专题07平面向量-2021年高考真题和模拟题数学（文）分项汇编（全国通用）（解析版）

专题07  平面向量

1．（2021·浙江高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.

【详解】若，则，推不出；若，则必成立，

故“”是“”的必要不充分条件

故选：B.

2．（2021·全国高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.

【详解】A：，，所以，，故，正确；

B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；

C：由题意得：，，正确；

D：由题意得：，

，故一般来说故错误；

故选：AC

3．（2021·全国高考真题（文））若向量满足，则_________.

【答案】

【分析】根据题目条件，利用模的平方可以得出答案

【详解】∵

∴

∴.

故答案为：.

4．（2021·浙江高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解.

【详解】由题意，设，

则，即，

又向量在方向上的投影分别为x，y，所以，

所以在方向上的投影，

即,

所以，

当且仅当即时，等号成立，

所以的最小值为.

故答案为：.

【点睛】解决本题的关键是由平面向量的知识转化出之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值.

5．（2021·全国高考真题（文））已知向量，若，则_________．

【答案】

【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.

【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，

解方程可得：.

故答案为：.

6．（2021·北京高考真题），，，则_______；_______．

【答案】0    3   

【分析】根据坐标求出，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.

【详解】，

，，

.

故答案为：0；3.

7．（2021·天津高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．

【答案】1       

【分析】设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值.

【详解】设，，为边长为1的等边三角形，，

，

，为边长为的等边三角形，，

，

，

，

所以当时，的最小值为.

故答案为：1；.

8．（2021·江苏高考真题）已知向量，，设函数.

（1）求函数的最大值;

（2）在锐角中，三个角，，所对的边分别为，，，若，，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）结合平面向量的数量积运算、二倍角公式和辅助角公式，可得，进而可得的最大值；

（2）由锐角，推出，再结合（B），求得，由正弦定理知，再利用余弦定理求出，，最后由三角形面积公式得解．

【详解】（1）因为，，

所以函数

∴当时，

（2）∵为锐角三角形，.

又

即

1．（2021·安徽高三其他模拟（文））在中，，，，则（    ）

A． B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】根据向量的线性运算算出答案即可.

【详解】因为，

因为，

所以，即，所以.

故选：C

2．（2021·福建高三其他模拟）向量，．若，则（    ）．

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】解法一：利用向量的坐标运算求得，的坐标，再根据向量垂直的条件建立方程，解之可得选项.

解法二：根据向量垂直的条件得出，再运用向量数量积的运算律求得，从而可得选项.

【详解】解法一：，，

因为，所以，

即，解得．

解法二：因为，所以，

所以，所以，所以．

故选：C.

3．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高三三模（文））在菱形中，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用、表示向量、，利用平面向量数量积的定义与运算性质可计算得出的值.

【详解】由平面向量数量积的定义可得，

因为，

所以

.

故选：B.

4．（2021·福建三明市·三明一中高三其他模拟）已知向量，，且与共线，则x=（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先表示出向量和的坐标，然后由与共线，列方程可求出的值

【详解】∵，，与共线，

∴，解得．

故选：B．

5．（2021·北京高一其他模拟）已知向量，向量，若，则（    ）

A． B．5 C． D．

【答案】A

【分析】根据向量共线的坐标表示，求出的值，从而得到的坐标，然后由向量模长的坐标公式求出.

【详解】向量，向量，且，

所以，解得，

所以，所以．

故选：A.

6．（2021·四川德阳市·高三二模（文））图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小的正方形拼成个大的正方形，某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图2，若，，那么（    ）

A．2 B． C．6 D．

【答案】D

【分析】由已知图形可得，展开后代入向量的数量积公式求值．

【详解】解：由题意可知，，

，

又，，

，，

．

故选：D．

7．（2021·陕西高三其他模拟（文））如图，边长都为的正方形与正方形的中心分别为，点分别是的中点，则（    ）

A． B．8 C．10 D．

【答案】C

【分析】根据平面向量的线性运算得到，，再根据平面向量数量积的运算律计算可得；

【详解】解：，

所以

故选：C

8．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三其他模拟（文））已知为锐角，若，，与的夹角为，则的值（    ）

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】D

【分析】根据向量的数量积公式，直接带入数据，利用三角恒等变化公式，即可得解.

【详解】，

故选：D.

9．（2021·湖南高三其他模拟）已知向量，满足，，若与共线，则（    ）

A．2 B．4 C． D．22

【答案】A

【分析】先根据向量共线求解出的值，然后根据向量的模长以及数量积采用先平方再开根号的方法求解出的大小.

【详解】因为与共线，所以，.

又，，所以

.

故选：A.

10．（2021·重庆高三三模）己知双曲线的左右焦点为，虚轴长为，若其渐近线上横坐标为1的点P恰好满足，则双曲线的离心率为（    ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】A

【分析】先求得的值，利用一条渐近线方程求得点坐标，然后利用数量积得，结合求得离心率.

【详解】解：虚轴长为，得，设一条渐近线，则，

，

又，解得，

故，故选：A.

11．（2021·湖南永州市·高三其他模拟）在中，角所对的边分别为，则能确定为钝角的是（    ）

A．

B．均为锐角，且

C．均为锐角，且

D．

【答案】AC

【分析】对于A：结合向量的数量积的计算公式可以判断出角的余弦值的符号，即可确定角的范围；

对于B：利用诱导公式转化为同名函数，然后根据函数的单调性即可判断；

对于C：首先判断出角的正切值的符号，即可确定角的范围；

对于D：结合余弦定理以判断出角的余弦值的符号，即可确定角的范围

【详解】对于A：，即，可得，

又为三角形的内角，所以为钝角；故A正确

对于B：均为锐角，等价于，

又因为在上单调递增，所以，

即，，故B错误；

对于C：均为锐角，可得，，

又，所以，故B为钝角；故C正确

对于D：，所以，所以为锐角，故D错误，

故选：AC.

【点睛】

判断三角形的内角的范围的问题

（1）根据正余弦定理判断出对应角的正弦值或者余弦值的符号，再确定角的范围即可；

（2）结合向量的数量积的公式判断对应角的余弦值的符号，再确定角的范围即可；

（3）利用诱导公式转化为同名函数，利用函数的单调性进行判断.

12．（2021·广东汕头市·高三二模）已知菱形边长为1，，E是中点，F是中点，M是中点，延长交于N(如图所示)，设，，则下列结论正确的是（    ）

A．. B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据向量的线性运算及数量积的运算性质分别验证即可求解.

【详解】由F是中点可得，

，故A正确；

因为E是中点，M是中点，所以,又,

所以错误，故B错误；

因为，，

所以，故C正确;

若，则，即,

即,由图形可知显然不成立，故D错误.

故选：AC

13．（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）已知平面向量，，且，的夹角是钝角，则可以是（    ）

A．-1 B． C． D．2

【答案】BD

【分析】根据题意得出且与不共线，运算即可.

【详解】因为与的夹角为钝角，

所以且与不共线，

即且，

所以且

故选：BD

14．（2021·全国高三其他模拟）下列说法正确的是（    ）

A．若为平面向量，，则

B．若为平面向量，，则

C．若，，则在方向上的投影为

D．在中，M是AB的中点，＝3，BN与CM交于点P，＝+，则λ＝2μ

【答案】CD

【分析】利用向量共线的概念判断A、B，；利用向量数量积的定义可判断C；利用向量共线的推论即可判断D.

【详解】A，若，则与任意向量共线，所以与不一定平行，故A错误；

B，若，则，，当共面时，，

若不共面时，与不平行，故B错误；

C，若，则，所以，

在方向上的投影为，故C正确；

D，，设,

则

，

设，则，即，①

，设，

，

，即，②

由①②可得，，即，故D正确.

故选：CD

15．（2021·福建高三三模）已知向量，，满足，，，设，的夹角为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】由已知求解方程组可得与，求模判断A；由判断B；由数量积求夹角判断C；由数量积不为0判断D．

【详解】解：∵，，

∴，，得，，故A错误；

又，则，则，故B正确；

，又，∴，故C正确；

∵，∴与不垂直，故D错误.

故选：BC．

16．（2021·河北唐山市·唐山一中高三其他模拟）设是已知的平面向量且，向量，和在同一平面内且两两不共线，关于向量的分解，下列说法正确的是（    ）

A．给定向量，总存在向量，使；

B．给定向量和，总存在实数和，使；

C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；

D．给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使.

【答案】AB

【分析】由平面向量的加减法可判断A，由平面向量基本定理可判断B，举出反例可判断C、D.

【详解】对于A，给定向量，总存在向量，使，故A正确；

对于B，因为向量，，在同一平面内且两两不共线，由平面向量基本定理可得：

总存在实数和，使，故B正确；

对于C，设，给定，则不存在单位向量和实数，使，故C错误；

对于D, 设，给定，则不存在单位向量和单位向量，使，故D错误.

故选：AB.

17．（2021·河南高三其他模拟（文））已知向量，，，则______．

【答案】

【分析】首先求出，再根据向量平行的坐标表示计算可得；

【详解】解：因为，，所以

因为，所以，则．

故答案为：

18．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（文））若单位向量，满足，则，的夹角为___________.

【答案】

【分析】根据向量数量积的定义求出向量夹角的余弦值，即可得答案；

【详解】，

，

，，

又，，

故答案为：.

19．（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（文））已知，，且，则___________.

【答案】

【分析】先由求出，再求出

【详解】因为，所以，即，解得，所以.

故答案为：.

20．（2021·新安县第一高级中学高三其他模拟（文））已知非零向量，满足，且，则和的夹角为___________.

【答案】135°

【分析】将已知等式两边同时平方求得，进而利用向量的夹角余弦公式计算，求得夹角的余弦值，进而得解.

【详解】解：不妨设.

,

∴，

∴,

则

，

设与的夹角是的夹角是,

,,

故答案为:.

21．（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（文））已知，夹角为120°，，.与夹角为150°，如图所示位置，若，___________，___________.

【答案】    2   

【分析】以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，然后根据已知条件求出向量，，的坐标，代入解方程求出和.

【详解】

如图所示，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，

设，，的终点坐标为，，，

则，所以，

因为，且与的夹角为120°，则与轴的夹角为30°，

所以，所以，

又，且与的夹角为150°，则与轴的夹角为60°，

所以 ，所以，

所以由可得：，

所以，解得，，

故答案为：，2.

【点睛】

向量的基本运算处理的常用方法：

(1)向量几何化：画出合适的图形，利用向量的运算法则处理；

(2)向量坐标化：建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算处理．

22．（2021·宁波市北仑中学高三其他模拟）已知是空间单位向量，，若空间向量满足：，则_______，对于任意，向量与向量所成角的最小值为_______．

【答案】       

【分析】由题意得：，根据数量积公式及题意，代入数据，即可求得答案；

设向量与向量所成角为，根据求夹角公式，令,计算可得，令，（），利用导数判断其单调性，求得最值，即可求得的最大值，即可得答案.

【详解】由题意得：

=.

因为

设向量与向量所成角为，

所以，

当时，夹角才可能最小，令（），

则，

令，（），则，

所以当时，，为增函数，

当时，，为减函数，

所以，

所以，即.

所以向量与向量所成角的最小值为.

故答案为：；.

【点睛】

解题的关键是熟练掌握求模，求夹角的方法，并灵活应用，难点在于，需结合导数，判断的单调性，求得最值，当最大时，角度最小，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.

23．（2021·天津市武清区杨村第一中学高三其他模拟）在四边形中，已知．点E是线段上的点，且，则_______．若F是线段上的动点，则的最小值为_______．

【答案】       

【分析】过点作交于点，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，由得出点的坐标，分别求出向量的坐标，从而求出；设，则，分别表示出向量的坐标，可得的表达式，从而可得答案.

【详解】过点作交于点，由

则

以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，

则,

, 所以，所以，即

则，

，解得，则

设，则

当时，由，故

 所以的最小值为：

故答案为：；

【点睛】

关键点睛：本题考查向量的坐标运算，数量积的坐标运算，解答本题的关键是根据题意建立坐标系，分别向量的坐标，由条件得出；分别表示出向量的坐标，得出，属于中档题.

24．（2021·北京海淀区·北大附中高三其他模拟）已知菱形的边长为，，.当时， ___________；当取得最小值时，___________.

【答案】       

【分析】取中点，以为坐标原点可建立平面直角坐标系，由向量数量积的坐标运算可求得；设，由可表示出，由此得到，由向量数量积坐标运算可将表示为关于的函数，由二次函数性质可得结果.

【详解】取中点，连接，

四边形为菱形，，为等边三角形，，

则以为坐标原点可建立如下图所示的平面直角坐标系，

则，，，

当，即时，点为中点，即为坐标原点，，

，，；

设，则，又，，解得：，

，，，

，

则当时，取得最小值.

故答案为：；.

【点睛】

方法点睛：求解平面几何中的平面向量数量积问题的常用方法有两种：

（1）利用平面向量线性运算将所求数量积进行转化，转化为夹角和模长已知的向量数量积的求解问题；

（2）建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算来进行求解.

25．（2021·天津和平区·耀华中学高三二模）如图，在菱形中，，，､分别为､上的点，，，点在线段上，且满足，则___________；若点为线段上一动点，则的取值范用为___________.

【答案】       

【分析】由题意得出分别是的一个三等分点，设，然后把用表示可得，再设，用基底表示，，然后求数量积，再由函数性质得其取值范围．

【详解】解：，，所以分别是的一个三等分点，，

设，

，

又，所以，，

所以，

设，，，

，

，

，

因为，所以．

故答案为：；．

【点睛】

关键点点睛：本题考查向量的线性运算，向量的数量积．解题关键是用基底表示其他向量，然后由向量运算的计算即可得．

26．（2021·湖南高三其他模拟）在中，的中点为，设向量

（1）用表示向量；

（2）若向量满足，求的值.

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）根据向量的线性运算可得答案．

（2）根据向量的数量积运算可得答案．

【详解】（1），

所以；

（2），

所以．

27．（2021·辽宁沈阳市·高三三模）在中，设，已知．

（1）求角A；

（2）设的中点为，若__________，求

从以下两组条件中任选其一，补充在上面的问题中并作答．

①；②．

注：如果选择两组条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】（1）；（2）选择见解析；．

【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算以及两角和的余弦公式即可求解.

（2）选①，在中与在中，利用正弦定理可得，再由余弦定理即可求解；选②，根据向量的加法运算可得，展开可得，再由余弦定理，解方程可得，进而利用余弦定理即可求解.

【详解】（1）

即，所以，由于，则

（2）选①，设角所对的边分别为

在中，由正弦定理，

在中，由正弦定理，

而，则，

又有，则，即

由余弦定理，

选②，设角所对的边分别为

由于，则，即

由余弦定理，

因此，整理得，

，则或，

由于，则，因此

28．（2021·湖南长沙市·长郡中学高三一模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，满足.

（1）求C；

（2）若，求.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由得出等式，再用正余弦定理即可；

（2）由正弦定理转化为角的关系，然后运用三角恒等变换公式即可.

【详解】（1）因为，所以，由正弦定理得

，所以，

所以，

因为，故.

（2）由（1）知，由题设及正弦定理得，

即，可得.

由于，，所以，

故

.

【点睛】

解三角形一般需要三个条件，如果条件不齐，则只能求角或者求范围，本题属于边角不齐求角的题型.

29．（2020·山东济宁市·高三其他模拟）已知，，

（1）若，求实数的值；

（2）若，求实数的值；

（3）若与夹角为锐角，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）且.

【分析】（1）根据向量共线的坐标表示，列出方程，即可求出结果；

（2）根据向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求出结果；

（3）根据向量夹角为锐角，列出不等式求解，再注意向量不共线，即可得出结果.

【详解】因为，，

（1）若，则，解得；

（2）若，则，解得；

（3）若与夹角为锐角，则，且与不同向共线，即，所以实数的取值范围为且.