高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.3.2 正弦型函数的性质与图像导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.3.2 正弦型函数的性质与图像导学案，共7页。学案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程，教师小结等内容，欢迎下载使用。

1．了解正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义及各参数对图像变化的影响，会求其周期、最值、单调区间等．
2．会用“图像变换法”作正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像．
【教学重难点】
会求正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、最值、单调区间．
【教学过程】
一、问题导入
日常生活中，一般家用电器使用的电流都是交流电流，交流电流i与时间t的关系一般可以写成i=Imsin（wt+φ）的形式.
显然，上述x与i都是t的函数，那么，这种类型的函数具有什么性质呢？怎样研究这种类型的函数的性质？
二、新知探究
1.正弦型函数的图像与性质
【例1】用五点法作函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＋3的图像，并写出函数的定义域、值域、周期、频率、初相、最值、单调区间、对称轴方程．
[思路探究]先确定一个周期内的五个关键点，画出一个周期的图像，左、右扩展可得图像，然后根据图像求性质．
[解]①列表：
②描点连线作出一周期的函数图像．
③把此图像左、右扩展即得y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＋3的图像．
由图像可知函数的定义域为R，值域为[1,5]，
周期为T＝eq \f(2π,ω)＝2π，频率为f＝eq \f(1,T)＝eq \f(1,2π)，初相为φ＝－eq \f(π,3)，最大值为5，最小值为1．
令2kπ－eq \f(π,2)≤x－eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)得原函数的增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(5,6)π))(k∈Z)．
令2kπ＋eq \f(π,2)≤x－eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(3,2)π，(k∈Z)得原函数的减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(5,6)π，2kπ＋\f(11,6)π))(k∈Z)．
令x－eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)得原函数的对称轴方程为x＝kπ＋eq \f(5,6)π(k∈Z)．
【教师小结】
（1）用五点法作y＝Asin(ωx＋φ)的图象，应先令ωx＋φ分别为0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3,2)π，2π，然后解出自变量x的对应值，作出一周期内的图象．
（2）求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，首先把x的系数化为正值，然后利用整体代换，把ωx＋φ代入相应不等式中，求出相应的变量x的范围．
2.三角函数的图像变换
【例2】函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))－2的图像是由函数y＝sin x的图像通过怎样的变换得到的？
[思路探究]由周期知“横向缩短”，由振幅知“纵向伸长”，并且需要向左、向下移动．
【教师小结】三角函数图象平移变换问题的分类及解题策略：
(1)确定函数y＝sin x的图象经过平移变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；注意平移只对“x”而言.
(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位.
3.求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【例3】如图所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|<\f(π,2)))的图像，确定其一个函数解析式．
[思路探究]解答本题可由最高点、最低点确定A，再由周期确定ω，然后由图像所过的点确定φ.
[解]由图像，知A＝3，T＝π，
又图像过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))，
∴所求图像由y＝3sin 2x的图像向左平移eq \f(π,6)个单位得到，
∴y＝3sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，即y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).
【教师小结】确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知或代入图象与x轴的交点求解此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(φ,ω)，0))作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝ eq \f(π,2)；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝ eq \f(3π,2)；
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
4.函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性
[探究问题]
如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴方程？
[提示]与正弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的对称轴通过函数图像的最值点且垂直于x轴．
函数y＝Asin(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，则x＝eq \f(2k＋1π－2φ,2ω)(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的对称轴方程为x＝eq \f(2k＋1π－2φ,2ω)(k∈Z)．
如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心？
[提示]与正弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的对称中心即函数图像与x轴的交点．
函数y＝Asin(ωx＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝eq \f(kπ－φ,ω)(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ－φ,ω)，0))(k∈Z)成中心对称．
【例4】已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)．
（1）若函数f(x)＝sin(2x＋φ)为偶函数，求φ的值；
（2）若函数f(x)＝sin(2x＋φ)关于x＝eq \f(π,8)对称，求出φ的值及f(x)的所有的对称轴方程及对称中心的坐标．
[思路探究]利用正弦函数的性质解题．
[解]（1）∵f(x)为偶函数，∴φ＝kπ＋eq \f(π,2)，
又φ∈(0，π)，∴φ＝eq \f(π,2).
（2）∵f(x)＝sin(2x＋φ)关于x＝eq \f(π,8)对称，
∴f(0)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))，即sin φ＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋φ))＝cs φ，
∴tan φ＝1，φ＝kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)．
又φ∈(0，π)，∴φ＝eq \f(π,4)，∴f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))).
由2x＋eq \f(π,4)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，
得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,8)(k∈Z)，
由2x＋eq \f(π,4)＝kπ，得x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,8)(k∈Z)，
∴f(x)的对称轴方程为x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,8)(k∈Z)，
对称中心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,8)，0))(k∈Z)．
【教师小结】
（1）函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质较为综合，主要围绕着函数单调性、最值、奇偶性、图象的对称性等考查．
（2）有关函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质运用问题，要特别注意整体代换思想的运用．
三、课堂总结
1．φ对函数y＝sin(x＋φ)的图象的影响
函数y＝sin(x＋φ)，x∈R(其中φ≠0)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到．
2．ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝sin(ωx＋φ)，x∈R(其中ω>0，且ω≠1)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的eq \f(1,ω)倍(纵坐标不变)而得到的．
3．A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0且A≠1)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当04．由y＝sin x变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的方法
(1)先平移后伸缩
(2)先伸缩后平移
四、课堂检测
1．(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝eq \f(π,4)，x2＝eq \f(3π,4)是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝( )
A．2 B．eq \f(3,2) C．1 D．eq \f(1,2)
A [由题意及函数y＝sin ωx的图像与性质可知，
eq \f(1,2)T＝eq \f(3π,4)－eq \f(π,4)，∴T＝π，∴eq \f(2π,ω)＝π，∴ω＝2．
故选A．]
2．要得到y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图像，只需将y＝3sin 2x的图像( )
A．向左平移eq \f(π,4)个单位B．向右平移eq \f(π,4)个单位
C．向左平移eq \f(π,8)个单位D．向右平移eq \f(π,8)个单位
C [y＝3sin 2x的图像eq \(――――――――→,\s\up26(向左平移\f(π,8)个单位))y＝3sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,8)))
的图像，即y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图像．]
3．函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))图像的一条对称轴是________．(填序号)
①x＝－eq \f(π,2)；②x＝0；③x＝eq \f(π,6)；④x＝－eq \f(π,6).
③ [由正弦函数对称轴可知．
x＋eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
x＝kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z，
k＝0时，x＝eq \f(π,6).]
4．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的图像的一部分，试求该函数的解析式．
[解] 由图像可知A＝2，T＝4×(6－2)＝16，ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,8).又x＝6时，eq \f(π,8)×6＋φ＝0，∴φ＝－eq \f(3π,4)，且|φ|<π.
∴所求函数的解析式为y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(3π,4))).x
eq \f(π,3)
eq \f(5,6)π
eq \f(4,3)π
eq \f(11,6)π
eq \f(7,3)π
x－eq \f(π,3)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3,2)π
2π
y
3
5
3
1
3