2020届黑龙江省大庆市高三第一次质量检测数学（文）试题

大庆市高三年级第一次教学质量检测

文科数学

 2019．10

注意事项：

    1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.

    2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，则

A． B． C． D．

2. 已知（为虚数单位），则复数的共轭复数等于

A．        B．         C．      D．

3. 已知，，且，则

A． B． C．            D．

4. 在平面直角坐标系中，现有共五个点，从中任取两个点，则          这两个点恰有一个在圆内部的概率是

A．   B． C． D．

5. 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题中，该女每天比前一天少织布的尺数为

A．   B． C． D．

6. 已知，则

A． B． C． D．

7. 曲线在点处的切线方程为

A．       B． C． D．

8. 设，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题错误的是

A．若，，则       B．若，，则

C．若，，则      D．若，，则

9. 现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖.有人走访了四人，甲说:“乙、丁都未获 奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是

A．甲              B．乙   C．丙             D．丁

10. 在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为

A． B．   C． D．

11. 已知函数为偶函数，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所得的图象对应的函数为，若最小正周期为，且， 则

A．            B．             C.             D．

12. 设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是

A．             B．

C．                 D．

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求做答.

二.填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.

13. 已知等比数列的前项和为，公比为，且，则               .
14. 若实数满足不等式组，则的最大值为                    .
15. 若，则                      .
16. 已知是双曲线：的左、右焦点，过点的直线与双曲线 的左支交于 两点，若，且，则的离心率是          .

三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

在中，角所对的边分别为，已知.

（Ⅰ）求角的大小；     

（Ⅱ）若，求的面积的值.

18.（本小题满分12分）

在四棱锥中,平面平面，,四边形是边长为的菱形，,是的中点.

（Ⅰ）求证: 平面；

（Ⅱ）求点到平面的距离.

19.（本小题满分12分）

过去大多数人采用储蓄的方式将钱储蓄起来，以保证自己生活的稳定，考虑到通货膨胀的压力，如果我们把所有的钱都用来储蓄，这并不是一种很好的方式，随着金融业的发展，普通人能够使用的投资理财工具也多了起来，为了研究某种理财工具的使用情况，现对年龄段的人员进行了调查研究，将各年龄段人数分成组：，并整理得到频率分布直方图：

（Ⅰ）求图中的值；

（Ⅱ）求被调查人员的年龄的中位数和平均数；

（Ⅲ）采用分层抽样的方法，从第二组、第三组、第四组中共抽取人，在抽取的人中随机抽取人，则这人都来自于第三组的概率是多少？

20.（本小题满分12分）

   已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且短轴长为，离心率等于.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，交轴于点，若

，

求证：为定值.

21.（本小题满分12分）

  已知函数.

（Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）若实数为整数，且对任意的时，都有恒成立，求实数的最小值.

请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，圆的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，若直线与曲线相切.

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）在圆上取两点，使得，点与直角坐标原点构成，求面积的最大值．

23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设函数.

 （Ⅰ）求不等式的解集；

 （Ⅱ）若不等式的解集为实数集，求的取值范围.

大庆市2020届高三第一次教学质量检测

数学（文）试题参考答案

一．

二．13．   14．   15．   16．

17．解：（1）由正弦定理，

有

则可化为

即，即     .......................................4分

又余弦定理

由，得  ...................6分

（2）由（1）知，，则

                       .........................................7分

.........................................9分

由正弦定理得，， .........................................11分

    .........................................12分

（其他方法，推导合理、步骤完整、结果正确亦可）

18、解：（1）连接，在中，，是的中点，

得， 

平面平面，平面平面

平面 

              .........................................3分

又四边形是边长为2的菱形，，

为等边三角形

，            .........................................5分

又

平面.        .........................................6分

（2）在中，，....................8分

在中，

由。得，..........10分

由，设点到平面的距离为，

则，则

即点到平面的距离为.                ......... ...............12分

19、解（1）由频率分布直方图的性质可得，解得.....2分

（2）中位数为  .........................4分

平均数为...............6分

（3）第二组、第三组、第四组的频率比为，共抽取人，所以三个组依次抽取的人数为.记第二组人分别为，第三组人分别为，第四组人分别为．.............7分

从人中抽取两人共包含

,,,,,，,,,,

,,,,共个基本事件. .......................9分

而两人都来自于第三组的基本事件包括

,,,共个.          .......................11分

设这人都来自于第三组为事件，则所求概率       .......................12分

20．解：（1）设椭圆的方程为，则由题意知，所以.

，解得，所以椭圆的方程为............4分

（2）证明：设的点的坐标分别为，点的坐标为，

显然直线的斜率存在，设直线的方程是，

联立，消去并整理得，

∴，            .... ..... ..... ..... ..... ........6分

又由，得，.... ..... .....................8分

∴..............12分

 21、（1）解：设

          令，则；，则；         ............2分

         在上单调递增，上单调递减           ............3分

                             ............4分

（2）法一：由在上恒成立，

           在上恒成立，

          设，

显然............5分

         设，故在上单调递减

         由，

由零点定理得使得，即 ............8分

且时，，时，则

在上单调递增，在上单调递减       ............10分

，

又由，，则........11分

，且为整数，可得的最小值为              .......12分

法二：由在上恒成立，

      设

       则，      .... .......6分

当时，，则在上单调递增

    由知时，与矛盾，故不合题意，舍去  .... .......8分

当时，，

显然当时，，时，，

故在上单调递增，在上单调递减            ............10分

，则可得

设，显然在上单调递减，且

则使得的最小整数为                          ............12分

22解（Ⅰ）由的极坐标方程为，即打开得，

将代入，得的直角坐标方程为，    ...... ......2分

由圆的方程为，得圆心为，半径为

则由直线与曲线相切

圆心到直线的距离      .... ...... ...... .......5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）圆的极坐标方程为，

不妨设，，

则

，..... ..... ......8分

当，即时，，                   ...... ......9分

所以面积的最大值为                ．...... ...... ...... ......10分

23.解　（1）

由，则                    ............5分

（2）

    由的解集为实数集，可得，

    即                                            ............10分