北师大版必修48函数的图像教案设计

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课    题三角函数的图象与性质教学目标1．要熟记本节的基础知识，并会将ωx＋φ看作一个整体进行解题．2．解题时要注意图象的应用，如利用图象求函数的最值、值域等．重 难 点1．注重三角函数的性质和三角恒等变换的综合问题，这是近几年高考的热点．2．注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用导  案学  案教学流程 【基础知识网络总结与巩固】【复习指导】1．要熟记本节的基础知识，并会将ωx＋φ看作一个整体进行解题．2．解题时要注意图象的应用，如利用图象求函数的最值、值域等．3．注重三角函数的性质和三角恒等变换的综合问题，这是近几年高考的热点．4．注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用．　　基础梳理1．“五点法”描图(1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为     (0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．(2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为     (0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．  2．三角函数的图象和性质　          函数性质　　y＝sin xy＝cos xy＝tan x定义域RR{x|x≠kπ＋，k∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)无对称轴 对称中心：(kπ，0)(k∈Z)　对称中心：(k∈Z) 对称中心：(k∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间，2kπ＋(k∈Z)；单调减区间，2kπ＋(k∈Z)单调增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z) 单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；单调增区间，kπ＋(k∈Z)奇偶性奇偶奇两条规律(1)周期性函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．三种方法求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sin x、cos x的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．3．当函数()表示一个振动时，A叫做振幅，T＝叫做周期，f＝叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．4．图象的对称性函数()的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数的图象关于直线(其中)成轴对称图形．(2)函数的图象关于点(其中)成中心对称图形．一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝，k＝，ω由周期T确定，即由＝T求出，φ由特殊点确定．一个区别由y＝sin x的图象变换到的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值． 【重难点例题启发与方法总结】双基自测1．函数y＝cos，x∈R(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　A．是奇函数B．是偶函数C．既不是奇函数也不是偶函数D．既是奇函数又是偶函数2．函数y＝tan的定义域为(　　)． A.  B.C.  D.3．函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性是(　　)．A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B．在上是增函数，在和上都是减函数C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D．在∪上是增函数，在上是减函数4．y＝sin的图象的一个对称中心是(　　)．A．(－π，0)   B.C.   D.5．函数f(x)＝cos的最小正周期为________． 考向一　三角函数的定义域与值域【例1】►(1)求函数y＝lg sin 2x＋的定义域．(2)求函数y＝cos2x＋sin x的最大值与最小值．解　(1)依题意⇒⇒.(2)设sin x＝t，则t∈.∴y＝1－sin2x＋sin x＝－2＋，t∈，故当t＝，即x＝时，ymax＝，当t＝－，即x＝－时，ymin＝. (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；②形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；③形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．【训练1】 求函数y＝的定义域．     考向二　三角函数的奇偶性与周期性【例2】►函数是(　　)．A．最小正周期为π的奇函数                 B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数                 D．最小正周期为的偶函数【训练2】 已知函数f(x)＝(sin x－cos x)sin x，x∈R，则f(x)的最小正周期是________． 考向三　三角函数的单调性【例3】►已知f(x)＝sin x＋sin，x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间．解　f(x)＝sin x＋sin＝sin x＋cos x＝sin.由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得：－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，又x∈[0，π]，∴f(x)的单调递增区间为.【训练3】 函数f(x)＝sin的单调减区间为______．考向四　三角函数的对称性【例4】►(1)函数y＝cos图象的对称轴方程可能是(　　)．A．x＝－        B．x＝－       C．x＝         D．x＝(2)若0＜α＜，g(x)＝sin是偶函数，则α的值为________． 【训练4】 (1)函数y＝2sin(3x＋φ)的一条对称轴为x＝，则φ＝________.(2)函数y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.   【重难点关联练习巩固与方法总结】难点突破——利用三角函数的性质求解参数问题含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些．正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合．下面就利用三角函数性质求解参数问题进行策略性的分类解析．一、根据三角函数的奇偶性求解参数【示例】► 已知f(x)＝cos(x＋φ)为奇函数，则φ可以取的一个值为(　　)．            B.           C．－          D．－二、根据三角函数的单调性求解参数【示例2】► (2011·镇江三校模拟)已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的单调递增区间为(k∈Z)，单调递减区间为(k∈Z)，则ω的值为________． 三、根据三角函数的周期性求解参数【示例3】► 若函数y＝sin ωx·sin(ω＞0)的最小正周期为，则ω＝________. 四、根据三角函数的最值求参数【示例4】► 若函数f(x)＝asin x－bcos x在x＝处有最小值－2，则常数a、b的值是(　　)．A．a＝－1，b＝   B．a＝1，b＝－C．a＝，b＝－1   D．a＝－，b＝1  二、高考回顾：1、（2012年天津高考题）将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，则的最小值是（     ）A.              B.1             C.             D.2 2、(2012浙江)把函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是（   ）3、（2011天津）已知函数，其中的最小正周期为，且当时，取得最大值，则 （    ）                             A．在区间上是增函数 B．在区间上是增函数 C．在区间上是减函数 D．在区间上是减函数4、（2012高考新课标文9）已知ω>0，，直线和是函数图像的两条相邻的对称轴，则=（     ）     A.               B.             C.            D.5、如图，四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数， ，的图像如下。结果发现其中有一位同学作出的图像有错误，那么有错误的图像是(      )     A                                             B     C                                            D【课后强化巩固练习与方法总结】典型例题题型一、函数的图像的作法（五点作图法）【例1】已知函数，(1)作出函数图像的简图；(2)求函数的最值.        题型二、函数（，的图像与函数的图像的关系【例2】说明的图像是由的图像经过怎样变换得到的.       【变式】已知函数为了得到的图像，需要将的图像作怎样的变换而得到呢？若要分别得到和的图像，需将函数作怎样的变换呢？      【例3】将函数图像上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个函数图像沿轴向左平移个单位，得到的曲线与的图像相同，则的函数表达式为（      ）                                                            【变式】要得到函数的图像，只需将函数的图像（     ） 向右平移个单位         向右平移个单位 向左平移个单位         向左平移个单位  题型三、已知函数图像及性质求解析式【例4】如图所示的是函数的图像，求的值，确定函数解析式     【变式】已知函数(，，)的图象的一部分如图所示．(1)求f(x)的表达式； (2)试写出f(x)的对称轴方程．         【例5】已知曲线上的一个最高点坐标为，该最高点和与其相邻的最低点间的曲线与轴交于点.（1）求函数的解析式；     （2）求函数在上的值域.       【变式】已知函数的图像的一个最高点为，由这个最高点到相邻最低点，图像与轴交于点，试求函数的解析式.         .【例6】如图为函数的一个周期的图像，（1）写出的解析式；（2）若与的图像关于直线对称，写出的解析式；（3）指出的周期、频率、振幅、初相.       题型四、函数的性质的应用【例7】设函数，的图像的一条对称轴是直线.（1）求的值；         （2）求函数的单调增区间.         【例8】已知函数，是否存在常数，使得的值域为？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.      【例9】设函数的图像关于直线对称，它的周期是，则（     ） 题型五、知识综合【例10】已知方程，有两解，求实数的取值范围         【例11】已知函数是上的偶函数，其图像关于点对称，且在区间上是单调函数，求的值.        【变式】已知函数的图象过点，图象上与点P最近的一个最高点是.(1)求函数的解析式；(2)求函数f(x)的递增区间．           【例12】已知弹簧上挂的小球做简谐运动时，小球离开平衡位置的距离随时间的变化规律为：用五点法作出这个函数在一个周期内的简图，并回答下列问题：（1）小球在开始运动时，离开平衡位置的位移分别是多少？（2）小球上升到最高点、下降到最低点时离开平衡位置的位移分别是多少？（3）经过多少秒，小球往复运动一次？          【例13】函数（）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为，（1）求函数的解析式；（2）设，则，求的值。