数学选择性必修 第二册6.1 函数的单调性同步达标检测题

这是一份数学选择性必修 第二册6.1 函数的单调性同步达标检测题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 函数f(x)=1x−1在[2, 3]上的最小值为（ ）
A.12B.13C.−13D.2

2. 求函数f(x)＝−x2+4x−6，x∈[0, 5]的值域（ ）
A.[−6, −2]B.[−11, −2]C.[−11, −6]D.[−11, −1]

3. 函数f(x)=2x+6,x∈[1,2]x+7,x∈[−1,1] ，则f(x)的最大值、最小值为（ ）
A.10，6B.10，8C.8，6D.以上都不对

4. 当0≤x≤2时，a<−x2+2x恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A.(−∞, 1]B.(−∞, 0]C.(−∞, 0)D.(0, +∞)

5. 某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x辆该品牌车德利润（单位：万元）分别为L1=−x2+21x和L2=2x．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为（ ）
A.90万元B.60万元C.120万元万元
二、填空题

函数f(x)=1x在[1, b](b>1)上的最小值是14，则b＝________．

已知函数f(x)＝−x2+4x+a，x∈[0, 1]，若f(x)有最小值−2，则f(x)的最大值为________．

已知函数f(x)=6−x−3x在区间[2, 4]上的最大值为________．
三、解答题

画出函数f(x)=−2x,x∈(−∞,0)x2+2x−1,x∈[0,+∞) 的图象，并写出函数的单调区间，函数的最小值．

已知函数f(x)＝−x2+2x−3．
（1）求f(x)在区间[2a−1, 2]上的最小值g(a)；

（2）求g(a)的最大值．
[等级过关练]

函数f(x)=−x+1x在[−2,−13]上的最大值是（ ）
A.32B.−83C.−2D.2

已知函数y=x2−2x+3在闭区间[0, m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）
A.[1, +∞)B.[0, 2]C.[1, 2]D.(−∞, 2]

函数g(x)=2x−x+1的值域为________．

用min{a, b}表示a，b两个数中的最小值，设f(x)＝min{x+2, 10−x}，则f(x)的最大值为________．

某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品销售价x元与日销售量y件之间有如下关系：
(Ⅰ)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)；
(Ⅱ)若日销售利润为P元，根据(I)中关系写出P关于x的函数关系，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
参考答案与试题解析
人教A版必修1《3.2.1 函数的单调性与最大（小）值》2019年同步练习卷（二）
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
函数的值域及其求法
【解析】
根据题目给出的x的范围，求出x−1的范围，取倒数后可得函数f(x)的值域，则最小值可求，也可借助于函数的单调性求最小值．
【解答】
法一：∵ 2≤x≤3，∴ 1≤x−1≤2，则12≤1x−1≤1，
所以，函数f(x)=1x−1在[2, 3]上的最小值为12．
故选A．
法二：函数f(x)=1x−1的图象是把函数f(x)=1x的图象向右平移一个单位得到的，
图象如图，
所以函数f(x)=1x−1在[2, 3]上为减函数，
所以，函数f(x)=1x−1在[2, 3]上的最小值为f(3)=12．
故选：A．
2.
【答案】
B
【考点】
二次函数的性质
二次函数的图象
【解析】
利用配方法化简函数f(x)，求出f(x)在区间[0, 5]的最值即可．
【解答】
函数f(x)＝−x2+4x−6＝−(x−2)2−2，
又x∈[0, 5]，
所以当x＝2时，f(x)取得最大值为−(2−2)2−2＝−2；
当x＝5时，f(x)取得最小值为−(5−2)2−2＝−11；
所以函数f(x)的值域是[−11, −2]．
3.
【答案】
A
【考点】
函数的最值及其几何意义
【解析】
分段求出f(x)的最大值，最小值，再确定分段函数的最大值，最小值．
【解答】
由题意，x∈[1, 2]，f(x)＝2x+6，函数为增函数，
∴ f(x)＝2x+6的最大值，最小值分别为10，8；
x∈[−1, 1]，f(x)＝x+7，函数为增函数，
∴ f(x)＝x+7的最大值，最小值分别为8，6；
∴ f(x)=2x+6,x∈[1,2]x+7,x∈[−1,1] 的最大值，最小值分别为10，6
4.
【答案】
C
【考点】
已知函数极最值求参数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：a<−x2+2x恒成立，
则a小于函数f(x)=−x2+2x，x∈[0,2]的最小值，
而f(x)=−x2+2x，x∈[0,2]的最小值为0，
故a<0．
故选C．
5.
【答案】
C
【考点】
二次函数的性质
函数模型的选择与应用
函数最值的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15−x)辆，
公司获利为
L=−x2+21x+2(15−x)
=−x2+19x+30
=−x−1922+30+1924
∴ 当x=9或10时，L最大，为120万元．
故选C．
二、填空题
【答案】
4
【考点】
函数的最值及其几何意义
【解析】
由函数f(x)=1x在[1, b](b>1)上递减，可得f(b)最小，解方程可得b．
【解答】
函数f(x)=1x在[1, b](b>1)上递减，
即有f(b)=1b最小，且为14．
解得b＝4，
【答案】
1
【考点】
二次函数的图象
二次函数的性质
【解析】
将二次函数配方，确定函数f(x)＝−x2+4x+a在[0, 1]上单调增，进而可求函数的最值．
【解答】
函数f(x)＝−x2+4x+a＝−(x−2)2+a+4
∵ x∈[0, 1]，
∴ 函数f(x)＝−x2+4x+a在[0, 1]上单调增
∴ 当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝a＝−2
当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝3+a＝3−2＝1
【答案】
−4
【考点】
函数的值域及其求法
【解析】
观察可知函数f(x)=6−x−3x在区间[2, 4]上是减函数；从而求值．
【解答】
∵ 6−x在区间[2, 4]上是减函数，−3x在区间[2, 4]上是减函数；
∴ 函数f(x)=6−x−3x在区间[2, 4]上是减函数；
∴ f(x)max＝f(2)=6−2−3×2＝−4．
三、解答题
【答案】
（2）由（1）图可知：函数的单调增区间在(−∞, 0)，[0, +∞)；
∴ fmin(x)＝f(0)＝−1
【考点】
函数单调性的性质与判断
函数的图象与图象的变换
函数的值域及其求法
【解析】
本题考查的是分段函数画图及图象应用问题．（1）分类讨论结合自变量的取值范围不同分段画出即可；（2）充分观察图形的变化规律，即可获得单调区间和最值的结论．
【解答】
（1）函数图象
【答案】
f(x)＝−(x−1)2−2，f(2)＝−3，f(0)＝−3，
∴ 当2a−1≤0，即a≤12时，f(x)min＝f(2a−1)＝−4a2+8a−6；
当0<2a−1<2，即12所以g(a)=−4a2+8a−6,a≤12,−3,12当a≤12时，g(a)＝−4a2+8a−6单调递增，
∴ g(a)≤g(12)＝−3；
又当12∴ g(a)的最大值为−3．
【考点】
函数的最值及其几何意义
【解析】
（1）利用二次函数的性质求解闭区间上的最小值即可．
（2）通过a的范围，求解函数的最大值即可．
【解答】
f(x)＝−(x−1)2−2，f(2)＝−3，f(0)＝−3，
∴ 当2a−1≤0，即a≤12时，f(x)min＝f(2a−1)＝−4a2+8a−6；
当0<2a−1<2，即12所以g(a)=−4a2+8a−6,a≤12,−3,12当a≤12时，g(a)＝−4a2+8a−6单调递增，
∴ g(a)≤g(12)＝−3；
又当12∴ g(a)的最大值为−3．
[等级过关练]
【答案】
A
【考点】
函数的最值及其几何意义
【解析】
求出f(x)的导数，判断导数符号，可得f(x)的单调性，即可得到所求最大值．
【解答】
函数f(x)=−x+1x的导数为f′(x)＝−1−1x2，
则f′(x)<0，
可得f(x)在[−2, −13]上递减，
即有f(−2)取得最大值，且为2−12=32．
【答案】
C
【考点】
二次函数的性质
【解析】
本题利用数形结合法解决，作出函数f(x)的图象，如图所示，当x=1时，y最小，最小值是2，当x=2时，y=3，欲使函数f(x)=x2−2x+3在闭区间[0, m]上的上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围要大于等于1而小于等于2即可．
【解答】
解：作出函数f(x)的图象，如图所示，
当x=1时，y最小，最小值是2，当x=2时，y=3，
函数f(x)=x2−2x+3在闭区间[0, m]上有最大值3，最小值2，
则实数m的取值范围是[1, 2]．
故选C.
【答案】
[−178, +∞)
【考点】
函数的值域及其求法
【解析】
设x+1=t，t≥0，转化为g(t)=2t2−t−2，t≥0，根据二次函数性质求解．
【解答】
解：设x+1=t，(t≥0)，
则x+1=t2，即x=t2−1，
∴ y=2t2−t−2=2(t−14)2−178，t≥0，
∴ 当t=14时，ymin=−178，
∴ 函数g(x)的值域为[−178, +∞)．
故答案为：[−178, +∞)．
【答案】
6
【考点】
函数的最值及其几何意义
【解析】
在坐标系内画出函数y＝x+2，y＝10−x的图象，根据图象求出f(x)的最大值．
【解答】
在坐标系内画出函数y＝x+2，y＝10−x的图象，如图；
由图象知，f(x)＝min{x+2, 10−x}=x+2⋯x≤410−x⋯x≥4 ，
∴ f(x)的最大值为f(x)max＝f(4)＝6；
【答案】
（1）因为f(x)为一次函数，设y＝ax+b，解方程组
45a+b=2750a+b=12
得a＝−3，b＝162，
故y＝162−3x为所求的函数关系式，
又∵ y≥0，∴ 0≤x≤54．
（2）依题意得：
P＝(x−30)⋅y＝(x−30)⋅(162−3x)
＝−3(x−42)2+432．
当x＝42时，P最大＝432，
即销售单价为42元/件时，获得最大日销售利润．
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
(Ⅰ)设出y＝f(x)的表达式，利用已知条件列出方程组求解即可得到函数的解析式；
(Ⅱ)若日销售利润为P元，根据(I)中关系直接写出P关于x的函数关系，然后利用二次函数闭区间的最值即可求解最大的日销售利润．
【解答】
（1）因为f(x)为一次函数，设y＝ax+b，解方程组
45a+b=2750a+b=12
得a＝−3，b＝162，
故y＝162−3x为所求的函数关系式，
又∵ y≥0，∴ 0≤x≤54．
（2）依题意得：
P＝(x−30)⋅y＝(x−30)⋅(162−3x)
＝−3(x−42)2+432．
当x＝42时，P最大＝432，
即销售单价为42元/件时，获得最大日销售利润． x
45
50
y
27
12