专题06 计数原理【知识梳理】-高二数学下学期期末专项复习（新人教A版2019）

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专题06 计数原理【知识梳理】一、两个基本计数原理1.分类加法计数原理做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法.则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法.2.分步乘法计数原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法，……，做第n个步骤有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法.3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.【例题1】甲、乙、丙三个同学报名参加学校运动会中设立的跳高、铅球、跳远、100米比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名方法（    ）A．12 B．24 C．64 D．81【答案】C【详解】甲、乙、丙三个同学报名参加学校运动会中设立的跳高、铅球、跳远、100米比赛，每人限报一项, 每人有4种报名方法，根据分步计数原理，可知共有种不同的报名方法.故选：C【例题2】某寝室6名同学打算在“五一假期（1日至5日）”中，随便选择一天参加志愿者活动，则不同的参加种数是（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】根据分步乘法计数原理，共有种不同的参加种数，故选：D【跟踪训练1】若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（    ）A．6种 B．24种 C．64种 D．81种【跟踪训练2】某医院研究所研制了5种消炎药X1，X2，X3，X4，X5和4种退烧药T1，T2，T3，T4，现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效试验．又知X1，X2两种消炎药必须同时搭配使用，但X3和T4两种药不能同时使用，则不同的试验方案有（    ）A．16种 B．15种C．14种 D．13种【跟踪训练3】将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法共有（    ）A．48种 B．72种 C．96种 D．108种二、排列与组合1.排列与组合的概念名称定义 排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2.排列数与组合数(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.3.排列数、组合数的公式及性质公式(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝.(2)C＝＝＝(n，m∈N+，且m≤n).特别地C＝1性质(1)0！＝1；A＝n！. (2)C＝C；C＝C＋C【例题1】用0，1，2，…，9这十个数字可组成无重复数字的三位数的个数是（    ）A． B．C．－ D．【答案】A【详解】百位上有9种排法，其他数位上有A种排法，故共有9A个三位数；如用排除法，应为(A－A)个．故选：A．【例题2】用0，1，2，3，4组成的无重复数字的四位偶数的个数为（    ）A．24 B．48 C．60 D．72【答案】C【详解】当个位数为0时，有个，当个位数为2或4时，有个，所以无重复数字的四位偶数有24+36=60个，故选：C【跟踪训练1】若将9名会员分成三组讨论问题，每组3人，则不同的分组方法种数有（    ）A． B．C． D．【跟踪训练2】若从这个整数中取个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有（    ）A．种 B．种C．种 D．种【跟踪训练3】3张卡片正反面分别标有数字1和2，3和4，5和7.若将3张卡片并列组成一个三位数，可以得到不同的三位数的个数为（    ）A．30 B．48C．60 D．96三、二项式定理1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N+)；(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.2.二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C增减性二项式系数C当k＜(n∈N+)时，是递增的当k＞(n∈N+)时，是递减的二项式系数最大值当n为偶数时，中间的一项取得最大值当n为奇数时，中间的两项与取得最大值3.各二项式系数和(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.【例题1】在的二项展开式中，的系数是（    ）A．8 B． C．10 D．【答案】D【详解】的二项展开式的通项公式为：，要求的系数，只需，解得：r=1.所以的系数是：.故选：D.【例题2】的展开式中的系数为（    ）A．25 B．15 C． D．【答案】A【详解】解：因为，又展开式的通项为，所以含的项有，故的系数为，故选：A【跟踪训练1】已知，则的值等于（    ）A．31 B．32 C．63 D．64【跟踪训练2】的展开式中的系数为（    ）A． B． C． D．【跟踪训练3】在的展开式中，若常数项为21，则a=（    ）A． B．2 C．3 D．4