期末押题卷02-高二数学下学期期末专项复习（新人教A版2019）

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1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
，，
.
故选：C.
2．（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
∵
∴
故选：B
3．如图所示，在空间四边形中，，点在上，且，为中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
故选：B
4．有甲、乙两个袋子，甲袋中有3个白球、1个黑球，乙袋中有2个白球、2个黑球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，然后再从乙袋中任取1个球，则此球为白球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
从甲中任取2球，有两种情况：2白或1白1黑，
①从甲中取出2个白球的概率为，此时乙袋中4个白球，2个黑球，
所以此时从乙袋中任取1个球，则此球为白球的概率；
②从甲中取出1个白球和1个黑球的概率为，此时乙袋中3个白球，3个黑球，
所以此时从乙袋中任取1个球，则此球为白球的概率，
所以从乙袋中任取1球且此球是白球的概率.
故选：B.
5．已知，则等于（ ）
A．11B．10C．8D．1
【答案】A
【详解】
，求导得，
则，解得，
故，
，
故选：A.
6．一道试题，甲解出的概率为，乙解出的概率为.设解出该题的人数为X，则D(X)等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
依题意X的可能取值为0，1，2，
甲乙均未答对时，P(X＝0)＝，
甲乙二人一人答对一人答错时，P(X＝1)＝，
甲乙均答对时，P(X＝2)＝.
所以X的分布列为
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝，
D(X)＝.
故选：B.
7．已知函数在上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程有3个实数根，它们分别是，，2，则的最小值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【详解】
由，求导得，在上是增函数，在[0，2]上是减函数，
，即，此时的另外一个根为，且方程有3个实数根，它们分别是，，2，
，即，且，所以，
化简函数，
所以则，
所以，因为，所以，所以的最小值是5.
8．红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险.为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间内的概率为（ ）
（附：若随机变量服从正态分布，则，）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
由题意可知
则，
多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，多选或错选不得分）
9．袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为，则（ ）
A．B．C．X的期望D．X的方差
【答案】ACD
【详解】
从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，
并且每次取到的黑球概率相等，又取到黑球记1分，
取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，
所以随机变量服从二项分布，故A正确；
，记其概率为，故B错误；
因为，所以的期望，故C正确；
因为，所以的方差，故D正确．
故选：ACD．
10．变量x，y之间的一组数据如下表所示:
甲、乙两位同学给出的回归直线方程分别为① 和② ，通过分析得出②的拟合效果更好，则下列分析理由正确的是（ ）参考公式：
A．①的残差和大于②的残差和，所以②的拟合效果更好
B．①的残差平方和大于②的残差平方和，所以②的拟合效果更好
C．①的 R2小于②的 R2，所以②的拟合效果更好
D．残差图中直线②的残差点分布的水平带状区域比①的残差点分布的水平带状区域更窄，所以②的拟合效果更好
【答案】BCD
【详解】
解：用作为拟合直线时，所得的实际值与的估计值的差的平方和为：
．
残差和为
用作为拟合直线时，所得的实际值与的估计值的差的平方和为：
．
残差和为
，①的残差和大于②的残差和，①的残差平方和大于②的残差平方和，则②的拟合效果更好，故错误，正确；
残差图中直线②的残差点分布的水平带状区域比①的残差点分布的水平带状区域更窄，所以直线②拟合效果更好，故正确；
，
①的，②的，①的小于②的，②拟合效果更好，故正确．
故选：BCD．
11．在棱长为a的正方体中，分别是的中点下列说法正确的是（ ）
A．四边形是菱形
B．直线与所成的角的余弦值是
C．直线与平面所成的角正弦值是
D．面与面所成角的正弦值是
【答案】ABD
【详解】
分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，
，，，所以是平行四边形，由正方体知，因此为菱形，A正确；
，，
，B正确；
，设平面的一个法向量为，
由得：，取，则，即，
，
，
直线与平面所成的角正弦值是，C错；
平面的一法向量是，
，
面与面所成角的所以的余弦值为，其正弦值为，D正确．
故选：ABD．
12．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若在单调递增，则实数
B．当时，是的极值点
C．当时，的零点满足
D．当时，恒成立
【答案】AC
【详解】
对于，若在单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，易知函数在单调递增，故（1），
，即，选项正确；
对于，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，故（1），
在上单调递增，无极值点，选项错误；
对于，当时，，,
在上单调递减，在上单调递增，故（0），
，在上递增，则仅有一个零点，
又，
由零点存在性定理可知，，选项正确；
对于，当时，，当时，，选项错误．
三、填空题（每小题5分，共计20分）
13．曲线在点处的切线方程为___________.
【答案】
【详解】
解：，则，则切线方程为，
故答案为：.
14．已知随机变量服从正态分布，若，则___________．
【答案】
【详解】
由题意，随机变量服从正态分布，可得对称轴，则，
因为，
根据正态分布曲线的对称性，可得.
故答案为：.
15．展开式中的系数为__________．
【答案】
【详解】
展开式的通项公式是，
要求，只需，解得：.
∴.
16．如图在圆锥中，A，B是圆O上的动点，是圆O的直径，M，N是的两个三等分点，，记二面角，的平面角分别为，若，则的最大值是________．
【答案】
【详解】
圆锥SO中，令底面圆半径r=3，高SO=3h，过M，N分别作MP//SO，NQ//SO交OB于P，Q，如图：
因SM=MN=NB，则OP=PQ=QB=1，MP=2h，NQ=h，而SO⊥平面AOB，则MP⊥平面AOB，NQ⊥平面AOB，
过P作于F，连MF，平面AOB，则，平面MPF，，
即是二面角的平面角，，
过Q作QE⊥直线OA于E(时E与O重合，时E在AO延长线上)，连NE，同理，
因，则，，
，
与中，，，
显然均为锐角，，，
即，
则，，
所以，符合条件的的最大值是.
四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，17题10分，其余各题每题各12分）
17．某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分，，三大类，其中类有个项目，每项需花费小时，类有个项目，每项需花费小时，类有个项目，每项需花费小时．要求每位员工从中选择个项目，每个项目的选择机会均等．
（1）求小张在三类中各选个项目的概率；
（2）设小张所选个项目花费的总时间为小时，求的分布列．
【答案】（1）；（2）答案见解析．
【详解】
解：（1）记事件为在三类中各选个项目
则，
所以小张在三类中各选个项目的概率为．
（2）的可能取值为，，，，，，则
；
；
；
；
；
．
所以分布列如下表所示：
18．作为世界最大棉花消费国、第二大棉花生产国，我国2020—2021年度棉花产量约万吨，总需求量约万吨，年度缺口约万吨．其中，新疆棉花产量万吨，占国内产量比重约，占国内消费比重约．新疆地区的棉花是世界上最好的棉花之一，新疆长绒棉，世界顶级，做衣被暖和、透气、舒适，长年供不应求．评价棉花质量的重要指标之一就是棉花的纤维长度，新疆农科所在土壤环境不同的、两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从、两地的棉花中各随机抽取根棉花纤维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于的为“长纤维”，其余为“短纤维”）．
（1）由以上统计数据，填写下面列联表；
（2）判断能否在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”．
附：临界值表：
【详解】
（1）根据已知数据得到如下列联表：
（2）根据列联表中的数据，可得，，能认为在犯错误概率不超过前提下纤维长度与土壤环境有关系．
19．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，平面，且，点在棱上，，点为中点.
（1）证明：直线平面；
（2）求二面角的正弦值.
【详解】
如图，以为原点，分别以方向为，
z轴方向建立空间直角坐标系.由题意，可得，
，
（1）显然，是平面的一个法向量，
，故，即.
又因为平面，
故直线//平面.
（2）设平面的一个法向量为，由，有
即不妨取，可得.
由已知可得.
同理可求平面的一个法向量为.
所以，，
因此.
所以，二面角的正弦值为.
20．当前“停车难”已成为城市通病，因停车问题引发的纠纷屡见不鲜，无论在北京､上海等超大型城市，还是其它城市，甚至人口只有几万､十几万的县城和乡镇，“停车难”都给群众生活和政府管理带来了深深的烦恼，由于“停车难”是事关百姓生活质量和切身利益的问题，也是建设和谐社会不容忽视的问题之一，某小区物业公司决定动手解决小区“停车难”问题，并统计了近六年小区私家车的数量，以编号1对应2015年，编号2对应2016年，编号3对应2017年，以此类推，得到相应数据如下：
（1）若该小区私家车的数量与年份编号的关系可用线性回归模型来拟合，试用相关指数分析其拟合效果（精确到）；
（2）由于车辆增加，原有停车位已经不能满足有车业主的需求，因此物业公司欲在小区内对原有停车位进行改造，重新规划停车位.若要求在2021年小区停车位数量仍可满足需要，求至少需要规划多少个停车位.
参考数据：，，，.
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，；
相关指数，残差.
【详解】
（1）由题意得，，
∴，
且，
所以关于的线性回归方程为；
又时，；时，；时，；
时，；时，；时，；
故，，
由相关指数近似为，接近1，说明拟合效果较好.
（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取，可得.
故若要求在2021年小区停车位数量仍可满足需要，则至少需要规划317个停车位.
21．某学校组织一次“强基提素”的知识竞赛，每个参赛选手依次回答道题，每答对一道获得相应的分值，再继续答下一道，且在答前题时，有且仅有一次“复活”机会.即选手首次答错后，裁判会给选手另外出一道复活题，若选手把复活题答对，则该选手复活成功，接着答下一道题，若选手把复活题答错，则结束答题，答第题时没有“复活”机会.每道题的分值如下：
现有甲、乙两名参赛选手，甲答对每一题（包括复活题）的概率均为，乙答对第、题的概率均为，答对第、、题的概率均为，答对复活题的概率为，且两人回答每道题是相互独立的.
（Ⅰ）求甲恰好回答道题的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人的得分之和为分的概率；
（Ⅲ）求乙的得分不小于分的概率.
【详解】
（Ⅰ）甲恰好回答道题分三种情况：①甲连续答对前道题；②前题答对，第题和复活题连续答错；③前题中答错次，复活题答对，第题答错.
故所求概率为.
（Ⅱ）两人得分之和为分仅当两人各得分.
一名选手得分有两种情况：①前题答对第题和复活题答错；②前题答对，第题答错，复活题答对，第题答错.
甲得分的概率为；
乙得分的概率为.
所以甲、乙两人得分之和为分的概率为.
（Ⅲ）设乙的得分为，则小于分的情况有四种：，，，.
，
，
，
，
因此.
22．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性．
【详解】
解：（1）时，函数，，
则，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
．
（2）的定义域为，
①当时，，令，解得；令，解得．
所以在上单调递减，在上单调递增．
②当时，令，解得或；令，解得．
所以在，上单调递增，在上单调递减．
③当时，，所以在上单调递增．
④当时，令，解得或；令，解得．
所以在，上单调递增，在上单调递减
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减．
X
0
1
2
P
x
1
3
6
7
8
y
1
2
3
4
5
纤维长度
地（根数）
地（根数）
地
地
总计
长纤维
短纤维
总计
（）
地
地
总计
长纤维
短纤维
总计
年份编号
1
2
3
4
5
6
数量（辆）
41
96
116
190
218
275
题号
复活题
分值