高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.2.2 单位圆与三角函数线学案及答案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.2.2 单位圆与三角函数线学案及答案，共4页。学案主要包含了教学过程等内容，欢迎下载使用。

【教学过程】
一、问题导入
1．正弦、余弦正切的定义比较抽象，你能给出它们的一个直观表示吗？
2．这节课我们就来学习三角函数的直观表示——三角函数线。
二、新知探究
1．单位圆和三角函数线的概念
【例1】（1）设P点为角α的终边与单位圆O的交点，且sin α＝MP，cs α＝OM，则下列命题成立的是（ ）。
A．总有MP＋OM＞1
B．总有MP＋OM＝1
C．存在角α，使MP＋OM＝1
D．不存在角α，使MP＋OM＜0
（2）分别做出eq \f(3,4)π和－eq \f(4,7)π的正弦线、余弦线和正切线。
【答案】（1）C
【解析】显然，当角α的终边不在第一象限时，MP＋OM＜1，MP＋OM＜0都有可能成立；当角α的终边落在x轴或y轴正半轴时，MP＋OM＝1，故选C。
（2）解：①在直角坐标系中作单位圆，如图甲，以Ox轴为始边作eq \f(3,4)π角，角的终边与单位圆交于点P，作PM ⊥ Ox轴，垂足为M，由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点，则sineq \f(3,4)π＝MP，cseq \f(3,4)π＝OM，taneq \f(3,4)π＝AT，即eq \f(3,4)π的正弦线为eq \(MP,\s\up12(→))，余弦线为eq \(OM,\s\up12(→))，正切线为eq \(AT,\s\up12(→))。
②同理可做出－eq \f(4,7)π的正弦线、余弦线和正切线，如图乙。
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,7)π))＝M1P1，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,7)π))＝O1M1，
taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,7)π))＝A1T1，即－eq \f(4,7)π的正弦线为eq \(M1P1,\s\up12(→))，余弦线为eq \(O1M1,\s\up12(→))，正切线为eq \(A1T1,\s\up12(→))。
[教师小结]
（1）作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线。
（2）作正切线时，应从A（1，0）点引单位圆的切线交角的终边于一点T，即可得到正切线eq \(AT,\s\up12(→))，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来做正切线。
2．三角函数线的综合应用
[探究问题]
（1）为什么在三角函数线上，点P的坐标为（cs α，sin α），点T的坐标为（1，tan α）呢？
【提示】由三角函数的定义可知sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，而在单位圆中，r＝1，所以单位圆上的点都是（cs α，sin α）；另外角的终边与直线x＝1的交点的横坐标都是1，所以根据tan α＝eq \f(y,x)，知纵坐标y＝tan α，所以点T的坐标为（1，tan α）。
（2）如何利用三角函数线比较大小？
【提示】利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：（1）角的位置要“对号入座”；（2）比较三角函数线的长度；（3）确定有向线段的正负。
【例2】已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，试比较sinα，α，tanα的大小。
[思路探究]本题可以利用正弦线，所对的弧长及正切线来表示sin α，α，tan α，并借助它们所在的扇形及三角形的面积大小来解决。
【解】如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P，单位圆交x轴正半轴于点A，作PM ⊥ x轴，PN ⊥ y轴，作AT ⊥ x轴，交α的终边于点T，由三角函数线定义，
得sin α＝MP，tan α＝AT，
又α＝eq \x\t(AP)的长，
∴S△AOP＝eq \f(1,2)·OA·MP＝eq \f(1,2)sin α，
S扇形AOP＝eq \f(1,2)·eq \x\t(AP)·OA
＝eq \f(1,2)·eq \x\t(AP)＝eq \f(1,2)α，
S△AOT＝eq \f(1,2)·OA·AT＝eq \f(1,2)tan α。
又∵S△AOP＜S扇形AOP＜S△AOT，
∴sin α＜α＜tan α。
[教师小结]三角函数线是单位圆中的有向线段，比较三角函数值大小时，一般把三角函数值转化为单位圆中的某些线段，进而用几何方法解决问题。
三、课堂总结
1．单位圆
（1）一般地把半径为1的圆叫做单位圆。
（2）角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标。
2．三角函数线
3．应用三角函数线比较大小的策略
①三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值。
②比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向。
四、课堂检测
1．已知α（0＜α＜2π）的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为（ ）。
A．eq \f(3π,4)或eq \f(π,4)B．eq \f(5π,4)或eq \f(7π,4)
C．eq \f(π,4)或eq \f(5π,4) D．eq \f(π,4)或eq \f(7π,4)
【答案】C
【解析】由题意α的终边为一、三象限的平分线，且0＜α＜2π，故得α＝eq \f(π,4)或eq \f(5π,4)。
2．在[0，2π]上满足sin x≥eq \f(1,2)的x的取值范围是（ ）。
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π))
【答案】B
【解析】画出单位圆（图略），结合正弦线得出sin x≥eq \f(1,2)的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))。
3．用三角函数线比较sin 1与cs 1的大小，结果是________。
【答案】sin1>cs1
【解析】∵eq \f(π,4)<1∴正弦线大于余弦线的长度，
∴sin 1>cs 1．
4．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边。
（1）sin α＝eq \f(2,3)；（2）cs α＝－eq \f(3,5)。
【解】（1）作直线y＝eq \f(2,3)交单位圆于P，Q两点，则OP与OQ为角α的终边，如图甲。
甲乙
（2）作直线x＝－eq \f(3,5)交单位圆于M，N两点，则OM与ON为角α的终边，如图乙。教学目标
核心素养
1．了解三角函数线的意义。（重点）
2．会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切。（难点）
1．通过三角函数线概念的学习，培养学生的数学抽象和直观想象核心素养。
2．借助三角函数线的应用，培养学生的逻辑推理及直观想象核心素养。