高中8.2.1 两角和与差的余弦学案及答案

这是一份高中8.2.1 两角和与差的余弦学案及答案，共8页。学案主要包含了学习过程，（α＋β）－β，α－（α－β）等内容，欢迎下载使用。

【学习过程】
一、初试身手
1．cs 22°cs 38°－sin 22°sin 38°的值为（ ）。
A．eq \f(1,2)B．eq \f(1,3)
C．eq \f(\r(3),2)D．eq \f(\r(3),3)
2．化简cs（α＋β）cs β＋sin（α＋β）sin β为（ ）。
A．sin（2α＋β）B、Cs（2α－β）
C．cs αD．cs β
3．cs（－40°）cs20°－sin（－40°）sin（－20°）＝________。
二、合作探究
类型一：利用两角和与差的余弦公式化简求值
【例1】（1）cs 345°的值等于（ ）。
A． B．
C． D．
（2）化简下列各式：
①cs（θ＋21°）cs（θ－24°）＋sin（θ＋21°）sin（θ－24°）；
②－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°。
[思路探究]利用诱导公式，两角差的余弦公式求解。
类型二：给值（式）求值
【例2】（1）已知cs α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π，2π))，则csα－eq \f(π,3)＝________。
（2）α，β为锐角，cs（α＋β）＝eq \f(12,13)，cs（2α＋β）＝eq \f(3,5)，求cs α的值。
[思路探究]（1）可先求得sin α，再用两角差的余弦公式求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))；
（2）可考虑拆角即α＝（2α＋β）－（α＋β）来求cs α。
类型三：已知三角函数值求角
【例3】已知α，β均为锐角，且cs α＝eq \f(2\r(5),5)，cs β＝eq \f(\r(10),10)，求α－β的值。
[思路探究]本题可先求出cs（α－β）的值，结合α－β的范围，再求出α－β的值。
类型四：利用角的变换求三角函数值
[探究问题]
1．若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cs α的值？
【提示】cs α＝cs【（α＋β）－β】
＝cs（α＋β）cs β＋sin（α＋β）sin β。
2．利用α－（α－β）＝β可得cs β等于什么？
【提示】cs β＝cs【α－（α－β）】＝cs αcs（α－β）＋sin αsin（α－β）。
3．若cs α－cs β＝a，sin α－sin β＝b，则cs（α－β）等于什么？
【提示】cs（α－β）＝eq \f(2－a2－b2,2)。
【例4】若0<αA．eq \f(\r(3),3)B．－eq \f(\r(3),3)
C．eq \f(5\r(3),9)D．－eq \f(\r(6),9)
[思路探究]利用角的交换求解，α＋eq \f(β,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))。
三、学习小结
两角和与差的余弦公式
Cα＋β：cs（α＋β）＝csαcsβ－sinαsinβ。
Cα－β：cs（α－β）＝csαcsβ＋sinαsinβ。
四、精炼反馈
1．下列式子中，正确的个数为（ ）。
①cs（α－β）＝cs α－cs β；②cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝sin α；
③cs（α－β）＝cs αcs β－sin αsin β。
A．0个B．1个
C．2个D．3个
2．已知锐角α，β满足cs α＝eq \f(3,5)，cs（α＋β）＝－eq \f(5,13)，则cs β等于（ ）。
A．eq \f(33,65)B．－eq \f(33,65)
C．eq \f(54,75)D．－eq \f(54,75)
3．sin 75°＝________。
4．设α，β都是锐角，且cs α＝eq \f(\r(5),5)，sin（α＋β）＝eq \f(3,5)，求cs β的值。
答案解析
一、初试身手
1．【答案】A
【解析】原式＝cs（22°＋38°）＝cs 60°＝eq \f(1,2)。]
2．【答案】C
【解析】原式＝cs[（α＋β）－β]＝cs α。
3．【答案】eq \f(1,2)
【解析】原式＝cs（－40°）cs（－20°）－sin （－40°）sin（－20°）＝cs[－40°＋（－20°）]＝cs（－60°）＝cs60°＝eq \f(1,2)。
二、合作探究
例1．【答案】（1）C
（2）解：①原式＝cs[θ＋21°－（θ－24°）]
＝cs 45°＝eq \f(\r(2),2)，所以原式＝eq \f(\r(2),2)；
②原式＝－sin（180°－13°）sin（180°＋43°）＋sin（180°＋77°）·sin（360°－47°）＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°
＝sin 13°sin 43°＋cs 13°cs 43°
＝cs（13°－43°）＝cs（－30°）＝eq \f(\r(3),2)。
【解析】（1）cs 345°＝cs（360°－15°）
＝cs 15°＝cs（45°－30°）＝cs 45°cs 30°＋sin 45°sin 30°
＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)。
例2．【答案】（1）
（2）解：因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π。
又因为cs（α＋β）＝eq \f(12,13)，所以0<α＋β又因为cs（2α＋β）＝eq \f(3,5)，所以0<2α＋β所以sin（α＋β）＝eq \f(5,13)，sin（2α＋β）＝eq \f(4,5)，
所以cs α＝cs[（2α＋β）－（α＋β）]
＝cs（2α＋β）·cs（α＋β）＋sin（2α＋β）·sin（α＋β）
＝eq \f(3,5)×eq \f(12,13)＋eq \f(4,5)×eq \f(5,13)＝eq \f(56,65)。
【解析】（1）因为cs α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π，2π))，
所以sin α＝－eq \f(4,5)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝cs αcs eq \f(π,3)＋sin αsin eq \f(π,3)
＝eq \f(3,5)×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3－4\r(3),10)。
例3．【答案】∵α，β均为锐角，cs α＝eq \f(2\r(5),5)，cs β＝eq \f(\r(10),10)，
∴sin α＝eq \f(\r(5),5)，sin β＝eq \f(3\r(10),10)，
∴cs（α－β）＝cs αcs β＋sin αsin β
＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＋eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)
＝eq \f(\r(2),2)。
又sin α∴0<α<β∴－eq \f(π,2)<α－β<0.
故α－β＝－eq \f(π,4)。
例4．【答案】C
【解析】∵0<α∴eq \f(π,4)<α＋eq \f(π,4)又∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(1,3)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq \f(\r(3),3)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(2\r(2),3)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq \f(\r(6),3)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(β,2)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)) cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))＋sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)) sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))
＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),3)＋eq \f(2\r(2),3)×eq \f(\r(6),3)＝eq \f(5\r(3),9)。故选C．
四、精炼反馈
1．【答案】A
【解析】由cs（α－β）＝cs αcs β＋sin αsin β知①③错误，cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin α，故②错误，故选A。
2．【答案】A
【解析】因为α，β为锐角，cs α＝eq \f(3,5)，cs（α＋β）＝－eq \f(5,13)，
所以sin α＝eq \f(4,5)，sin（α＋β）＝eq \f(12,13)，
所以cs β＝cs[（α＋β）－α]
＝cs（α＋β）·cs α＋sin（α＋β）·sin α
＝－eq \f(5,13)×eq \f(3,5)＋eq \f(12,13)×eq \f(4,5)＝eq \f(33,65)。故选A．
3．【答案】eq \f(\r(6)＋\r(2),4)
【解析】sin 75°＝cs 15°
＝cs（45°－30°）
＝cs 45°·cs 30°＋sin 45°·sin 30°
＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)
＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)。
4．【答案】∵α，β都是锐角且cs α＝eq \f(\r(5),5)∴eq \f(π,3)<α又sin（α＋β）＝eq \f(3,5)>eq \f(1,2)，
∴eq \f(π,2)<α＋β<π，
∴cs（α＋β）＝－eq \r(1－sin2α＋β)＝－eq \f(4,5)，
sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(2\r(5),5)，
∴cs β＝cs[（α＋β）－α]
＝cs（α＋β）cs α＋sin（α＋β）sin α
＝－eq \f(4,5)×eq \f(\r(5),5)＋eq \f(3,5)×eq \f(2\r(5),5)＝eq \f(2\r(5),25)。
学习目标
核心素养
1．能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。（难点）
2．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式。（重点）
3．能利用两角和与差的余弦公式化简、求值。（重点）
1．通过两角和与差余弦公式的推导，培养学生逻辑推理核心素养。
2．借助两角和与差余弦公式的应用，培养学生的数学运算核心素养。