人教B版 (2019)必修 第三册8.1.3 向量数量积的坐标运算学案设计

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册8.1.3 向量数量积的坐标运算学案设计，共7页。学案主要包含了学习过程，探究问题等内容，欢迎下载使用。

【学习过程】
一、初试身手
1．已知a＝（1，－1），b＝（2，3），则a·b＝（ ）。
A．5B．4
C．－2D．－1
2．（2019·全国卷Ⅲ）已知向量a＝（2，2），b＝（－8，6），则cs〈a，b〉＝________。
3．已知a＝（3，x），|a|＝5，则x＝________。
二、合作探究
类型一：平面向量数量积的坐标运算
【例1】（1）已知向量a＝（1，2），b＝（2，x），且a·b＝－1，则x的值等于（ ）。
A．eq \f(1,2)B．－eq \f(1,2)
C．eq \f(3,2)D．－eq \f(3,2)
（2）已知向量a＝（－1，2），b＝（3，2），则a·b＝________，a·（a－b）＝________。
（3）已知a＝（2，－1），b＝（3，2），若存在向量c，满足a·c＝2，b·c＝5，则向量c＝________。
[思路探究]根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程（组）来进行求解。
类型二：向量的模的问题
【例2】（1）设平面向量a＝（1，2），b＝（－2，y），若a ∥ b，则|2a－b|等于（ ）。
A．4B．5
C．3eq \r(5)D．4eq \r(5)
（2）已知向量a＝（1，2），b＝（－3，2），则|a＋b|＝________，|a－b|＝________。
[思路探究]（1）两向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）共线的坐标表示：x1y2－x2y1＝0.
（2）已知a＝（x，y），则|a|＝eq \r(x2＋y2)。

类型三：向量的夹角与垂直问题
【探究问题】
1．设a，b都是非零向量，a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），θ是a与b的夹角，那么cs θ如何用坐标表示？
【提示】cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))。
2．已知a＝（1，－1），b＝（λ，1），当a与b的夹角α为钝角时，λ的取值范围是什么？
【提示】∵a＝（1，－1），b＝（λ，1），
∴|a|＝eq \r(2)，|b|＝eq \r(1＋λ2)，a·b＝λ－1．
∵a，b的夹角α为钝角，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ－1<0，,\r(2)\r(1＋λ2)≠1－λ，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ<1，,λ2＋2λ＋1≠0，))
∴λ<1且λ≠－1．
∴λ的取值范围是（－∞，－1）∪（－1，1）。
【例3】（1）已知向量a＝（2，1），b＝（1，k），且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是（ ）。
A．（－2，＋∞）B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
C．（－∞，－2）D．（－2，2）
（2）已知a＝（3，4），b＝（2，－1），且（a＋m·b）⊥（a－b），则实数m为何值？
[思路探究]（1）可利用a，b夹角为锐角⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a·b>0,a≠λb))求解。
（2）可利用两非零向量a ⊥ b⇔a·b＝0来求m。
三、学习小结
1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
（1）向量内积的坐标运算：
已知a＝（a1，a2），b＝（b1，b2），则a·b＝a1b1＋a2b2．
（2）用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：
设a＝（a1，a2），b＝（b1，b2），则a ⊥ b⇔a1b1＋a2b2＝0.
2．向量的长度、距离和夹角公式
（1）向量的长度：
已知a＝（a1，a2），则|a|＝。
（2）两点间的距离：
如果A（x1，y1），B（x2，y2），则
|eq \(AB,\s\up8(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12)。
（3）两向量的夹角：
设a＝（a1，a2），b＝（b1，b2），
则cs〈a，b〉＝。
四、精炼反馈
1．（2019·全国卷Ⅱ）已知向量a＝（2，3），b＝（3，2），则|a－b|＝（ ）。
A．eq \r(2)B．2
C．5eq \r(2)D．50
2．若a＝（3，－1），b＝（x，－2），且〈a，b〉＝eq \f(π,4)，则x等于（ ）。
A．1B．－1
C．4D．－4
3．设a＝（x，x＋1），b＝（1，2）且a ⊥ b，则x＝________。
4．已知向量a＝（3，－1），b＝（1，－2），
求：（1）a·b；
（2）（a＋b）2；
（3）（a＋b）·（a－b）。
答案解析
一、初试身手
1．【答案】D
【解析】a·b＝（1，－1）·（2，3）＝1×2＋（－1）×3＝－1．
2．【答案】－eq \f(\r(2),10)
【解析】∵a＝（2，2），b＝（－8，6），
∴a·b＝2×（－8）＋2×6＝－4，
|a|＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，|b|＝eq \r(－82＋62)＝10.
∴cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－4,2\r(2)×10)＝－eq \f(\r(2),10)。
3．【答案】±4
【解析】|a|＝eq \r(32＋x2)＝5，∴x2＝16．即x＝±4．
二、合作探究
例1．【答案】（1）D
（2）1 4
（3）eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,7)，\f(4,7)))
【解析】（1）因为a＝（1，2），b＝（2，x），所以a·b＝（1，2）·（2，x）＝1×2＋2x＝－1，解得x＝－eq \f(3,2)。
（2）a·b＝（－1，2）·（3，2）＝（－1）×3＋2×2＝1，
a·（a－b）＝（－1，2）·[（－1，2）－（3，2）]＝（－1，2）·（－4，0）＝4．
（3）设c＝（x，y），因为a·c＝2，b·c＝5，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＝2，,3x＋2y＝5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(9,7)，,y＝\f(4,7)，))所以c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,7)，\f(4,7)))
例2．【答案】（1）D
（2）2eq \r(5)4
【解析】（1）由a ∥ b，得y＋4＝0，
y＝－4，b＝（－2，－4），
∴2a－b＝（4，8），∴|2a－b|＝4eq \r(5)。故选D．
（2）由题意知，a＋b＝（－2，4），a－b＝（4，0），
因此|a＋b|＝2eq \r(5)，|a－b|＝4．
例3：【答案】（1）B
【解析】当a与b共线时，2k－1＝0，k＝eq \f(1,2)，此时a，b方向相同，夹角为0°，所以要使a与b的夹角为锐角，则有a·b>0且a，b不同向。由a·b＝2＋k>0得k>－2，且k≠eq \f(1,2)，即实数k的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))，选B．
（2）解：a＋m·b＝（3＋2m，4－m），a－b＝（1，5），因为（a＋m·b）⊥（a－b），所以（a＋m·b）·（a－b）＝0，
即（3＋2m）×1＋（4－m）×5＝0，所以m＝eq \f(23,3)。
四、精炼反馈
1．【答案】A
【解析】∵a－b＝（2，3）－（3，2）＝（－1，1），
∴|a－b|＝eq \r(－12＋12)＝eq \r(2)。故选A．
2．【答案】A
【解析】∵a·b＝|a|·|b|·cs eq \f(π,4)，
∴3x＋2＝eq \r(10)×eq \r(x2＋4)×eq \f(\r(2),2)，
解得x＝1或x＝－4．
又∵3x＋2>0，∴x>－eq \f(2,3)，故x＝1．
3．【答案】－eq \f(2,3)
【解析】∵a ⊥ b，
∴a·b＝0.
即x＋2（x＋1）＝0.
解得x＝－eq \f(2,3)．
4．【答案】（1）因为a＝（3，－1），b＝（1，－2），
所以a·b＝3×1＋（－1）×（－2）＝3＋2＝5．
（2）a＋b＝（3，－1）＋（1，－2）＝（4，－3），
所以（a＋b）2＝|a＋b|2＝42＋（－3）2＝25．
（3）a＋b＝（3，－1）＋（1，－2）＝（4，－3），
a－b＝（3，－1）－（1，－2）＝（2，1），
（a＋b）·（a－b）＝（4，－3）·（2，1）＝8－3＝5．
学习目标
核心素养
1．掌握向量数量积的坐标表达式，能进行平面向量数量积的坐标运算。（重点）
2．能运用数量积表示两个向量的夹角。计算向量的长度，会判断两个平面向量的垂直关系。（难点）
通过向量数量积的坐标运算与度量公式的学习及应用，提升学生的数学运算核心素养