第十三讲 二次函数性质的再研究.ppt

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对于给定的二次函数y＝－2x2＋8x＋24.问题1：将该二次函数化成顶点式．提示：顶点式为y＝－2(x－2)2＋32.问题2：该函数的单调区间是什么？提示：单调增区间为(－∞，2]，减区间为[2，＋∞)．问题3：当自变量x取何值时，函数的图像达到最高点？提示：当x＝2时，函数的图像达到最高点．
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质
配方法是研究二次函数最值及对称轴、顶点坐标等的基本方法，在探究出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴后，其图像的对称性及单调性就会较直观地反应在大脑中．
[一点通] 1．已知二次函数的解析式求顶点坐标及对称轴，一般先用配方法把二次函数解析式写成顶点式：y＝a(x＋h)2＋k，进而确定顶点坐标为(－h，k)，对称轴为x＝－h. 2．比较两点函数值大小，可以先比较两点离对称轴的距离大小，然后结合二次函数的开口方向，从而得到它们的大小关系，也可以将要比较的两个点转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较它们的大小．
2．(1)若f(x)＝－x2＋2ax在(－∞，2)上是增函数，求实数 a的取值范围． (2)已知函数f(x)＝－x2＋2ax的增区间为(－∞，2)，求 实数a的值． 解：∵f(x)＝－(x－a)2＋a2，其函数图像开口向下，对 称轴为x＝a. (1)∵f(x)的增区间为(－∞，a]， 由题意(－∞，a]⊇(－∞，2)， ∴a≥2.即实数a的取值范围是：[2，＋∞) (2)由题意，f(x)的对称轴为x＝a＝2，即a＝2.
[例2]　已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3， (1)当x∈[－2,0]时，求f(x)的最值； (2)当x∈[－2,3]时，求f(x)的最值； (3)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t)． [思路点拨]　(1)、(2)可就f(x)＝(x－1)2＋2的对称轴与区间的情况直接求最值，(3)可分析x＝1与区间[t，t＋1]的关系，就x＝1是否落在区间[t，t＋1]内展开讨论．
[精解详析]　∵f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，开口向上． (1)当x∈[－2,0]时，f(x)在[－2,0]上是单调递减的，故当x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11； 当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3； (2)当x∈[－2,3]时，f(x)在[－2,3]上是先减后增的，故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2， 又|－2－1|>|3－1|， ∴f(x)的最大值为f(－2)＝11；
(3)①当t>1时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，所以当x＝t时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，f(x)在区间[t，t＋1]上先减再增，故当x＝1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(1)＝2.
[一点通]　 求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在[m，n]上的最值的步骤： (1)配方，找对称轴； (2)判断对称轴与区间的关系； (3)求最值．若对称轴在区间外，则 f(x)在[m，n]上单调，利用单调性求最值；若对称轴在区间内，则在对称轴取得最小值，最大值在[m，n]端点处取得．
4．函数y＝－x2－2ax(0≤x≤1)的最大值是a2，则实数a 的取值范围是(　　) A．0≤a≤1　　　　　　　　B．0≤a≤2 C．－2≤a≤0 D．－1≤a≤0 解析：y＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2. ∵函数在[0,1]上的最大值是a2， ∴0≤－a≤1，即－1≤a≤0. 答案：D
5．函数f(x)＝2x2－6x＋1在区间[－1,1]上的最小值是 ________，最大值是________．
6．已知二次函数y＝f(x)＝x2－2ax＋a在区间[0,3]上的 最小值为－2，求a的值．
[例3]　某企业生产的一种电器的固定成本(即固定投资)为0.5万元，每生产一台这种电器还需可变成本(即另增加投资)25元，市场对这种电器的年需求量为5百台．已知这种电器的销售收入(R)与销售量(t)的关系用抛物线表示如图． (注：年产量与销售量的单位：百台，纯收益的单位：万元，生产成本＝固定成本＋可变成本，精确到1台和0.01万元)
(1)写出如图的销售收入(k)与销售量(t)之间的函数关系R＝f(t)； (2)认定销售收入减去生产成本为纯收益，写出纯收益与年生产量的函数关系式，并求年生产量是多少时纯收益最大？ [思路点拨]　解答本题可先由图求出销售收入与销售量之间的函数关系式，即R＝f(t)，然后建立纯收益与销售量之间的函数关系式进而求出纯收益的最大值．
[一点通]　解答实际问题的步骤为：
7．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位： 万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为 销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆 车，则能获得的最大利润为(　　) A．45.606万元 B．45.56元 C．45.6万元 D．45.51万元
解析：设公司获得的利润为y，在甲地销售了x辆，则在乙地销售了(15－x)辆，则y＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(0≤x≤15，x∈N)，此二次函数的对称轴为x＝10.2，∴当x＝10时，y有最大值为45.6(万元)．答案：C
8．渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空 间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当 的空闲量．已知鱼群的年增长量y吨与实际养殖量x吨 和空闲率 的乘积成正比，比例系数为 k(k>0)． (1)写出y关于x的函数关系式，并求出定义域； (2)求鱼群的年增长量的最大值； (3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k所应满足的条件．
1．已知二次函数在某区间上的单调性，求参数的取值范围，应借助于函数的对称轴与区间的关系建立关于参数的不等式，从而求解得出参数的取值范围．
2．二次函数在闭区间上的最值 对于二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)在区间[m，n]上的最值可作如下讨论，