2021学年8.2.1 两角和与差的余弦学案

两角和与差的余弦

【教学过程】

一、问题导入

（1）我们已经知道了30°，45°的正弦、余弦值，那么，能否根据这些值求出cos15°的值呢？

（2）一般地，怎样根据α与β的三角函数值求出cos（α-β）的值？

二、新知探究

1．利用两角和与差的余弦公式化简求值

【例1】（1）cos 345°的值等于（   ）。

A． B．

C． D．－

（2）化简下列各式：

①cos（θ＋21°）cos（θ－24°）＋sin（θ＋21°）sin（θ－24°）；

②－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°。

思路探究：利用诱导公式，两角差的余弦公式求解。

（1）C；[cos 345°＝cos（360°－15°）

＝cos 15°＝cos（45°－30°）＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°·sin 30°

＝。]

（2）解：①原式＝cos[θ＋21°－（θ－24°）]

＝cos 45°＝，所以原式＝；

②原式＝－sin（180°－13°）sin（180°＋43°）＋sin（180°＋77°）·sin（360°－47°）

＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°

＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43°

＝cos（13°－43°）＝cos（－30°）＝。

[教师小结]

（一）在两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体。

（二）在两角和与差的余弦公式求值应用中，一般思路是：

（1）把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值。

（2）在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值。

2．给值（式）求值

【例2】（1）已知cos α＝，α∈，则cosα－＝________。

（2）α，β为锐角，cos（α＋β）＝，cos（2α＋β）＝，求cos α的值。

思路探究：（1）可先求得sin α，再用两角差的余弦公式求cos；

（2）可考虑拆角，即α＝（2α＋β）－（α＋β）来求cos α。

答案：（1）；[因为cos α＝，α∈，

所以sin α＝－，

所以cos＝cos αcos ＋sin αsin

＝×＋×＝。]

（2）解：因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π。

又因为cos（α＋β）＝，所以0<α＋β<，所以0<2α＋β<π。

又因为cos（2α＋β）＝，所以0<2α＋β<，

所以sin（α＋β）＝，sin（2α＋β）＝，

所以cos α＝cos[（2α＋β）－（α＋β）]

＝cos（2α＋β）·cos（α＋β）＋sin（2α＋β）·sin（α＋β）

＝×＋×＝。

[教师小结]

给值求值的解题步骤：

1找角的差异。已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，先注意观察已知角与所求表达式中角的差异。

2拆角与凑角。根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换。常见角的变换有：

α＝α＋β－β，α＝β－β－α，α＝2α－β－α－β，

α＝[α＋β＋α－β]，α＝[β＋α－β－α]等。

3求解。结合公式Cα±β求解便可。

3．已知三角函数值求角

【例3】已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值。

[探究：本题可先求出cos（α－β）的值，结合α－β的范围，再求出α－β的值。

解：∵α，β均为锐角，cos α＝，cos β＝，

∴sin α＝，sin β＝，

∴cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β

＝×＋×

＝。

又sin α<sin β，

∴0<α<β<，

∴－<α－β<0.

故α－β＝－。

[教师小结]

（一）这类问题的求解，关键环节有两点：

（1）求出所求角的某种三角函数值；（2）确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图像，角可求解。

（二）确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定。

4．利用角的变换求三角函数值

[探究问题]

（1）若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？

提示：cos α＝cos[（α＋β）－β]

＝cos（α＋β）cos β＋sin（α＋β）sin β。

（2）利用α－（α－β）＝β可得cos β等于什么？

提示：cos β＝cos[α－（α－β）]＝cos αcos（α－β）＋sin αsin（α－β）。

（3）若cos α－cos β＝a，sin α－sin β＝b，则cos（α－β）等于什么？

提示：cos（α－β）＝。

【例4】若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos的值为（   ）。

A． B．－

C． D．－

思路探究：利用角的交换求解，α＋＝－。

答案：C。[∵0<α<，－<β<0，

∴<α＋<，<－<，

又∵cos＝，cos＝，

∴sin＝，sin＝，

∴cos＝cos

＝cos·cos＋sin·sin

＝×＋×＝，故选C。]

[教师小结]巧妙变角是指将已知角灵活分拆、配凑成待求的角。主要针对已知某些角的三角函数值，求（或证明）另外角的三角函数值的题目，解决问题的关键是要善于观察。常见的“变角”有：①单角变为和（差）角，如α＝α－β＋β，β＝－等；②倍角化为和（差）角，如2α＝α＋β＋α－β等等。

三、课堂总结

两角和与差的余弦公式

Cα＋β：cos（α＋β）＝cos_αcos_β－sin_αsin_β。

Cα－β：cos（α－β）＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β。

对公式C（α－β）和C（α＋β）的三点说明

（1）公式的结构特点：公式的左边是差（和）角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和（差）式，可用口诀两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”。

（2）公式的适用条件：公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos中的“”相当于公式中的角α，“”相当于公式中的角β。

（3）公式的“活”用：公式的运算要“活”，体现在顺用、逆用、变用，而变用又涉及两个方面：

①公式本身的变用，如cos（α－β）－cos α·cos β＝sinα·sin β。

②角的变用，也称为角的变换，如cos α＝cos[（α＋β）－β]等。

四、课堂检测

1．下列式子中，正确的个数为（   ）。

①cos（α－β）＝cos α－cos β；②cos＝sin α；

③cos（α－β）＝cos αcos β－sin αsin β。

A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

答案：A。[由cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β知①③错误，cos ＝－sin α，故②错误，故选A。]

2．已知锐角α，β满足cos α＝，cos（α＋β）＝－，则cos β等于（   ）。

A． B．－

C． D．－

答案：A。[因为α，β为锐角，cos α＝，cos（α＋β）＝－，所以sin α＝，sin（α＋β）＝，所以cos β＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）·cos α＋sin（α＋β）·sin α＝－×＋×

＝，故选A。]

3．sin 75°＝________。

答案：[sin 75°＝cos 15°＝cos（45°－30°）＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°·sin 30°

＝×＋×＝。]

4．设α，β都是锐角，且cos α＝，sin（α＋β）＝，求cos β的值。

解：∵α，β都是锐角且cos α＝<，

∴<α<，

又sin（α＋β）＝>，

∴<α＋β<π，

∴cos（α＋β）＝－＝－， sin α＝＝，

∴cos β＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sin α＝－×＋×＝。