2020-2021学年第一章 集合与常用逻辑用语本章综合与测试单元测试同步训练题

这是一份2020-2021学年第一章 集合与常用逻辑用语本章综合与测试单元测试同步训练题，共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 若全集U＝R，A＝{x|x<1}，B＝{x|x>−1}，则（ ）
A.A⊆BB.B⊆AC.B⊆∁UAD.∁UA⊆B

2. 集合M={y|y=4−x2,x∈Z}的真子集的个数为（ ）
A.7B.8C.31D.32

3. 下列集合的表示法正确的是（ ）
A.第二、四象限内的点集可表示为{(x, y)|xy≤0, x∈R, y∈R}
B.不等式x−1<4的解集为{x<5}
C.整数集可表示为{全体整数}
D.实数集可表示为R

4. 设集合A={2, 1−a, a2−a+2}，若4∈A，则a=( )
A.−3或−1或2B.−3或−1C.−3或2D.−1或2

5. 已知集合A＝{x|x2−2x−3≤0}，集合B＝{x||x−1|≤3}，集合C={x|x−4x+5≤0}，则集合A，B，C的关系为（ ）
A.B⊆AB.A＝BC.C⊆BD.A⊆C

6. 如果集合S＝{x|x＝4n+2, n∈N}，T＝{x|x＝4k−2, k∈Z}，则（ ）
A.S⫋TB.T⫋SC.S＝TD.S∩T＝⌀

7. 如果集合A＝{x|ax2−2x−1＝0}只有一个元素则a的值是（ ）
A.0B.0或1C.−1D.0或−1

8. 已知集合A＝{x|x2−2x−3<0}，非空集合B＝{x|2−aA.(−∞, 2]B.(12,2]C.(−∞, 2)D.(12,2)
二、多选题

已知M＝{x∈R|x≥22}，a＝π，有下列四个式子：
a∈M；(2){a}⊆M；（3）a⊆M；(4){a}∩M＝π．
其中正确的是（ ）
A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)

给出下列关系，其中正确的选项是（ ）
A.⌀∈{{⌀}}B.⌀∉{{⌀}}C.⌀∈{⌀}D.⌀⊆{⌀}

已知集合A＝{x|−1A.A∩B＝⌀B.A∪B＝{x|−2≤x≤3}
C.A∪∁RB＝{x|x≤−1或x>2}D.A∩∁RB＝{x|2
设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x+y，x−y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题中真命题有（ ）
A.集合S＝{a+bi|(a, b为整数, i为虚数单位)}为封闭集
B.若S为封闭集，则一定有0∈S
C.封闭集一定是无限集
D.若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集
三、填空题

已知集合M＝{1, m+1, m2+4}，如果5∈M且−2∉M，那么m＝________．

已知集合A＝{x|x＝4k±1, k∈Z}，B＝{y|y＝2n, n∈Z}，则A∪B＝________．

若集合A＝{x|ax2−ax+1＝0}＝⌀，则实数a的取值范围是________．

设集合A＝{x||x−a|<1, x∈R}，B＝{x|1四、解答题

设集合A＝{x|x2−x−6>0}，B＝{x|−4<3x−7<8}．
（1）求A∪B，A∩B；

（2）已知集合C＝{x|a
设集合A＝{x|x2+4x＝0}，B＝{x|x2+2(a+1)x+a2−1＝0}，若A∩B＝B，求a的值．

已知集合A＝{x∈R|ax2+2x+1＝0}，其中a∈R．
（1）1是A中的一个元素，用列举法表示A；

（2）若A中有且仅有一个元素，求实数a的组成的集合B；

（3）若A中至多有一个元素，试求a的取值范围．
参考答案与试题解析
人教A版（2019）必修第一册《第一章 集合与常用逻辑用语》2020年单元测试卷（3）
一、单选题
1.
【答案】
D
【考点】
集合的包含关系判断及应用
【解析】
由集合间的关系直接判断．
【解答】
∵ ∁RA＝{x|x≥1}，∁RB＝{x|x≤−1}，∴ ∁RA⊆B，
2.
【答案】
A
【考点】
子集与真子集
【解析】
根据题意，设x取一些值，代入求y值，再求真子集个数．
【解答】
令x＝0，则y＝2；
令x＝±1，则y=3；
令x＝±2，则y＝0；
则M中有三个元素，则有7个真子集．
3.
【答案】
D
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
由列举法和描述法的定义逐一核对四个选项得答案．
【解答】
对于A，第二、四象限内的点集可表示为{(x, y)|xy<0, x∈R, y∈R}，故A错误；
对于B，其中缺少代表元素及竖线，故B错误；
对于C，其中应去掉“全体”，故C错误；
对于D，实数集可表示为R，正确．
4.
【答案】
C
【考点】
集合的确定性、互异性、无序性
【解析】
分别由1−a=4，a2−a+2=4，求出a的值，代入观察即可．
【解答】
解：①若1−a=4，则a=−3，
∴ a2−a+2=14，
∴ A={2, 4, 14}；
②若a2−a+2=4，则a=2或a=−1，
当a=2时，1−a=−1
∴ A={2, −1, 4}；
当a=−1时，1−a=2（舍）.
∴ a=−3或2.
故选C．
5.
【答案】
D
【考点】
集合的包含关系判断及应用
【解析】
解出不等式，从而得出集合A，B，C，再根据子集的定义判断A，B，C的关系．
【解答】
∵ x2−2x−3≤0，即(x−3)(x+1)≤0，
∴ −1≤x≤3，则A＝[−1, 3]，
又|x−1|≤3，即−3≤x−1≤3，
∴ −2≤x≤4，则B＝[−2, 4]，
∵ x−4x+5≤0⇔(x−4)(x+5)≤0x+5≠0 ，
∴ −5∴ A⊆C，B⊆C，
6.
【答案】
A
【考点】
交集及其运算
集合的含义与表示
【解析】
利用集合与元素的关系，判断即可．
【解答】
集合S＝{x|x＝4n+2, n∈N}，
说明集合S的元素是除以4余2的自然数，
T＝{x|x＝4k−2, k∈Z}，x＝4(k−1)+2，集合S的元素是除以4余2的整数，
故S⫋T，
7.
【答案】
D
【考点】
元素与集合关系的判断
【解析】
根据集合A＝{x|ax2−2x−1＝0}只有一个元素，可得方程ax2−2x−1＝0只有一个根，然后分a＝0和a≠0两种情况讨论，求出a的值即可．
【解答】
根据集合A＝{x|ax2−2x−1＝0}只有一个元素，
可得方程ax2−2x−1＝0只有一个根，
①a＝0，x=−12，满足题意；
②a≠0时，则应满足△＝0，
即22−4a×(−1)＝4a+4＝0
解得a＝−1．
所以a＝0或a＝−1．
8.
【答案】
B
【考点】
集合的包含关系判断及应用
【解析】
解出集合A，由B⊆A可列出关系式，解出a的范围即可．
【解答】
A＝{x|x2−2x−3<0}＝(−1, 3)，B⊆A，当B≠⌀时，2−a<1+a2−a≥−11+a≤3 解得12二、多选题
【答案】
A,B
【考点】
元素与集合关系的判断
【解析】
因为集合A中的元素是大于等于22的所有实数，而a＝π，所以元素a在集合M中，根据集合与元素及集合与集合之间的关系逐一判断各选择支．
【解答】
由于M＝{x∈R|x≥22}，知构成集合M的元素为大于等于22的所有实数，因为a＝π>22，
所以元素a∈M，且{a}⫋M，同时{a}∩M＝{π}，所以（1）和（2）正确，
故选：AB．
【答案】
B,C,D
【考点】
集合的包含关系判断及应用
【解析】
根据元素与集合的关系，集合并集的运算，空集是任何集合的子集即可判断每个选项的正误．
【解答】
显然⌀不是集合{{⌀}}的元素，∴ A错误；
⌀不是集合{{⌀}}的元素，⌀是{⌀}的元素，⌀是任何集合的子集，从而得出选项B，C，D都正确．
【答案】
B,D
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
求解绝对值不等式化简集合B，再利用交、并、补集的运算性质逐一分析四个选项得答案．
【解答】
∵ A＝{x|−1∴ A∩B＝{x|−1A∪B＝{x|−1∵ ∁RB＝{x|x<−2或x>2}，
∴ A∪∁RB＝{x|−12}＝{x|x<−2或x>−1}，故C不正确；
A∩∁RB＝{x|−12}＝{x|2∴ 正确的是B，D．
【答案】
A,B
【考点】
元素与集合关系的判断
【解析】
由题意直接验证A即可判断正误；令x＝y可推出B是正确的；找出反例集合S＝{0}，即可判断C的错误．S＝{0}，T＝{0, 1}，推出−1不属于T，判断D是错误的．
【解答】
取集合S＝{a+bi|(a, b为整数, i为虚数单位)}中任意两个元素m+ni和p+qi(m、n、p、q∈Z)，则(m+ni)+(p+qi)＝(m+p)+(n+q)i∈S；(m+ni)−(p+qi)＝(m−p)+(n−q)i∈S；(m+ni)⋅(p+qi)＝(mp−nq)+(mq+np)i∈S；满足集合S＝{a+bi|(a, b为整数, i为虚数单位)}为封闭集；A正确．
当S为封闭集时，因为x−y∈S，取x＝y，得0∈S，B正确
对于集合S＝{0}，显然满足所有条件，但S是有限集，C错误
取S＝{0}，T＝{0, 1}，满足S⊆T⊆C，但由于0−1＝−1不属于T，故T不是封闭集，D错误．
三、填空题
【答案】
4或1或−1
【考点】
元素与集合关系的判断
【解析】
利用5∈M且−2∉M，对集合M的元素分情况讨论，检验即可求出m的值．
【解答】
①当m+1＝5时，m＝4，
此时集合M＝{1, 5, 20}，符合题意，
②当m2+4＝5时，m＝1或−1，
若m＝1，集合M＝{1, 2, 5}，符合题意，
若m＝−1，集合M＝{1, 0, 5}，符合题意，
综上所求，m的值为4或1或−1，
【答案】
Z
【考点】
并集及其运算
【解析】
求出集合A＝{奇数}，B＝{偶数}，由此能求出A∪B．
【解答】
∵ 集合A＝{x|x＝4k±1, k∈Z}＝{奇数}，
B＝{y|y＝2n, n∈Z}＝{偶数}，
∴ A∪B＝Z．
【答案】
[0, 4)
【考点】
集合的含义与表示
【解析】
当集合A为空集时，关于x的方程ax2−ax+1＝0无解．
【解答】
由题意知，△＝a2−4a<0或a＝0．
解得0≤a<4．
即实数a的取值范围是[0, 4)．
【答案】
[2, 4]
【考点】
集合的包含关系判断及应用
【解析】
先化简集合A，再根据A⫋B，得到关于a的不等式求出a的取值范围．
【解答】
由|x−a|<1，得−1由A⫋B得a−1>1a+1<5 ，∴ 2又当a＝2时，A＝{x|1∴ 2≤a≤4．
四、解答题
【答案】
∵ 集合A＝{x|x2−x−6>0}＝{x|x>3或x<−2}，
B＝{x|−4<3x−7<8}＝{x|1∴ A∪B＝{x|x<−2或x>1}，
A∩B＝{x|3∵ 集合C＝{x|a∴ 当C＝⌀时，a≥2a+1，a≤−1，
当C≠⌀时，a<2a+1a≥12a+1≤5 ，解得1≤a≤2，
综上，实数a的取值范围是(−∞, −1]∪[1, 2]．
【考点】
集合的包含关系判断及应用
交集及其运算
【解析】
（1）求出集合A，B，由此能求出A∪B，A∩B．
（2）当C＝⌀时，a≥2a+1，a≤−1，当C≠⌀时，a<2a+1a≥12a+1≤5 ，由此能求出实数a的取值范围．
【解答】
∵ 集合A＝{x|x2−x−6>0}＝{x|x>3或x<−2}，
B＝{x|−4<3x−7<8}＝{x|1∴ A∪B＝{x|x<−2或x>1}，
A∩B＝{x|3∵ 集合C＝{x|a∴ 当C＝⌀时，a≥2a+1，a≤−1，
当C≠⌀时，a<2a+1a≥12a+1≤5 ，解得1≤a≤2，
综上，实数a的取值范围是(−∞, −1]∪[1, 2]．
【答案】
根据题意，集合A＝{x|x2+4x＝0}＝{0, −4}，
若A∩B＝B，则B是A的子集，
且B＝{x|x2+2(a+1)x+a2−1＝0}，为方程x2+2(a+1)x+a2−1＝0的解集，
分4种情况讨论：
①、B＝⌀，△＝[2(a+1)]2−4(a2−1)＝8a+8<0，即a<−1时，方程无解，满足题意；
②、B＝{0}，即x2+2(a+1)x+a2−1＝0有两个相等的实根0，
则有a+1＝0且a2−1＝0，解可得a＝−1，
③、B＝{−4}，即x2+2(a+1)x+a2−1＝0有两个相等的实根−4，
则有a+1＝4且a2−1＝16，此时无解，
④、B＝{0、−4}，即x2+2(a+1)x+a2−1＝0有两个的实根0或−4，
则有a+1＝2且a2−1＝0，解可得a＝1，
综合可得：a＝1或a≤−1．
【考点】
集合的包含关系判断及应用
【解析】
根据题意，求出集合A，由A∩B＝B，分析可得B是A的子集，分4种情况讨论：①、B＝⌀，②、B＝{0}，③、B＝{−4}，④、B＝{0、−4}，分别求出每一种情况下a的取值，综合即可得答案．
【解答】
根据题意，集合A＝{x|x2+4x＝0}＝{0, −4}，
若A∩B＝B，则B是A的子集，
且B＝{x|x2+2(a+1)x+a2−1＝0}，为方程x2+2(a+1)x+a2−1＝0的解集，
分4种情况讨论：
①、B＝⌀，△＝[2(a+1)]2−4(a2−1)＝8a+8<0，即a<−1时，方程无解，满足题意；
②、B＝{0}，即x2+2(a+1)x+a2−1＝0有两个相等的实根0，
则有a+1＝0且a2−1＝0，解可得a＝−1，
③、B＝{−4}，即x2+2(a+1)x+a2−1＝0有两个相等的实根−4，
则有a+1＝4且a2−1＝16，此时无解，
④、B＝{0、−4}，即x2+2(a+1)x+a2−1＝0有两个的实根0或−4，
则有a+1＝2且a2−1＝0，解可得a＝1，
综合可得：a＝1或a≤−1．
【答案】
∵ 1是A的元素，∴ 1是方程ax2+2x+1＝0的一个根，
∴ a+2+1＝0，即a＝−3，
此时A＝{x|−3x2+2x+1＝0}．
∴ x1＝1，x2=−13，∴ 此时集合A={−13,1}；
若a＝0，方程化为x+1＝0，此时方程有且仅有一个根x=−12，
若a≠0，则当且仅当方程的判别式△＝4−4a＝0，即a＝1时，
方程有两个相等的实根x1＝x2＝−1，此时集合A中有且仅有一个元素，
∴ 所求集合B＝{0, 1}；
集合A中至多有一个元素包括有两种情况，
①A中有且仅有一个元素，由（2）可知此时a＝0或a＝1，
②A中一个元素也没有，即A＝⌀，此时a≠0，且△＝4−4a<0，解得a>1，
综合①②知a的取值范围为{a|a≥1或a＝0}
【考点】
集合的含义与表示
【解析】
（1）若1∈A，则a＝−3，解方程可用列举法表示A；
（2）若A中有且仅有一个元素，分a＝0，和a≠0且△＝0两种情况，分别求出满足条件a的值，可得集合B．
（3）集合A中至多有一个元素包括有两种情况，①A中有且仅有一个元素，②A中一个元素也没有，分别求出即可得到a的取值范围．
【解答】
∵ 1是A的元素，∴ 1是方程ax2+2x+1＝0的一个根，
∴ a+2+1＝0，即a＝−3，
此时A＝{x|−3x2+2x+1＝0}．
∴ x1＝1，x2=−13，∴ 此时集合A={−13,1}；
若a＝0，方程化为x+1＝0，此时方程有且仅有一个根x=−12，
若a≠0，则当且仅当方程的判别式△＝4−4a＝0，即a＝1时，
方程有两个相等的实根x1＝x2＝−1，此时集合A中有且仅有一个元素，
∴ 所求集合B＝{0, 1}；
集合A中至多有一个元素包括有两种情况，
①A中有且仅有一个元素，由（2）可知此时a＝0或a＝1，
②A中一个元素也没有，即A＝⌀，此时a≠0，且△＝4−4a<0，解得a>1，
综合①②知a的取值范围为{a|a≥1或a＝0}