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人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换8.2.3 倍角公式学案及答案
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这是一份人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换8.2.3 倍角公式学案及答案,共7页。学案主要包含了教学过程等内容,欢迎下载使用。
【教学过程】
一、问题导入
前面我们已经学习了三角函数的和差公式,你能根据前面学过的内容,写出由α的三角函数值求出sin2α,cs2α,tan2α的一般公式吗?
二、新知探究
1.利用二倍角公式化简求值
【例1】化简求值。
(1)cs4 eq \f(α,2)-sin4 eq \f(α,2);
(2)sin eq \f(π,24)·cs eq \f(π,24)·cs eq \f(π,12);
(3)1-2sin2 750°;
(4)tan 150°+eq \f(1-3tan2 150°,2tan 150°)。
思路探究:灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项,然后求得。
解:(1)cs4 eq \f(α,2)-sin4 eq \f(α,2)
=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2 \f(α,2)-sin2 \f(α,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2 \f(α,2)+sin2 \f(α,2)))
=cs α。
(2)原式=eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin \f(π,24)cs \f(π,24)))cseq \f(π,12)
=eq \f(1,2)sin eq \f(π,12)cs eq \f(π,12)=eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin \f(π,12)cs \f(π,12)))
=eq \f(1,4)sin eq \f(π,6)=eq \f(1,8),
∴原式=eq \f(1,8)。
(3)原式=cs(2×750°)=cs 1500°
=cs(4×360°+60°)=cs 60°=eq \f(1,2),
∴原式=eq \f(1,2)。
(4)原式=eq \f(2tan2150°+1-3tan2 150°,2tan 150°)
=eq \f(1-tan2 150°,2tan 150°)=eq \f(1,tan2×150°)
=eq \f(1,tan 300°)=eq \f(1,tan360°-60°)
=-eq \f(1,tan 60°)=-eq \f(\r(3),3),
∴原式=-eq \f(\r(3),3)。
[教师小结]二倍角公式的灵活运用:
(1)公式的逆用:逆用公式,这种在原有基础上的变通是创新意识的体现。主要形式有:
2sin αcs α=sin 2α,sin αcs α=eq \f(1,2)sin 2α,
cs α=eq \f(sin 2α,2sin α),cs2 α-sin2 α=cs 2α,eq \f(2tan α,1-tan2 α)=tan 2α。
(2)公式的变形:公式间有着密切的联系,这就要求思考时要融会贯通,有目的地活用公式。主要形式有:
1±sin 2α=sin2 α+cs2 α±2sin αcs α=(sin α±cs α)2,1+cs 2α=2cs2 α,cs2 α=eq \f(1+cs 2α,2),sin2 α=eq \f(1-cs 2α,2)。
2.利用二倍角公式解决条件求值问题
【例2】(1)已知sin α=3cs α,那么tan 2α的值为( )。
A.2B.-2
C.eq \f(3,4)D.-eq \f(3,4)
(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)+α))=eq \f(1,3),则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)-2α))的值等于( )。
A.eq \f(7,9)B.eq \f(1,3)
C.-eq \f(7,9)D.-eq \f(1,3)
(3)已知cs α=-eq \f(3,4),sin β=eq \f(2,3),α是第三象限角,β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π))。
①求sin 2α的值;②求cs(2α+β)的值。
思路探究:(1)可先求tan α,再求tan 2α;
(2)可利用eq \f(2,3)π-2α=2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)-α))求值;
(3)可先求sin 2α,cs 2α,cs β,再利用两角和的余弦公式求cs(2α+β)。
答案:(1)D;(2)C
[(1)因为sin α=3cs α,
所以tan α=3,
所以tan 2α=eq \f(2tan α,1-tan2 α)=eq \f(2×3,1-32)=-eq \f(3,4)。
(2)因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)-α))=sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)-α))))=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)+α))=eq \f(1,3),
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)-2α))=2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)-α))-1=2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up8(2)-1=-eq \f(7,9)。]
(3)解:①因为α是第三象限角,cs α=-eq \f(3,4),
所以sin α=-eq \r(1-cs2 α)=-eq \f(\r(7),4),
所以sin 2α=2sin αcs α
=2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(\r(7),4)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3,4)))=eq \f(3\r(7),8)。
②因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π)),sin β=eq \f(2,3),
所以cs β=-eq \r(1-sin2 β)=-eq \f(\r(5),3),
cs 2α=2cs2 α-1=2×eq \f(9,16)-1=eq \f(1,8),
所以cs(2α+β)=cs 2αcs β-sin 2αsin β=eq \f(1,8)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(\r(5),3)))-eq \f(3\r(7),8)×eq \f(2,3)=-eq \f(\r(5)+6\r(7),24)。
[教师小结]
直接应用二倍角公式求值的三种类型:
(1)sin α(或cs α)eq \(――――――――――→,\s\up16(同角三角函数的关系))cs α(或sin α)eq \(――――――→,\s\up16(二倍角公式))sin 2α(或cs 2α)。
(2)sin α(或cs α)eq \(――――――→,\s\up16(二倍角公式))cs 2α=1-2sin2 α(或2cs2 α-1)。
(3)sin α(或cs α) eq \(――――――――――→,\s\up16(同角三角函数的关系))
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs α或sin α,,tan α\(――――――→,\s\up16(二倍角公式))tan 2α.))
3.利用二倍角公式证明
【例3】求证:eq \f(cs2α,\f(1,tan \f(α,2))-tan \f(α,2))=eq \f(1,4)sin 2α。
思路探究:可先化简左边,切化弦,再利用二倍角公式化简出右边。
证明:法一:
左边=eq \f(cs2α,\f(cs \f(α,2),sin \f(α,2))-\f(sin \f(α,2),cs \f(α,2)))
=eq \f(cs2α,\f(cs2\f(α,2)-sin2\f(α,2),sin \f(α,2)cs \f(α,2)))
=eq \f(cs2αsin \f(α,2)cs \f(α,2),cs2\f(α,2)-sin2\f(α,2))
=eq \f(cs2αsin \f(α,2)cs \f(α,2),cs α)
=sin eq \f(α,2)·cs eq \f(α,2)·cs α=eq \f(1,2)sin α·cs α=eq \f(1,4)sin 2α=右边。
∴原式成立。
法二:左边=eq \f(cs2αtan \f(α,2),1-tan2\f(α,2))=eq \f(1,2)cs2α·eq \f(2tan \f(α,2),1-tan2\f(α,2))=eq \f(1,2)cs2α·tan α=eq \f(1,2)cs αsin α=eq \f(1,4)sin 2α=右边。
[教师小结]
证明问题的原则及一般步骤:
(1)观察式子两端的结构形式,一般是从复杂到简单,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想。
(2)证明的一般步骤是:先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异,然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的。
4.倍角公式的灵活运用
[探究问题]
(1)在化简eq \f(1+sin α-cs α,1+sin α+cs α)+eq \f(1+cs α+sin α,1-cs α+sin α)时,如何灵活使用倍角公式?
提示:在化简时,如果只是从α的关系去整理,化简可能感觉无从下手,但如果将α看成eq \f(α,2)的倍角,可能会有另一种思路,
原式=eq \f(2sin \f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)+sin \f(α,2))),2cs \f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)+sin \f(α,2))))+eq \f(2cs \f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)+sin \f(α,2))),2sin \f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)+cs \f(α,2))))=eq \f(sin \f(α,2),cs \f(α,2))+eq \f(cs \f(α,2),sin \f(α,2))=eq \f(1,sin \f(α,2)cs \f(α,2))=eq \f(2,sin α)。
(2)如何求函数f(x)=2cs2x-1-2eq \r(3)sin x·cs x(x∈R)的最小正周期?
提示:求函数f(x)的最小正周期,可由f(x)=(2cs2x-1)-eq \r(3)(2sin x·cs x)=cs 2x-eq \r(3)sin 2x=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)-2x)),知其最小正周期为π。
【例4】求函数f(x)=5eq \r(3)cs2x+eq \r(3)sin2x-4sin x·cs x,x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(7π,24)))的最小值,并求其单调减区间。
思路探究:eq \x(化简fx的解析式)→eq \x(fx=Asinωx+φ+B)→eq \x(ωx+φ的范围)
→eq \x(求最小值,单调减区间)
解:f(x)=5eq \r(3)·eq \f(1+cs 2x,2)+eq \r(3)eq \f(1-cs 2x,2)-2sin 2x
=3eq \r(3)+2eq \r(3)cs 2x-2sin 2x
=3eq \r(3)+4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs 2x-\f(1,2)sin 2x))
=3eq \r(3)+4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(π,3)cs 2x-cs \f(π,3)sin 2x))
=3eq \r(3)+4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)-2x))=3eq \r(3)-4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,3))),
∵eq \f(π,4)≤x≤eq \f(7π,24),∴eq \f(π,6)≤2x-eq \f(π,3)≤eq \f(π,4),
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,3)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2),\f(\r(2),2))),
所以当2x-eq \f(π,3)=eq \f(π,4),即x=eq \f(7π,24)时,
f(x)取最小值为3eq \r(3)-2eq \r(2)。
因为y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,3)))在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(7π,24)))上单调递增,
所以f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(7π,24)))上单调递减。
[教师小结]本题考查二倍角公式,辅助角公式及三角函数的性质。解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如y=A·sinωx+φ的形式,再利用函数的图像解决问题。
三、课堂总结
1.二倍角公式
S2α:sin 2α=2sinα·csα。
C2α:cs 2α=cs2α-sin2α=2cs2α-1=1-2sin2α。
T2α:tan 2α=eq \f(2tan α,1-tan2α)。
2.对于“二倍角”应该有广义上的理解,如:
8α是4α的二倍;4α是2α的二倍;eq \f(α,2)是eq \f(α,4)的二倍;eq \f(α,3)是eq \f(α,6)的二倍;eq \f(α,2n)=eq \f(2α,2n+1)(n ∈ N*)。
3.二倍角的余弦公式的运用
在二倍角公式中,二倍角的余弦公式最为灵活多样,应用广泛。常用形式:
①1+cs 2α=2cs2 α;②cs2 α=eq \f(1+cs 2α,2);③1-cs 2α=2sin2 α;④sin2α=eq \f(1-cs 2α,2)。
四、课堂检测
1.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),2sin 2α=cs 2α+1,则sin α=( )。
A.eq \f(1,5)
B.eq \f(\r(5),5)
C.eq \f(\r(3),3)
D.eq \f(2\r(5),5)
答案:B。[由2sin 2α=cs 2α+1,得4sin α·cs α=2cs2α。
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),∴2sin α=cs α。又∵sin2 α+cs2 α=1,
∴sin2 α=eq \f(1,5)。又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),∴sin α=eq \f(\r(5),5)。
故选B。]
2.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,12)-sin \f(π,12)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,12)+sin \f(π,12)))的值为( )。
A.-eq \f(\r(3),2)B.-eq \f(1,2)
C.eq \f(1,2)D.eq \f(\r(3),2)
答案:D。[原式=cs2eq \f(π,12)-sin2eq \f(π,12)=cs eq \f(π,6)=eq \f(\r(3),2)。]
3.已知tan α=-eq \f(1,3),则eq \f(sin 2α-cs2α,1+cs 2α)=________。
答案:-eq \f(5,6)。[eq \f(sin 2α-cs2α,1+cs 2α)=eq \f(2sin αcs α-cs2α,1+2cs2α-1)
=eq \f(2sin αcs α-cs2α,2cs2α)=tan α-eq \f(1,2)=-eq \f(5,6)。]
4.求下列各式的值:
(1)cs eq \f(π,5)·cs eq \f(2π,5);
(2)eq \f(1,2)-cs2eq \f(π,8)。
解:(1)原式=eq \f(2sin \f(π,5)cs \f(π,5)cs \f(2π,5),2sin \f(π,5))=eq \f(sin \f(2π,5)cs \f(2π,5),2sin \f(π,5))=eq \f(sin \f(4π,5),4sin \f(π,5))=eq \f(sin \f(π,5),4sin \f(π,5))=eq \f(1,4)。
(2)原式=eq \f(1-2cs2\f(π,8),2)=-eq \f(2cs2\f(π,8)-1,2)=-eq \f(1,2)cs eq \f(π,4)=-eq \f(\r(2),4)。教学目标
核心素养
1.理解二倍角公式的推导过程,知道倍角公式与和角公式之间的内在联系。(重点)
2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,并能运用这些公式进行简单的恒等变换。(难点)
1.通过倍角公式的推导,培养学生的逻辑推理核心素养。
2.借助倍角公式的应用,提升学生的数学运算及逻辑推理核心素养。
【教学过程】
一、问题导入
前面我们已经学习了三角函数的和差公式,你能根据前面学过的内容,写出由α的三角函数值求出sin2α,cs2α,tan2α的一般公式吗?
二、新知探究
1.利用二倍角公式化简求值
【例1】化简求值。
(1)cs4 eq \f(α,2)-sin4 eq \f(α,2);
(2)sin eq \f(π,24)·cs eq \f(π,24)·cs eq \f(π,12);
(3)1-2sin2 750°;
(4)tan 150°+eq \f(1-3tan2 150°,2tan 150°)。
思路探究:灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项,然后求得。
解:(1)cs4 eq \f(α,2)-sin4 eq \f(α,2)
=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2 \f(α,2)-sin2 \f(α,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2 \f(α,2)+sin2 \f(α,2)))
=cs α。
(2)原式=eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin \f(π,24)cs \f(π,24)))cseq \f(π,12)
=eq \f(1,2)sin eq \f(π,12)cs eq \f(π,12)=eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin \f(π,12)cs \f(π,12)))
=eq \f(1,4)sin eq \f(π,6)=eq \f(1,8),
∴原式=eq \f(1,8)。
(3)原式=cs(2×750°)=cs 1500°
=cs(4×360°+60°)=cs 60°=eq \f(1,2),
∴原式=eq \f(1,2)。
(4)原式=eq \f(2tan2150°+1-3tan2 150°,2tan 150°)
=eq \f(1-tan2 150°,2tan 150°)=eq \f(1,tan2×150°)
=eq \f(1,tan 300°)=eq \f(1,tan360°-60°)
=-eq \f(1,tan 60°)=-eq \f(\r(3),3),
∴原式=-eq \f(\r(3),3)。
[教师小结]二倍角公式的灵活运用:
(1)公式的逆用:逆用公式,这种在原有基础上的变通是创新意识的体现。主要形式有:
2sin αcs α=sin 2α,sin αcs α=eq \f(1,2)sin 2α,
cs α=eq \f(sin 2α,2sin α),cs2 α-sin2 α=cs 2α,eq \f(2tan α,1-tan2 α)=tan 2α。
(2)公式的变形:公式间有着密切的联系,这就要求思考时要融会贯通,有目的地活用公式。主要形式有:
1±sin 2α=sin2 α+cs2 α±2sin αcs α=(sin α±cs α)2,1+cs 2α=2cs2 α,cs2 α=eq \f(1+cs 2α,2),sin2 α=eq \f(1-cs 2α,2)。
2.利用二倍角公式解决条件求值问题
【例2】(1)已知sin α=3cs α,那么tan 2α的值为( )。
A.2B.-2
C.eq \f(3,4)D.-eq \f(3,4)
(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)+α))=eq \f(1,3),则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)-2α))的值等于( )。
A.eq \f(7,9)B.eq \f(1,3)
C.-eq \f(7,9)D.-eq \f(1,3)
(3)已知cs α=-eq \f(3,4),sin β=eq \f(2,3),α是第三象限角,β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π))。
①求sin 2α的值;②求cs(2α+β)的值。
思路探究:(1)可先求tan α,再求tan 2α;
(2)可利用eq \f(2,3)π-2α=2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)-α))求值;
(3)可先求sin 2α,cs 2α,cs β,再利用两角和的余弦公式求cs(2α+β)。
答案:(1)D;(2)C
[(1)因为sin α=3cs α,
所以tan α=3,
所以tan 2α=eq \f(2tan α,1-tan2 α)=eq \f(2×3,1-32)=-eq \f(3,4)。
(2)因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)-α))=sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)-α))))=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)+α))=eq \f(1,3),
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)-2α))=2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)-α))-1=2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up8(2)-1=-eq \f(7,9)。]
(3)解:①因为α是第三象限角,cs α=-eq \f(3,4),
所以sin α=-eq \r(1-cs2 α)=-eq \f(\r(7),4),
所以sin 2α=2sin αcs α
=2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(\r(7),4)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3,4)))=eq \f(3\r(7),8)。
②因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π)),sin β=eq \f(2,3),
所以cs β=-eq \r(1-sin2 β)=-eq \f(\r(5),3),
cs 2α=2cs2 α-1=2×eq \f(9,16)-1=eq \f(1,8),
所以cs(2α+β)=cs 2αcs β-sin 2αsin β=eq \f(1,8)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(\r(5),3)))-eq \f(3\r(7),8)×eq \f(2,3)=-eq \f(\r(5)+6\r(7),24)。
[教师小结]
直接应用二倍角公式求值的三种类型:
(1)sin α(或cs α)eq \(――――――――――→,\s\up16(同角三角函数的关系))cs α(或sin α)eq \(――――――→,\s\up16(二倍角公式))sin 2α(或cs 2α)。
(2)sin α(或cs α)eq \(――――――→,\s\up16(二倍角公式))cs 2α=1-2sin2 α(或2cs2 α-1)。
(3)sin α(或cs α) eq \(――――――――――→,\s\up16(同角三角函数的关系))
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs α或sin α,,tan α\(――――――→,\s\up16(二倍角公式))tan 2α.))
3.利用二倍角公式证明
【例3】求证:eq \f(cs2α,\f(1,tan \f(α,2))-tan \f(α,2))=eq \f(1,4)sin 2α。
思路探究:可先化简左边,切化弦,再利用二倍角公式化简出右边。
证明:法一:
左边=eq \f(cs2α,\f(cs \f(α,2),sin \f(α,2))-\f(sin \f(α,2),cs \f(α,2)))
=eq \f(cs2α,\f(cs2\f(α,2)-sin2\f(α,2),sin \f(α,2)cs \f(α,2)))
=eq \f(cs2αsin \f(α,2)cs \f(α,2),cs2\f(α,2)-sin2\f(α,2))
=eq \f(cs2αsin \f(α,2)cs \f(α,2),cs α)
=sin eq \f(α,2)·cs eq \f(α,2)·cs α=eq \f(1,2)sin α·cs α=eq \f(1,4)sin 2α=右边。
∴原式成立。
法二:左边=eq \f(cs2αtan \f(α,2),1-tan2\f(α,2))=eq \f(1,2)cs2α·eq \f(2tan \f(α,2),1-tan2\f(α,2))=eq \f(1,2)cs2α·tan α=eq \f(1,2)cs αsin α=eq \f(1,4)sin 2α=右边。
[教师小结]
证明问题的原则及一般步骤:
(1)观察式子两端的结构形式,一般是从复杂到简单,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想。
(2)证明的一般步骤是:先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异,然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的。
4.倍角公式的灵活运用
[探究问题]
(1)在化简eq \f(1+sin α-cs α,1+sin α+cs α)+eq \f(1+cs α+sin α,1-cs α+sin α)时,如何灵活使用倍角公式?
提示:在化简时,如果只是从α的关系去整理,化简可能感觉无从下手,但如果将α看成eq \f(α,2)的倍角,可能会有另一种思路,
原式=eq \f(2sin \f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)+sin \f(α,2))),2cs \f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)+sin \f(α,2))))+eq \f(2cs \f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)+sin \f(α,2))),2sin \f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)+cs \f(α,2))))=eq \f(sin \f(α,2),cs \f(α,2))+eq \f(cs \f(α,2),sin \f(α,2))=eq \f(1,sin \f(α,2)cs \f(α,2))=eq \f(2,sin α)。
(2)如何求函数f(x)=2cs2x-1-2eq \r(3)sin x·cs x(x∈R)的最小正周期?
提示:求函数f(x)的最小正周期,可由f(x)=(2cs2x-1)-eq \r(3)(2sin x·cs x)=cs 2x-eq \r(3)sin 2x=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)-2x)),知其最小正周期为π。
【例4】求函数f(x)=5eq \r(3)cs2x+eq \r(3)sin2x-4sin x·cs x,x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(7π,24)))的最小值,并求其单调减区间。
思路探究:eq \x(化简fx的解析式)→eq \x(fx=Asinωx+φ+B)→eq \x(ωx+φ的范围)
→eq \x(求最小值,单调减区间)
解:f(x)=5eq \r(3)·eq \f(1+cs 2x,2)+eq \r(3)eq \f(1-cs 2x,2)-2sin 2x
=3eq \r(3)+2eq \r(3)cs 2x-2sin 2x
=3eq \r(3)+4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs 2x-\f(1,2)sin 2x))
=3eq \r(3)+4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(π,3)cs 2x-cs \f(π,3)sin 2x))
=3eq \r(3)+4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)-2x))=3eq \r(3)-4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,3))),
∵eq \f(π,4)≤x≤eq \f(7π,24),∴eq \f(π,6)≤2x-eq \f(π,3)≤eq \f(π,4),
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,3)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2),\f(\r(2),2))),
所以当2x-eq \f(π,3)=eq \f(π,4),即x=eq \f(7π,24)时,
f(x)取最小值为3eq \r(3)-2eq \r(2)。
因为y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,3)))在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(7π,24)))上单调递增,
所以f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(7π,24)))上单调递减。
[教师小结]本题考查二倍角公式,辅助角公式及三角函数的性质。解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如y=A·sinωx+φ的形式,再利用函数的图像解决问题。
三、课堂总结
1.二倍角公式
S2α:sin 2α=2sinα·csα。
C2α:cs 2α=cs2α-sin2α=2cs2α-1=1-2sin2α。
T2α:tan 2α=eq \f(2tan α,1-tan2α)。
2.对于“二倍角”应该有广义上的理解,如:
8α是4α的二倍;4α是2α的二倍;eq \f(α,2)是eq \f(α,4)的二倍;eq \f(α,3)是eq \f(α,6)的二倍;eq \f(α,2n)=eq \f(2α,2n+1)(n ∈ N*)。
3.二倍角的余弦公式的运用
在二倍角公式中,二倍角的余弦公式最为灵活多样,应用广泛。常用形式:
①1+cs 2α=2cs2 α;②cs2 α=eq \f(1+cs 2α,2);③1-cs 2α=2sin2 α;④sin2α=eq \f(1-cs 2α,2)。
四、课堂检测
1.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),2sin 2α=cs 2α+1,则sin α=( )。
A.eq \f(1,5)
B.eq \f(\r(5),5)
C.eq \f(\r(3),3)
D.eq \f(2\r(5),5)
答案:B。[由2sin 2α=cs 2α+1,得4sin α·cs α=2cs2α。
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),∴2sin α=cs α。又∵sin2 α+cs2 α=1,
∴sin2 α=eq \f(1,5)。又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),∴sin α=eq \f(\r(5),5)。
故选B。]
2.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,12)-sin \f(π,12)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,12)+sin \f(π,12)))的值为( )。
A.-eq \f(\r(3),2)B.-eq \f(1,2)
C.eq \f(1,2)D.eq \f(\r(3),2)
答案:D。[原式=cs2eq \f(π,12)-sin2eq \f(π,12)=cs eq \f(π,6)=eq \f(\r(3),2)。]
3.已知tan α=-eq \f(1,3),则eq \f(sin 2α-cs2α,1+cs 2α)=________。
答案:-eq \f(5,6)。[eq \f(sin 2α-cs2α,1+cs 2α)=eq \f(2sin αcs α-cs2α,1+2cs2α-1)
=eq \f(2sin αcs α-cs2α,2cs2α)=tan α-eq \f(1,2)=-eq \f(5,6)。]
4.求下列各式的值:
(1)cs eq \f(π,5)·cs eq \f(2π,5);
(2)eq \f(1,2)-cs2eq \f(π,8)。
解:(1)原式=eq \f(2sin \f(π,5)cs \f(π,5)cs \f(2π,5),2sin \f(π,5))=eq \f(sin \f(2π,5)cs \f(2π,5),2sin \f(π,5))=eq \f(sin \f(4π,5),4sin \f(π,5))=eq \f(sin \f(π,5),4sin \f(π,5))=eq \f(1,4)。
(2)原式=eq \f(1-2cs2\f(π,8),2)=-eq \f(2cs2\f(π,8)-1,2)=-eq \f(1,2)cs eq \f(π,4)=-eq \f(\r(2),4)。教学目标
核心素养
1.理解二倍角公式的推导过程,知道倍角公式与和角公式之间的内在联系。(重点)
2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,并能运用这些公式进行简单的恒等变换。(难点)
1.通过倍角公式的推导,培养学生的逻辑推理核心素养。
2.借助倍角公式的应用,提升学生的数学运算及逻辑推理核心素养。