数学必修 第三册8.2.4 三角恒等变换的应用学案

这是一份数学必修 第三册8.2.4 三角恒等变换的应用学案，共10页。学案主要包含了第一课时，教学目标，教学重难点，教学过程，教师小结，第二课时等内容，欢迎下载使用。

【第一课时】
【教学目标】
1．了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程．
2．掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．
【教学重难点】
掌握半角的正弦、余弦和正切公式.
【教学过程】
一、直接导入
前面我们学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，倍角公式，以及它们的一些应用，初步感受到了这些三角恒等变换在研究三角函数性质中的重要性.这里我们将继续学习前面所学公式的应用.
二、新知探究
1．化简问题
【例1】已知π<αeq \f(1－sin α,\r(1＋cs α)＋\r(1－cs α))的值．
[思路探究] 解答本题可先用二倍角公式“升幂”，再根据eq \f(α,2)的范围开方化筒．
[解] 原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)＋cs \f(α,2)))2,\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)))－\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2))))＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)－cs \f(α,2)))eq \s\up8(2),\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)))＋\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2))))
∵π<α0.
∴原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)＋cs \f(α,2)))2,－\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)＋cs \f(α,2))))＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)－cs \f(α,2)))2,\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)－cs \f(α,2))))
＝－eq \f(sin \f(α,2)＋cs \f(α,2),\r(2))＋eq \f(sin \f(α,2)－cs \f(α,2),\r(2))＝－eq \r(2)cs eq \f(α,2).
【教师小结】要熟记一些可用公式的形式，如：1＋cs α＝2sin2eq \f(α,2)，1－cs α＝2cs2eq \f(α,2)，1±sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)±cs \f(α,2)))eq \s\up8(2)等，解题时应有意识地将这些形式变形寻求思路．
2．求值问题
【例2】已知|cs θ|＝eq \f(3,5)，且eq \f(5π,2)<θ<3π，求sin eq \f(θ,2)，cs eq \f(θ,2)，tan eq \f(θ,2)的值．
[思路探究] eq \x(由题意求cs θ)
―→eq \x(由半角公式求sin2\f(θ,2)，cs2\f(θ,2))
―→eq \x(求sin \f(θ,2)，cs \f(θ,2))―→求eq \x(tan \f(θ,2))
[解] 由eq \f(5π,2)<θ<3π，且|cs θ|＝eq \f(3,5)可知，
cs θ＝－eq \f(3,5)，eq \f(θ,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(3π,2))).
由sin2eq \f(θ,2)＝eq \f(1－cs θ,2)＝eq \f(1＋\f(3,5),2)＝eq \f(4,5)得，
sin eq \f(θ,2)＝－eq \r(\f(4,5))＝－eq \f(2\r(5),5).
由cs2eq \f(θ,2)＝eq \f(1＋cs θ,2)＝eq \f(1－\f(3,5),2)＝eq \f(1,5)得，
cs eq \f(θ,2)＝－eq \f(\r(5),5).
∴tan eq \f(θ,2)＝eq \f(sin \f(θ,2),cs \f(θ,2))＝eq \f(－\f(2\r(5),5),－\f(\r(5),5))＝2．
【教师小结】已知θ的某三角函数值，求eq \f(θ,2)的相应三角函数值时，常借助于半角公式sin2eq \f(θ,2)＝eq \f(1－cs θ,2)，cs2eq \f(θ,2)＝eq \f(1＋cs θ,2)，tan eq \f(θ,2)＝eq \f(sin θ,1＋cs θ)＝eq \f(1－cs θ,sin θ)来处理，由于上述式子中可能涉及解的不定性，故在求解中应注意求eq \f(θ,2)的范围.
3．三角恒等式的证明
【例3】（1）求证：1＋2cs2θ－cs 2θ＝2；
（2）求证：eq \f(2sin xcs x,sin x＋cs x－1sin x－cs x＋1)＝eq \f(1＋cs x,sin x).
[思路探究]（1）可由左向右证：先把左边cs2 θ降幂化为同角后整理可证．
（2）可先从左边表达式分母中升幂缩角入手，再通过改变函数结构向右边转化．
[解]（1）左边＝1＋2×eq \f(1＋cs 2θ,2)－cs 2θ＝2＝右边．
所以原等式成立．
（2）左边＝eq \f(2sin xcs x,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin\f(x,2)cs\f(x,2)－2sin2\f(x,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin\f(x,2)cs\f(x,2)＋2sin2\f(x,2))))
＝eq \f(2sin xcs x,4sin2\f(x,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(x,2)－sin2\f(x,2))))＝eq \f(sin x,2sin2\f(x,2))＝eq \f(cs \f(x,2),sin\f(x,2))＝eq \f(2cs2\f(x,2),2sin\f(x,2)cs\f(x,2))＝eq \f(1＋cs x,sin x)＝右边．
所以原等式成立．
【教师小结】三角恒等式证明的五种常用方法：
1执因索果法：证明的形式一般化繁为简.
2左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子.
3拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同.
4比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”.
5分析法：从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.
三、课堂总结
常用的三角恒等变换思想方法
(1)常值代换
用某些三角函数值或三角函数式来代替三角函数式中的某些常数，使之代换后能运用相关公式，化简得以顺利进行．我们把这种代换称为常值代换．
(2)切化弦
当待化简式中既含有正弦、余弦，又含有正切，利用同角的基本三角函数关系式tan α＝eq \f(sin α,cs α)，将正切化为正弦和余弦，这就是“切化弦”的思想方法，切化弦的好处在于减少了三角函数名称．
(3)降幂与升幂
由C2α变形后得到公式：sin2α＝eq \f(1,2)(1－cs 2α)，cs2α＝eq \f(1,2)(1＋cs 2α)，运用它就是降幂．反过来，直接运用倍角公式或变形公式1＋cs 2α＝2cs2α，1－cs 2α＝2sin2α，就是升幂．
(4)角的变换
角的变换沟通了已知角与未知角之间的联系，使公式顺利运用，解题过程被简化．常见的角的变换有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝eq \f(1,2)[(α＋β)＋(α－β)]，α＝eq \f(1,2)[(α＋β)－(β－α)]，α＋β＝(2α＋β)－α等.
四、课堂检测
1．已知cs α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π，2π))，则sin eq \f(α,2)等于( )
A．eq \f(\r(5),5) B．－eq \f(\r(5),5)
C．eq \f(4,5) D．eq \f(2\r(5),5)
A [由题知eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π，π))，
∴sin eq \f(α,2)>0，sin eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1－cs α,2))＝eq \f(\r(5),5).]
2．已知sin α－cs α＝－eq \f(5,4)，则sin 2α的值等于( )
A．eq \f(7,16)B．－eq \f(7,16)
C．－eq \f(9,16) D．eq \f(9,16)
C [由sin α－cs α＝－eq \f(5,4)，(sin α－cs α)2＝1－2sin α·cs α＝1－sin 2α＝eq \f(25,16)，所以sin 2α＝－eq \f(9,16).]
3．函数y＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋cs2x的最小正周期为________．
π [∵y＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋cs2x＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋eq \f(1,2)cs 2x＋eq \f(1,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋eq \f(1,2)，∴函数的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.]
4．求证：eq \f(1＋sin 4θ－cs 4θ,2tan 4θ)＝eq \f(1＋sin 4θ＋cs 4θ,1－tan2 θ).
[证明] 原式可变形为
1＋sin 4θ－cs 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cs 4θ)，①
①式右边＝eq \f(sin 2θ,cs 2θ)(1＋2cs22θ－1＋2sin 2θcs 2θ)
＝eq \f(sin 2θ,cs 2θ)(2cs22θ＋2sin 2θcs 2θ)＝2sin 2θ(cs2θ＋sin2θ)
＝2sin 2θcs2θ＋2sin22θ＝sin4θ＋1－cs4θ＝左边．
∴①式成立，即原式得证．
【第二课时】
【教学目标】
1．能根据公式Sα±β和Cα±β进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式．
2．了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．
【教学重难点】
三角函数的积化和差与和差化积公式
【教学过程】
一、问题导入
两个三角函数的和、差、积是怎么进行运算的？可以用之前学过的公式进行推导吗？
二、合作探究
1．积化和差问题
【例1】（1）求值：sin 20°cs 70°＋sin 10°sin 50°.
（2）求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.
[思路探究] 利用积化和差公式化简求值，注意角的变换，尽量出现特殊角．
[解] （1）sin 20°cs 70°＋sin 10°sin 50°
＝eq \f(1,2)(sin 90°－sin 50°)－eq \f(1,2)(cs 60°－cs 40°)
＝eq \f(1,4)－eq \f(1,2)sin 50°＋eq \f(1,2)cs 40°
＝eq \f(1,4)－eq \f(1,2)sin 50°＋eq \f(1,2)sin 50°＝eq \f(1,4).
（2）原式＝cs 10°cs 30°cs 50°cs 70°
＝eq \f(\r(3),2)cs 10°cs 50°cs 70°
＝eq \f(\r(3),2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 60°＋cs 40°·cs 70°))
＝eq \f(\r(3),8)cs 70°＋eq \f(\r(3),4)cs 40°cs 70°
＝eq \f(\r(3),8)cs 70°＋eq \f(\r(3),8)(cs 110°＋cs 30°)
＝eq \f(\r(3),8)cs 70°＋eq \f(\r(3),8)cs 110°＋eq \f(3,16)＝eq \f(3,16).
【教师小结】积化和差公式的功能与关键
1功能：①把三角函数的一种形式积的形式转化为另一种形式和差的形式.
②将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质.
2关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数.
2．和差化积问题
【例2】已知cs α－cs β＝eq \f(1,2)，sin α－sin β＝－eq \f(1,3)，求sin(α＋β)的值．
[思路探究]利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解．
[解] ∵cs α－cs β＝eq \f(1,2)，
∴－2sineq \f(α＋β,2)sineq \f(α－β,2)＝eq \f(1,2).①
又∵sin α－sin β＝－eq \f(1,3)，
∴2cseq \f(α＋β,2)sineq \f(α－β,2)＝－eq \f(1,3).②
∵sineq \f(α－β,2)≠0，
∴由①②，得－taneq \f(α＋β,2)＝－eq \f(3,2)，即taneq \f(α＋β,2)＝eq \f(3,2).
∴sin(α＋β)＝eq \f(2sin\f(α＋β,2)cs\f(α＋β,2),sin2\f(α＋β,2)＋cs2\f(α＋β,2))
＝eq \f(2tan\f(α＋β,2),1＋tan2\f(α＋β,2))＝eq \f(2×\f(3,2),1＋\f(9,4))＝eq \f(12,13).
1．(变结论)本例中条件不变，试求cs(α＋β)的值．
[解] 因为cs α－cs β＝eq \f(1,2)，
所以－2sin eq \f(α＋β,2)sin eq \f(α－β,2)＝eq \f(1,2).①
又因为sin α－sin β＝－eq \f(1,3)，
所以2cs eq \f(α＋β,2)sin eq \f(α－β,2)＝－eq \f(1,3).②
因为sin eq \f(α－β,2)≠0，
所以由①②，得－tan eq \f(α＋β,2)＝－eq \f(3,2)，即tan eq \f(α＋β,2)＝eq \f(3,2).
所以cs (α＋β)＝eq \f(cs2\f(α＋β,2)－sin2\f(α＋β,2),sin2\f(α＋β,2)＋cs2\f(α＋β,2))
＝eq \f(1－tan2\f(α＋β,2),1＋tan2\f(α＋β,2))＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up8(2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up8(2))＝－eq \f(5,13).
2．(变条件)将本例中的条件“cs α－cs β＝eq \f(1,2)，sin α－sin β＝－eq \f(1,3)”变为“cs α＋cs β＝eq \f(1,2)，sin α＋sin β＝－eq \f(1,3)”，结果如何？
[解] 因为cs α＋cs β＝eq \f(1,2)，
所以2cs eq \f(α＋β,2)cs eq \f(α－β,2)＝eq \f(1,2).①
又因为sin α＋sin β＝－eq \f(1,3)，
所以2sin eq \f(α＋β,2)cs eq \f(α－β,2)＝－eq \f(1,3).②
所以cs eq \f(α－β,2)≠0，所以由①②，得tan eq \f(α＋β,2)＝－eq \f(2,3)，
所以sin (α＋β)＝eq \f(2sin \f(α＋β,2)cs \f(α＋β,2),sin2\f(α＋β,2)＋cs2\f(α＋β,2))＝eq \f(2tan \f(α＋β,2),1＋tan2\f(α＋β,2))＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3))),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))eq \s\up8(2))＝－eq \f(12,13).
【教师小结】和差化积公式应用时的注意事项：
1在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次.
2根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：
①运用公式之后，能否出现特殊角；
②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项.
3为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当作三角函数值才能应用公式，如 eq \f(1,2)－cs α＝cs eq \f(π,3)－cs α.
3．公式的综合应用
[探究问题]
（1）解决与三角形有关问题时应注意哪些隐含条件的应用？
[提示] 注意三角形中的隐含条件的应用，如A＋B＋C＝π，a＋b>c等．
（2）在△ABC中有哪些重要的三角关系？
[提示] 在△ABC中的三角关系：
sin(A＋B)＝sin C，cs(A＋B)＝－cs C，
sineq \f(A＋B,2)＝cseq \f(C,2)，cseq \f(A＋B,2)＝sineq \f(C,2)，
sin(2A＋2B)＝－sin 2C，cs(2A＋2B)＝cs 2C．
【例3】在△ABC中，求证：sin A＋sin B－sin C
＝4sineq \f(A,2)sineq \f(B,2)cseq \f(C,2).
[思路探究] 利用和差化积进行转化，转化时要注意A＋B＋C＝π.
[解] 左边＝sin(B＋C)＋2sineq \f(B－C,2)·cseq \f(B＋C,2)
＝2sineq \f(B＋C,2)cseq \f(B＋C,2)＋2sineq \f(B－C,2)cseq \f(B＋C,2)
＝2cseq \f(B＋C,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(B＋C,2)＋sin\f(B－C,2)))
＝4sineq \f(A,2)sineq \f(B,2)cseq \f(C,2)＝右边，∴原等式成立．
【教师小结】证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证.
三、课堂总结
1．公式的记忆
和差化积公式记忆口诀：
“正和正在前，正差正后迁；余和一色余，余差翻了天．”
(正代表sin α，余代表cs α)
2．公式的应用
注意公式的应用条件、各种三角恒等变换公式以及公式之间的相互推导．
四、课堂检测
1．sin 75°－sin 15°的值为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(\r(3),2)D．－eq \f(1,2)
B [sin 75°－sin 15＝2cseq \f(75°＋15°,2)sineq \f(75°－15°,2)＝2×eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(2),2).故选B．]
2．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))cs x的最大值为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,4)
C．1 D．eq \f(\r(2),2)
B [∵y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))cs x＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)＋x))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)－x))))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－\f(1,2)))＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－eq \f(1,4).
∴函数y的取最大值为eq \f(1,4).]
3．已知sin(α＋β)＝eq \f(2,3)，sin(α－β)＝eq \f(1,5)，则sin αcs β＝________.
eq \f(13,30) [sin αcs β＝eq \f(1,2)sin(α＋β)＋eq \f(1,2)sin(α－β)＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,5)＝eq \f(13,30).]
4．化简下列各式：
（1）eq \f(cs A＋cs120°＋B＋cs120°－B,sin B＋sin120°＋A－sin120°－A)；
（2）eq \f(sin A＋2sin 3A＋sin 5A,sin 3A＋2sin 5A＋sin 7A).
[解] （1）原式＝eq \f(cs A＋2cs 120°cs B,sin B＋2cs 120°sin A)
＝eq \f(cs A－cs B,sin B－sin A)＝eq \f(2sin \f(A＋B,2)sin \f(B－A,2),2cs \f(A＋B,2)sin \f(B－A,2))＝tan eq \f(A＋B,2).
（2）原式＝eq \f(sin A＋sin 5A＋2sin 3A,sin 3A＋sin 7A＋2sin 5A)
＝eq \f(2sin 3Acs 2A＋2sin 3A,2sin 5Acs 2A＋2sin 5A)
＝eq \f(2sin 3Acs 2A＋1,2sin 5Acs 2A＋1)＝eq \f(sin 3A,sin 5A).