高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.1.1 向量数量积的概念导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.1.1 向量数量积的概念导学案，共9页。学案主要包含了学习过程等内容，欢迎下载使用。
【学习过程】
一、新知初探
1．向量的夹角
2．向量的数量积
向量在轴上的投影。已知向量a和轴l，如图。
（1）投影的概念：作eq \(OA,\s\up8(→))＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量eq \(O1A1,\s\up8(→))叫做向量a在轴l上的投影（简称射影）；
（2）投影的数量：该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量。eq \(OA,\s\up8(→))＝a在轴l上投影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a| cs θ。
3．平面向量数量积的定义
|a||b| cs〈a，b〉叫做向量a和b的数量积，记作|a||b| cs〈a，b〉。
4．数量积的性质
（1）若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a| cs〈a·e〉。
思考1：向量的数量积与数乘向量的区别是什么？
【提示】向量的数量积a·b是一个实数，不考虑方向；数乘向量λa是一个向量，既有大小，又有方向，这是二者的区别。
（2）若a ⊥ b，则a·b＝0；反之，若a·b＝0，则a⊥ b，通常记作a⊥ b⇔a·b＝0.
思考2：a·b＝0与ab＝0的区别是什么？
【提示】（1）意义和表达方式不同。
a·b表示两个向量的数量积，中间的“·”不能省略，也不能写成“×”。
（2）推出的结果不同。由a·b＝0可推出以下四种可能
①a＝0，b＝0，②a＝0，b≠0，③a≠0，b＝0，④a≠0，b≠0，但a ⊥ B．而ab＝0可推出a与b中至少有一个为0.
（3）|a|＝eq \r(a·a)。
（4）cs θ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)。（|a|·|b|≠0）
（5）对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|。当且仅当a ∥ b 时等号成立。
二、初试身手
1．已知|a|＝3，向量a与b的夹角为eq \f(π,3)，则a在b方向上的投影为（ ）。
A．eq \f(3\r(3),2)B．eq \f(3\r(2),2)
C．eq \f(1,2)D．eq \f(3,2)
2．在△ABC中，eq \(AB,\s\up8(→))＝a，eq \(BC,\s\up8(→))＝b，且b·a＝0，则△ABC是（ ）。
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．无法确定
3．如图，在△ABC中，eq \(AC,\s\up8(→))，eq \(AB,\s\up8(→))的夹角与eq \(CA,\s\up8(→))，eq \(AB,\s\up8(→))的夹角的关系为________。
三、合作探究
类型一：与向量数量积有关的概念
【例1】（1）以下四种说法中正确的是________。（填序号）
①如果a·b＝0，则a＝0或b＝0；
②如果向量a与b满足a·b