100个学生参加考试，如果某题的得分情况如表：

那么这些得分的众数是（   ）

A．37.0% B．20.2% C．0分 D．4分

3．一组样本数据10，23，12，5，9，，21，，22的平均数为16，中位数为21，则________．

4．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…[90,100]后画出如下频率分布直方图．估计这次考试的平均分为________．

5．一次数学测验中，全班名学生的数学成绩的频率分布直方图如下，已知分数在的学生数有14人.

（1）求总人数和分数在的人数；

（2）利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数，平均数各是多少？

答案

小试牛刀

1.  （1）√ (2)×（3）√ .

2． D.

3． B.

4.  8

自主探究

例1 【答案】(1)甲中位数为15岁，众数为15岁．都能较好地反映甲群市民的年龄特征．

(2)中位数为5.5岁，众数为6岁．中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．

【解析】(1)甲群市民年龄的平均数为＝15(岁)，

中位数为15岁，众数为15岁．平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征．

(2)乙群市民年龄的平均数为＝15(岁)，

中位数为5.5岁，众数为6岁．

由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．

跟踪训练一

1.　【答案】见解析

【解析】甲班平均数79.6分，乙班平均数80.2分，从平均分看成绩较好的是乙班；

甲班众数为90分，乙班众数为70分，从众数看成绩较好的是甲班；

按从高到低(或从低到高)的顺序排列之后，甲班的第25个和第26个数据都是80，所以中位数是80分，同理乙班中位数也是80分，但是甲班成绩在中位数以上(含中位数)的学生有31人，占全班学生的62%，同理乙班有27人，占全班学生的54%，所以从中位数看成绩较好的是甲班．

如果记90分以上(含90分)为优秀，甲班有20人，优秀率为40%，乙班有24人，优秀率为48%，从优秀率来看成绩较好的是乙班．可见，一个班学生成绩的评估方法很多，需视要求而定．如果不考虑优秀率的话，显然以中位数去评估比较合适．

例2　【答案】(1) 75.(2) 73.3.(3)72.

【解析】(1)由图知众数为＝75.

(2)由图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3,0.3＋0.4＞0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.

(3)由图知这次数学成绩的平均分为：

×0.005×10＋×0.015×10＋×0.02×10＋×0.03×10＋×0.025×10＋×0.005×10＝72.

跟踪训练二

1.【答案】(1)a＝0.005.(2)平均数73(分)，众数65(分)．中位数71.7(分)．

【解析】 (1)由频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，得10(2a＋0.02＋0.03＋0.04)＝1，解得a＝0.005.

(2)这100名学生语文成绩的平均数为55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73(分)，

众数为＝65(分)．

∵这100名学生语文成绩在[50,70)的频率为(0.005＋0.04)×10＝0.45，

这100名学生语文成绩在[70,80)的频率为0.03×10＝0.3，

∴这100名学生语文成绩的中位数为70＋10×≈71.7(分)．

当堂检测 

1-2. BC

3. 0

4. 71分.

5．【答案】（1）40，4

（2）众数为107.5，中位数分别是110，平均数为111

【解析】（1）分数在内的学生的频率为，

所以该班总人数为.

分数在内的学生的频率为：

，

分数在内的人数为.

（2）由频率直方图可知众数是最高的小矩形底边中点的横坐标，即为.

设中位数为，∵，∴.

∴众数和中位数分别是107.5，110.

平均数为.