2021届高考数学（文）二轮复习专题十一 坐标系与参数方程（文） 学案

这是一份2021届高考数学（文）二轮复习专题十一 坐标系与参数方程（文） 学案，共25页。学案主要包含了选择题．，解答题．等内容，欢迎下载使用。
     本部分内容主要考查极坐标方程与普通方程的互化，参数方程与普通方程的互化；已知直线或曲线的参数方程或极坐标方程，求距离、面积等综合问题，本部分考查难度一般不大．  1．平面直角坐标系中的伸缩变换设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系的概念在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点的极坐标：设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的叫做点的极角，记为．有序数对叫做点的极坐标，记为．一般地，不做特殊说明时，我们认为，可取任何实数．注：极坐标与表示同一个点．极点的坐标为．若，则，规定点与点关于极点对称，即与表示同一点．如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应唯一点 (，)，但平面内任一个点的极坐标不唯一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的， (，)（极点除外）的全部坐标为(，＋)或（，＋），()．极点的极径为，而极角任意取．若对、的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就唯一了，如限定，或，等．极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不唯一的．3．极坐标与直角坐标的互化设是平面内任意一点，它的直角坐标是，极坐标是，从图中可以得出：，，，．4．常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程过极点，倾斜角为的直线（1）和（2）和过点，与极轴垂直的直线过点，与极轴平行的直线过点，倾斜角为的直线圆心为极点，半径为的圆圆心为，半径为的圆圆心为，半径为的圆5．参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数，并且对于的每一个允许值，由这个方程所确定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．6．常见曲线的参数方程（1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程（为参数）．设是直线上的任意一点，则表示有向线段的数量．参数的几何意义是有向线段的数量．（2）圆的参数方程为（为参数）；（3）椭圆的参数方程为（为参数）；椭圆的参数方程为（为参数）；（4）抛物线参数方程为参数，）；参数的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．7．参数方程与普通方程之间的互化在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围．在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致．参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性．若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过．根据的取值范围导出的取值范围．
      一、选择题．1．极坐标系中，若等边的两个顶点、，那么顶点的极坐标可能是（    ）A． B． C． D． 二、解答题．2．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）射线的极坐标方程为，若射线与曲线的交点为 (异于点)，与直线的交点为求线段的长．             3．在直角坐标系中，直线l过点，倾斜角为．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线的参数方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线交曲线C于A，B两点，M为中点，且满足成等比数列，求直线的斜率．            4．在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数)．以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设P为曲线上的动点，求点P到的距离的最大值，并求此时点P的坐标．            5．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数)，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；（2）若直线与曲线相交于点，求圆心在极轴上，且经过极点和点的圆的直角坐标方程．             6．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若与相交于，两点，设，求．             7．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数，），以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线的交点为，．（1）若，求；（2）设点，求的最小值．            8．以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线，M是上的动点，点N在射线上且满足，设点N的轨迹为．（1）写出曲线的极坐标方程，并化为直角坐标方程；（2）已知直线l的参数方程为 (t为参数，)，曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的值．            9．以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知在极坐标系中曲线是以点为圆心，以1为半径的圆，以极点为坐标系原点，极轴为轴的非负半轴，且单位长度相同建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）．（1）写出的普通方程及曲线的极坐标方程；（2）判断与是否相交，若相交，设交点为两点，求线段的长，若不相交，说明理由．              一、解答题．1．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数，)．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于､两点，求面积的最大值．            一、解答题．1．在平面直角坐标系中，直线．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若与相交于，两点，且，求．           2．已知圆C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）写出点C的极坐标及圆C的极坐标方程；（2）点AB分别是圆C和直线上的点，且，求线段AB长的最小值．            3．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）设点，若直线与曲线相交于，两点，求的值．           4．已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程以及曲线的直角坐标方程；（2）若曲线、交于、两点，，求的值．           5．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其它民俗活动的民间艺术，蕴含了极致的数学美和丰富的文化信息，现有一幅剪纸的设计图（如图），其中的4个小圆均过边长为2的正方形的中心，且内切于正方形的邻边，现以为极点，为极轴建立极坐标系．（1）求圆的极坐标方程；（2）若射线和与图中阴影部分边界有交点，连接所有交点的线段围成了几何图形，求该几何图形的面积．          6．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线的极坐标方程；（2）在曲线上取两点，与原点构成，且满足，求面积的最大值．    
 一、选择题．1．【答案】A【解析】由于等边的两个顶点、，则线段的中点为极点，由等腰三角形三线合一的性质可得，且，，，因此，顶点的极坐标可能是，故选A．【点评】本题考查顶点的极坐标的求法，考查对称、中点坐标公式等基础知识，考查推理论证能力，考查函数与方程思想，是基础题． 二、解答题．2．【答案】（1），；（2）1．【解析】（1）由，可得，所以曲线的普通方程为，由，所以，所以直线的直角坐标方程为．（2）曲线的方程可化为，所以曲线的极坐标方程为，由题意设，将代入；将代入，可得，所以．【点评】本题考查弦长公式，一般求弦长的方法包含以下几点：1．直角坐标系下的弦长公式或；2．利用直线参数方程的几何意义可知；3．极坐标系下，过原点的直线与曲线相交的弦长．3．【答案】（1）l的参数方程为 (t为参数)，C的直角坐标方程为；（2）斜率为．【解析】（1）因为直线l过点，倾斜角为，所以直线l的参数方程为 (t为参数)；因为，所以，所以曲线C的直角坐标方程为．（2）将直线l的参数方程为 (t为参数)代入，可得，设A，B所对应的参数为，所以，，因为成等比数列，所以，即，解得，，故直线l的斜率为．【点评】解题的关键是熟练掌握极坐标与普通方程、参数方程与普通方程的互化；在利用t的几何意义时，要将直线参数方程的标准形式代入到曲线的直角坐标方程里，方可进行求解，考查计算化简的能力，属基础题．4．【答案】（1）；；（2），．【解析】（1）对于曲线有，所以的普通方程为．对于曲线有，，，即的直角坐标方程为．（2）联立，整理可得，，所以椭圆与直线无公共点，设，点到直线的距离为，当时，取最大值为，此时点的坐标为．【点评】本题主要考查极坐标和参数方程的运算，以及点到直线距离公式的使用，属于中档题．5．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）曲线C的参数方程为 (m为参数)，两式平方相减得曲线C的普通方程为．直线l的极坐标方程为，则，转换为直角坐标方程为．（2）由，得，所以点P的直角坐标为，设圆心为，则，解得，所以，圆的直角坐标方程为．【点评】（1）关键点：极坐标方程与普通方程的转换主要应用于．（2）求直线与曲线的交点坐标，列方程组、解方程组、可得交点坐标；求圆的方程可根据圆心和半径，得出圆的方程．6．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由，得，由，得，将，代入可得．（2）经检验在曲线上，则曲线的参数方程可写为（为参数），代入曲线，得，设，两点对应的参数分别为，，则由韦达定理得，故．【点评】本题解题的关键是理解直线参数方程中的几何意义．7．【答案】（1）3；（2）．【解析】（1）由曲线的极坐标方程得，化为直角坐标方程为，即．将直线的参数方程代入其中，得．当时，上述方程即，解得，，所以．（2）由根与系数的关系可知：，，所以，其中，当时取等号，所以的最小值为．【点评】直线参数方程的几何意义：（1）直线参数方程中参数的几何意义是这样的：如果点在定点的上方，则点对应的参数就表示点到点的距离即．如果点在定点的下方，则点对应的参数就表示点到点的距离的相反数，即．（2）由直线参数方程中参数的几何意义得：如果求直线上两点间的距离不管两点在哪里，总有．8．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）设，因为，可得，代入满足的方程，可得，即，两边同乘以并展开整理得，又由，，所以的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得，可得，又由直线的参数方程经过点，可得，即，即，因为，所以．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根与系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9．【答案】（1）的普通方程为，曲线的极坐标方程为；（2）相交，长度为．【解析】（1）的普通方程为，由，，曲线圆心的直角坐标为，曲线的直角坐标方程为，由，得，所以曲线的极坐标方程．（2）曲线圆心的直角坐标为，半径，所以圆心到直线的距离为，所以与是相交，．【点评】本题考查了极坐标方程，参数方程与普通方程的转化，参数的几何意义，属于中档题． 一、解答题．1．【答案】（1）的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）最大值是．【解析】（1）将直线的参数方程 (为参数，)中的参数消去，得到直线的普通方程，为，由曲线的极坐标方程，可得，又，，∴曲线的直角坐标方程为，即．（2）把直线的参数方程代入到曲线的直角坐标方程，得，设､对应的参数分别为､，则，，由参数的几何意义知：，又点到直线的距离，∴的面积：，当，即时等号成立，故的面积的最大值是．【点评】本题考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化，关键是能够根据参数的几何意义将已知弦长用韦达定理的形式表示，再利用点到直线的距离表示三角形的高． 一、解答题．1．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，得．又，，的直角坐标方程为．（2）直线的参数方程为（其中为参数，），将它代入，得，设，对应的参数分别为，，则，，，又，，，即．【点评】直角坐标方程与极坐标方程互化的关键是利用公式，求直线与圆锥曲线的弦长时，利用直线参数方程的几何意义更简单．2．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由参数方程知：，由知：圆C的方程为，∴点C的极坐标是，又，∴圆C的极坐标方程为．（2）在中，，由题意知：直线l为，点C到直线的距离，∴，故当时，线段AB的长取得最小值．【点评】由参数方程结合同角三角函数的平方关系可得普通方程，应用将方程转化为极坐标方程；由余弦定理得到关于的函数，根据点线距离求得的范围，应用函数性质即可求的最小值．3．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由曲线的参数方程，得．∵，∴曲线的普通方程为．由，得．∵，，∴直线的直角坐标方程为．（2）设直线的参数方程为（为参数，），设在直线的参数方程中点，所对应的参数分别为，，将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理得，，则有，．∴．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，考查与弦长有关问题的求解．（1）将参数方程化为普通方程式，只需要将原式合理变形，进行消参即可；将极坐标方程化为直角坐标方程为利用求解；（2）过点，倾斜角为的直线的参数方程为 (为参数)，且的几何意义为：是直线上任一点到的距离，设，是直线上任意两点，则有，，．4．【答案】（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）．【解析】（1）曲线的参数方程为为参数），转换为，所以①，②，②①得．曲线的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为．（2）点在直线上，转换为参数方程为为参数），代入，得到和为点和对应的参数），所以，，所以．【点评】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，（1）公式可实现极坐标方程与直角坐标方程的互化；（2）直线的标准参数方程中参数具有几何意义：过的直线的参数方程为（为参数），则．从向上的点对应，向下的点对应参数．5．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）依题意，，所以，设圆的半径为，则，即，解得，所以圆的直角坐标方程为，即，又，所以，所以．（2）圆的直角坐标方程为，则圆的极坐方程为，当时，；当时，，所以的面积．【点评】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的转化，以及极坐标下两点的距离公式的应用，属于中档题．6．【答案】（1）；（2）4．【解析】（1）可知曲线的普通方程为，所以曲线的极坐标方程为，即．（2）由（1）不妨设，，，，所以面积的最大值为4．【点评】本小题主要考查参数方程、直角坐标方程和和极坐标方程相互转化，考查利用极坐标求解三角形面积的最大值问题．属于中档题．