2021届高考数学（文）二轮专题十 统计概率 学案

1．抽样方法的考查，主要根据抽样方法求值．

2．以实际背景的图表分析．

3．平均数、众数、中位数、方差等特征数的意义以及对样本数据特征分析．

4．频率分布直方图的考查，分析频率分布直方图计算平均数、中位数、众数等 ，通常还与抽样方法、概率、线性回归方程结合起来考．

5．应用列举法、树状图法求解古典概型概率，或分析一些规则对称图形考查几何概型．

6．相关关系概念的考查，分析两个变量间的线性相关关系，并通过线性回归方程进行预估．

1．简单随机抽样

定义：一般地，设一个总体含有个个体，从中逐个不放回的抽取个个体作为样本（），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．

最常用的简单随机抽样方法有两种——抽签法和随机数法．

适用范围：总体含个体数较少．

2．系统抽样

一般地，假设要从容量为的总体中抽取容量为的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：

（1）先将总体的个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；

（2）确定分段间隔，对编号进行分段．当（是样本容量）是整数时，取；

（3）在第段用简单随机抽样确定第一个个体编号；

（4）按照一定的规则抽取样本．通常是将加上间隔得到第个个体编号，再加得到第个个体编号，依次进行下去，直到获取整个样本．

注意：如果遇到不是整数的情况，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除．

适用范围：总体含个体数较多．

3．分层抽样

定义：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫分层抽样．

适用范围：总体由差异明显的几部分构成．

4．频率分布直方图

极差：一组数据中最大值与最小值的差；

频数：即个数；

频率：频数与样本容量的比值，频率分布直方图中各小长方形的面积表示相应各组的频率；

众数：出现次数最多的数，可以有多个．若无具体样本数据，则频率分布直方图中最高矩形的中点值可视为众数估计值；

中位数：按大小顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，若中间位置有两个数，则取它们的平均数，中位数只有一个．若无具体样本数据，则频率分布直方图中将所有矩形面积平分的直线对应的横坐标可视为中位数的估计值；

平均数：所有样本数值之和除以样本个数的值．若无具体样本数据，则频率分布直方图中将每个矩形对应的区间中点值与该矩形面积相乘，然后全部相加得到的数值可视为该样本的平均值的估计值；

标准差：考察样本数据的分散程度的大小，一般用表示．标准差越大，则数据离散程度越大；标准差越小，则数据离散程度越小．

．

方差：标准差的平方，用表示，也是刻画样本数据的分散程度，与标准差一致．

．

5．最小二乘法

回归直线，其中．

6．相关系数

，

当为正时，表明变量与正相关；当为负时，表明变量与负相关．

，的绝对值越大，说明相关性越强；的绝对值越小，说明相关性越弱．

7．事件

一般用大写字母，，，表示．

必然事件：一般地，我们把在条件下，一定会发生的事件，叫做相对于条件的必然事件．

不可能事件：在条件下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件的不可能事件．

确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件的确定事件．

随机事件：在条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件的随机事件．

互斥事件：在一次试验中不可能同时发生的两个事件．

对立事件：在一次试验中有且仅有一个会发生的两个事件．

8．概率

概率是一个确定的数，与每次的试验无关，用来度量事件发生的可能性大小．

9．古典概型

（1）实验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

（2）每个基本事件出现的可能性相等；

（3）．

10．几何概型

每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例．

．

11．回归分析

（1）样本点的中心一定满足回归方程；

（2）点的残差；

（3），越大，则模型的拟合效果越好；越小，则模型的拟合效果越差．

12．独立性检验

的观测值．

一、选择题．

1．为了丰富教职工业余文化生活，某校计划在假期组织全体老师外出旅游，并给出了两个方案(方案一和方案二)，每位老师均选择且只选择一种方案，其中有50%的男老师选择方案一，有75%的女老师选择方案二，且选择方案一的老师中女老师占40%，那么该校全体老师中女老师的比例为（    ）

A． B． C． D．

2．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论错误的是（    ）

注：后指年及以后出生，后指年之间出生，前指年及以前出生．

A．互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上

B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的

C．互联网行业中从事运营岗位的人数后一定比前多

D．互联网行业中从事技术岗位的人数后一定比后多

3．甲乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天出的次品数分别是：

，分别表示甲乙两组数据的平均数，，分别表示甲乙两组数据的方差，则下列选项正确的是（    ）

A．，  B．，

C．，  D．，

4．年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行．下图是该地某小区年月至年月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图．（图中月份代码分别对应年月年月）

根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程分别为和，并得到以下一些统计量的值：

注：是样本数据中的平均数，是样本数据中的平均数，则下列说法不一定成立的是（    ）

A．当月在售二手房均价与月份代码呈正相关关系

B．根据可以预测年月在售二手房均价约为万元/平方米

C．曲线与的图形经过点

D．回归曲线的拟合效果好于的拟合效果

5．某校学生的男女人数之比为，按照男女比例通过分层随机抽样的方法抽到一个样本，样本中男生每天运动时间的平均值为100分钟、女生为80分钟．结合此数据，估计该校全体学生每天运动时间的平均值

为（    ）

A．98分钟 B．90分钟 C．88分钟 D．85分钟

6．已知一组数据，，的平均数是5，方差是4则由，，，11这4个数据组成的新的一组数据的方差是（    ）

A．16 B．14 C．12 D．8

7．总体由编号01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从如下随机数表的第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（    ）

第1行78  16  62  32  08  02  62  42  62  52  53  69  97  28  01  98

第2行32  04  92  34  49  35  82  00  36  23  48  69  69  38  74  81

A．27 B．26 C．25 D．24

8．已知的三个顶点坐标为、、，点的坐标为，向内部投一点，那么点落在内的概率为（    ）

A． B． C． D．

9．若同时掷两个骰子，则向上的点数之和为6的概率是（    ）

A． B． C． D．

二、解答题．

10．某地区2014年至2020年农村居民家庭人均纯收入y(单位：万元)的数据如下表：

（1）求y关于t的线性回方程；

（2）利用（1）中的回归方程，分析2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．

11．2020年1月24日，中国疾控中心成功分离中国首株新型冠状病毒毒种．6月19日，中国首个新冠mRNA疫苗获批启动临床试验，截至2020年10月20日，中国共计接种了约6万名受试者，为了研究年龄与疫苗的不良反应的统计关系，现从受试者中采取分层抽样抽取100名，其中大龄受试者有30人，舒张压偏高或偏低的有10人，年轻受试者有70人，舒张压正常的有60人．

（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否能够以99%的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关？

（2）在上述100人中，从舒张压偏高或偏低的所有受试者中采用分层抽样抽取6人，从抽出的6人中任取3人，设取出的大龄受试者人数为，求的分布列和数学期望．

运算公式：，

对照表：

12．广西某高三理科班名学生的物理测评成绩（满分120分）的频率分布直方图如图，已知分数在的学生有27人．

（1）求总人数和分数在分的人数；

（2）求出该频率分布直方图的众数，中位数，平均数；

（3）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学生提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩（满分150分），物理成绩进行分析，如表是该生7次考试的成绩．

已知该生的物理成绩与数学成绩是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？其回归方程，，．

其中，

，

．

一、选择题．

1．已知变量，之间的线性回归方程为，且变量，之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（    ）

A．变量，之间呈负相关关系 B．

C．可以预测，当时， D．该回归直线必过点

2．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（    ）

A． B．

C． D．

3．下表是某厂1-4月份用水量情况（单位：百吨）的一组数据：

用水量与月份之间具有线性相关关系，其线性回归方程为，则的值为（    ）

A． B．5 C． D．

一、选择题．

1．已知x与y之间的一组数据如下表：

若y与x线性相关，根据上表求得y与x的线性回归方程，中的为8，据此模型预报时，

y的值为（    ）

A．70 B．63 C．65 D．66

二、填空题．

2．总体由编号为01，02，03，，49，50的50个个体组成，利用随机数表(以下摘取了随机数表中第31行和第32行)选取5个个体，选取方法是从随机数表第31行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出的第4个个体的编号为_____．

66 67 40 67 14  64 05 71 95 86  11 05 65 09 68  76 83 20 37 90  57 16 00 11 66

14 90 84 45 11  75 73 88 05 90  52 27 41 14 86  22 98 12 22 08  07 52 74 95 80

3．在区间上任取一个数k，使直线与圆相交的概率为_____．

4．现有编号为A、B、C、D的四本书，将这四本书平均分给甲、乙两位同学，则A，B两本书被同一位同学分到的概率为________．

三、解答题．

5．一年一度的剁手狂欢节——“双十一”，使千万女性朋友们非常纠结．2020年双十一，淘宝点燃火炬瓜分2．5个亿，淘宝､京东､天猫等各大电商平台从10月20号就开始预订，进行了强大的销售攻势．天猫某知名服装经营店，在10月21号到10月27号一周内，每天销售预定服装的件数 (百件)与获得的纯利润 (单位：百元)之间的一组数据关系如下表：

（1）若与具有线性相关关系，判断与是正相关还是负相关；

（2）试求与的线性回归方程；

（3）该服装经营店打算11月2号结束双十一预定活动，预计在结束活动之前，每天销售服装的件数 (百件)与获得的纯利润 (单位：百元)之间的关系仍然服从（1）中的线性关系，若结束当天能销售服装14百件，估计这一天获得的纯利润与前一周的平均利润相差多少百元？(有关计算精确到小数点后两位)

参考公式与数据：，，，．

6．年月日既是中华人民共和国第个国庆日，又是农历中秋节，双节同庆，很多人通过短视频或微信、微博表达了对祖国的祝福．某调查机构为了解通过短视频或微信、微博表达对祖国祝福的人们是否存在年龄差异，通过不同途径调查了数千个通过短视频或微信、微博表达对祖国祝福的人，并从参与者中随机选出人，经统计这人中通过微信或微博表达对祖国祝福的有人．将这人按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示：

（1）求的值并估计这人的平均年龄；

（2）把年龄在第，，组的居民称为青少年组，年龄在第，组的居民称为中老年组，选出的人中通过短视频表达对祖国祝福的中老年人有人，问是否有的把握认为是否通过微信或微博表达对祖国的祝福与年龄有关？

附：

．

7．某调研机构就美国总统大选对中国台海形势的影响在街头随机调查了2000人，这2000人的年龄分布在18岁~78岁之间，分组为第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组，按各年龄段受访人数绘制成如图所示的频率分布直方图．由于绘图人员的疏忽，三组数据对应的直方图小矩形的高没有标出，经过比对得出最后三组数据（第四组到第六组）对应的直方图小矩形的高依次成等差数列．

（1）求出第六组受访者的人数；

（2）现在从第一组和第二组受访者中，用分层抽样的方法抽出5人进行深度采访，并从这5人中随机选出2人的采访视频送电视台播放，求选出的2个采访视频都是第二组受访者的视频的概率．

8．在一次抽样调查中测得个样本点，得到下表及散点图．

（1）根据散点图判断与，哪一个适宜作为关于的回归方程；（给出判断即可，

不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果试建立与的回归方程；（计算结果保留整数）

（3）在（2）的条件下，设且，试求的最小值．

参考公式：回归方程中，，．

9．有一个数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，2人试图独立地在半小时内解决它，求：

（1）2人都未解决的概率；

（2）问题得到解决的概率．

一、选择题．

1．【答案】B

【解析】设该校男老师的人数为，女老师的人数为，则可得如下表格：

由题意，可得，所以，故选B．

【点评】本题考查统计的基本思想，属于基础题．

2．【答案】D

【解析】对于选项A，因为互联网行业从业人员中，“后”占比为，

其中从事技术和运营岗位的人数占的比分别为和，

则“后”从事技术和运营岗位的人数占总人数的．

“前”和“后”中必然也有从事技术和运营岗位的人，则总的占比一定超过三成，

故选项A正确；

对于选项B，因为互联网行业从业人员中，“后”占比为，

其中从事技术岗位的人数占的比为，

则“后”从事技术岗位的人数占总人数的．

“前”和“后”中必然也有从事技术岗位的人，则总的占比一定超过，故选项B正确；

对于选项C，“后”从事运营岗位的人数占总人数的比为，

大于“前”的总人数所占比，故选项C正确；

选项D，“后”从事技术岗位的人数占总人数的，

“后”的总人数所占比为，条件中未给出从事技术岗位的占比，故不能判断，所以选项D错误，

故选D．

【点评】本题考查利用扇形统计图和条形统计图解决实际问题，解本题的关键就是利用条形统计图中“后”事互联网行业岗位的占比乘以“后”所占总人数的占比，再对各选项逐一分析即可．

3．【答案】B

【解析】由表格数据知：，

，

∴；

，，∴，

故选B．

【点评】本题考查平均数和方差的定义和计算，是基础题，解题时要注意平均数和方差的合理运用．

4．【答案】C

【解析】对于A，散点从左下到右上分布，所以当月在售二手房均价与月份代码呈正相关关系，

故A正确；

对于B，令，由，

所以可以预测年月在售二手房均价约为万元/平方米，故B正确；

对于C，非线性回归曲线不一定经过，故C错误；

对于D，越大，拟合效果越好，故D正确，

故选C．

【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，回归直线方程，相关关系的判断，是中档题．

5．【答案】C

【解析】设样本中男生人数为2a，女生人数为3a，则样本容量为5a，

又男生每天运动时间的平均值为100分钟、女生为80分钟，

所以该校全体学生每天运动时间的平均值为，故选C．

【点评】本题考查了分层抽样的应用，考查了总体平均数的估计，属于基础题．

6．【答案】C

【解析】由已知得，，

则新数据的平均数为，

所以方差为

，

故选C．

【点评】本题考查了平均数与方差的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，

而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加同减一个数．

7．【答案】C

【解析】由随机数表法可知，样本的前个个体的编号分别为、、、、，

因此，选出的第个个体的编号为，故选C．

【点评】本题主要考了随机数表的使用，属于基础题．

8．【答案】A

【解析】由题意可知，，，

因此，点落在内的概率为，故选A．

【点评】本题考查了几何概型的求解，而几何概率的求解的关键是求得事件所占区域与整个区域的几何度量，本题是一道与面积有关的试题，属于基础题．

9．【答案】D

【解析】根据题意，可知共有36个基本事件，

其中向上的点数之和为6的事件含有（1，5）（5，1）（2，4）（4，2）（3，3）共5个基本事件，

所以概率，故选D．

【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理使用．

二、解答题．

10．【答案】（1）；（2）预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入为6.3万元．

【解析】（1）由所给数据计算得，

．

，

．

，，

所求回归方程为．

（2）由（1）知，，

故2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5万元．

将2021年的年份代号代入（1）中的回归方程得．

故预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入为6.3万元．

【点评】利用最小二乘法求回归直线方程时，一般先根据题中条件，计算两变量的均值，再根据最小二乘法对应的公式，求出和，即可得解．

11．【答案】（1）没有的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关；（2）分布列见解析，．

【解析】列联表如下：

，

所以，没有的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关．

（2）由题意得，采用分层抽样抽取的人中，大龄受试者有人，年轻受试者有人，

所以大龄受试者人数为的可能取值为，

所以，，

，，

所以的分布列为：

所以．

【点评】本题第二问解题的关键在于根据题意得抽取的人中，大龄受试者有人，年轻受试者有人，

进而根据超几何分布求概率分布列与数学期望，考查运算求解能力，是中档题．

12．【答案】（1），9；（2）众数：，中位数：100，平均数：；（3）可估计他的物理成绩为115分．

【解析】（1）根据频率分布直方图的意义，分数在的学生有27人，

的频率为，可得总人数．

直方图面积之和为，可得的频率为，即人数为人．

的人数为，所以人数为9人．

（2）众数，

由，所以中位数为100；

平均数（分）．

（3）由表中数据：，，

其中；，

∵，

∴物理成绩与数学成绩是线性其回归方程为．

当时，可得，即可估计他的物理成绩为115分．

【点评】本题考查了频率分布直方图与列举法求古典概型的概率问题，也考查了线性回归方程的应用问题，

是综合题．

一、选择题．

1．【答案】B

【解析】A．由回归方程，知，

所以变量，之间呈负相关关系，故正确；

B．因为，则，

所以，解得，故错误；

C．当时，，故正确；

D．由B知：，，所以回归直线必过点，故正确，

故选B．

【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．

2．【答案】A

【解析】由给出的四组数据的散点图可以看出，题图1和题图3是正相关，相关系数大于0，

题图2和题图4是负相关，相关系数小于0，

题图1和题图2的点相对更加集中，所以相关性更强，所以接近于1，接近于，

由此可得，故选A．

【点评】本题考查了两个变量的线性相关，考查了相关关系，散点分布在左下角至右上角，说明两个变量正相关；分布在左上角至右下角，说明两个变量负相关，散点越集中在一条直线附近，相关系数越接近于1．

3．【答案】C

【解析】由表中数据可得，，

因为样本中心点在回归直线上，所以，解得，故选C．

【点评】本题考查了回归分析，考查样本中心点满足回归直线方程，考查求一组数据的平均数，属于基础题．

一、选择题．

1．【答案】C

【解析】由表中数据可知：，，

所以，所以，

令，，故选C．

【点评】本题主要考了线性回归方程的求解，属于基础题型．

二、填空题．

2．【答案】09

【解析】根据题意可知，选出的符合题意的号码依次为：14，05，11，09，20，

故答案为09．

【点评】本题主要考查随机数表的读取方法的理解，属于容易题，易错点是：注意对选中的重复数字的排除．

3．【答案】

【解析】因为圆心，半径，直线与圆相交，

所以，解得，

故相交的概率，故答案为．

【点评】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．

4．【答案】

【解析】将编号为A、B、C、D的四本书，平均分给甲、乙两位同学，

有，

A，B两本书被同一位同学分到包含的基本事件的个数种，

所以A，B两本书被同一位同学分到的概率为，故答案为．

【点评】古典概型概率问题．

（1）针对具体问题认真分析事件特点，准确判断事件类型，古典概型中事件特点是结果有限且等可能性；

（2）求出基本事件的总数，和事件中包含的基本事件的个数；

（3）利用，即可求概率．

三、解答题．

5．【答案】（1）与是正相关；（2）；（3）结束当天获得的纯利润比前一周的平均利润多百元．

【解析】（1）由题目中的数据表格可以看出，随着的增大而增大，

∴判断出与是正相关．

（2）由题设知，，

，，

∴，

则，

∴线性回归直线方程为．

（3）由（1）知，当时， (百元)，

∴11月2号这天估计可获得的纯利润大约为117.86百元，

由（1）知，前一周的平均利润为(百元)，

故结束当天获得的纯利润比前一周的平均利润多百元．

【点评】解答求回归方程的问题，计算量有时有点大，所以要注意认真计算，不要出错．

6．【答案】（1），；（2）是有的把握认为．

【解析】（1）由，得．

这人的平均年龄为：

．

（2）前组人数为，

由题意得列联表：

，

所以是有的把握认为通过微信或微博表达对祖国的祝福与年龄有关．

【点评】在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为1，由此可建立等量关系；制作列联表时，

要把表中的各个数据正确求出，然后代入公式计算，再把的值同临界值比较即可．

7．【答案】（1）100；（2）．

【解析】（1）设第六组数据对应的直方图小矩形的高为，

则第二组和第五组数据对应的直方图小矩形的高都为，

所以，解得，

所以第六组受访者的人数为．

（2）第一组的受访人数为，

第二组的受访人数为，

用分层抽样的方法从这两组中抽出5人，第一组应抽出2人，第二组应抽出3人．

设第一组中抽到的2人的采访视频分别是，，从第二组中抽到的3人的采访视频分别是，，，

则从这5人的采访视频中随机选取两个视频，

所有可能的结果有，，，，，，，，，，共10种，

其中都是第二组受访者的视频的结果有，，共3种，

所以选出的2个采访视频都是第二组受访者的视频的概率．

【点评】本题考查了频率分布直方图的解读以及分层抽样方法，属于中档题．

8．【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】（1）由题中散点图可以判断，适宜作为关于的回归方程．

（2）令，则，原数据变为

由表可知与近似具有线性相关关系，计算得，

，

，

所以，，则．

所以关于的回归方程是．

（3）由（2）得，，

任取、，且，即，

可得

，

因为，则，，所以，，

所以，函数在区间上单调递增，则．

【点评】对于非线性回归方程的求解，一般要结合题意作变换，转化为线性回归方程来求解，同时也要注意相应数据的变化．

9．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由题意知：甲、乙两人都未能解决的概率为．

（2）问题能得到解决，即至少有人能解决问题，

其对立事件为两人都未解决问题，

问题得到解决的概率为．

【点评】本题考查了概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式、对立事件概率计算公式等基础知识，

考查运算求解能力，是基础题．