2021届高考数学（文）二轮专题四 函数与导数（文） 学案

1．函数的考查，主要考查函数的性质以及函数零点问题，通常和函数图象结合起来考查，一种是图象的识别，另一种利用图象来分析函数，通过数形结合的思想解决与函数有关的问题．函数零点问题主要考查的形式为函数所在的区间，零点的个数问题，或者是求参数的取值范围问题．

2．导数的考查主要分为两种，一种为导数的运算以及导数的几何意义的考查，另一种是利用函数解决函数的单调性，以及极（最）值问题．

一、函数

1．函数的单调性

单调性是函数在定义域上的局部性质，函数单调性常考的等价形式有：

若，且，

在上单调递增；

在上单调递减．

2．函数的奇偶性

①若是偶函数，则；

②若是奇函数，则，在其定义域内，则；

③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性．

3．函数的周期性

①若对，或恒成立，

则是周期为的周期函数；

②若是偶函数，其图象又关于直线对称，则是周期为的周期函数；

③若是奇函数，其图象又关于直线对称，则是周期为的周期函数；

④若或，则是周期为的周期函数．

4．函数的对称性

①若函数满足，即，则的图象关于直线对称；

②若函数满足，即，则的图象关于点对称；

③若函数满足，则函数的图象关于直线对称；

④若函数满足，则函数的图象关于直线对称．

5．函数的零点问题

（1）函数的零点就是方程的根，即函数的图象与函数的图象交点的横坐标．

（2）确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解．

二、导数

1．导数的几何意义

函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即．

（1）曲线在点的切线的方程为．

（2）过点作曲线的切线，点不一定是切点，于是对应切线的斜率也不一定是．

切点不确定时，一般先设切点坐标，由导数得到切线斜率，写出切线方程后，再利用条件来确定切点坐标，

从而得到切线的方程．

2．单调性与导数的关系

设函数在区间内可导．

（1）如果在内，恒有，则在此区间是增函数；

（2）如果在内，恒有，则在此区间是减函数；

（3）如果在内，恒有，那么函数在这个区间内是常函数．

3．利用导数判断函数单调性的步骤

（1）确定定义域（易错点：漏写定义域）；

（2）求导函数；

（3）解（或），得到单调递增（减）区间；

（4）在定义域范围内取补集，得到减（增）区间．

4．极值的定义

（1）函数在点的函数值比它在点附近的函数值都小，则把叫做的极小值点，

叫做的极小值．

若在点处可导，是其导数，就可以用导数描述函数在极小值点附近的特征：；

而且在点附近的左侧，右侧．

（2）函数在点的函数值比它在点附近的函数值都大，则把叫做的极大值点，

叫做的极大值．

若在点处可导，是其导数，就可以用导数描述函数在极大值点附近的特征：；

而且在点附近的左侧，右侧．

注意：极值点指的取值，极值指相应的的取值．

5．求可导函数极值的步骤

（1）求函数的定义域；

（2）求导数，并判断函数的单调性；

（3）画表判断函数的极值．

6．求函数在区间上的最值得一般步骤

（1）求函数在内的极值；

（2）比较函数的各极值与端点处的函数值的大小，最大的一个是最大值，

最小的一个是最小值．

一、选择题．

1．已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的集合为（    ）

A． B． C． D．

2．已知函数的周期为2，当时，，那么函数的图象与函数的图象的交点共有（    ）

A．10个 B．9个 C．8个 D．1个

3．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在℃的保鲜时间是小时，在℃的保鲜时间是小时，则该食品在℃的保鲜时间是（    ）

A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．21小时

4．设函数，则满足的的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

5．已知函数关于的方程，．有四个不同的实数解，，，，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

6．已知函数，且在内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

7．已知且且且，则（    ）

A． B． C． D．

8．函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（    ）

A． B．

C． D．

9．若直线与曲线和都相切，则的方程为（    ）

A． B． C． D．

10．函数的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题．

11．曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________．

三、解答题．

12．已知函数为常数，．

（1）若恒成立，求实数的取值范围；

（2）设函数，判断函数是否存在零点；如果存在，求出零点的个数；

如果不存在，请说明理由．

13．已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．

14．设函数

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；

（3）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件．

一、解答题．

1．已知函数．

（1）若，求的单调区间；

（2）证明：只有一个零点．

2．函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数在区间是增函数，求的取值范围．

一、选择题．

1．已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

2．定义在上的函数满足，，当时，，则函数的图象与的图象的交点个数为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

二、填空题．

3．已知，函数，若关于的方程恰有2个互异的实数解，

则的取值范围是_________．

4．若，则下面不等式正确的是_________．

①；②；③；④；⑤．

5．设函数．若，则_________．

三、解答题．

6．已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线；

（2）若为的一个极小值点，求的取值范围．

一、选择题．

1．【答案】D

【解析】因为是定义在上的奇函数，

当时，，所以，

所以，

由，解得或；

由，解得或（舍去），

所以函数的零点的集合为，故选D．

【点评】函数的奇偶性的运用，分段函数，函数的零点，一元二次方程的解法，难度中等．

2．【答案】A

【解析】由题可知，如图所示：

当时，，根据图象可知，交点个数为10，故选A．

【点评】本题考查两函数图象的交点个数，利用数型结合，形象直观，属基础题．

3．【答案】C

【解析】依题有：，，两式相除得，

解得，，那么，

当时，，故选C．

【点评】本题考查指数函数的概念及其性质，考查函数模型在现实生活中的应用，考查整体思想，考查学生应用函数思想解决实际问题的能力．

4．【答案】C

【解析】令，则，当时，，

由的导数为，

当时，，在递增，即有，则方程无解；

当时，成立，由，即，解得且或

，解得，即为，

综上所述实数的取值范围是，故选C．

【点评】本题主要考查了分段函数的综合应用，其中解答中涉及到函数的单调性、利用导数研究函数的单调性、函数的最值等知识点的综合考查，注重考查了分类讨论思想和转化与化归思想，以及学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中构造新的函数，利用新函数的性质是解答的关键．

5．【答案】B

【解析】作函数的图象如图：

结合图象可知，，，故，

根据题意，，则，故，

则，

根据对勾函数在上单调递增，

故在上单调递增，

所以，故选B．

【点评】本题考查了函数零点与方程解的关系，考查数形结合思想，对勾函数性质，属于中档题．

6．【答案】A

【解析】令，分别作出与的图象如下，

由图象知是过定点的一条直线，

当直线绕着定点转动时，与图象产生不同的交点．

当直线在轴和直线及切线和直线之间时，与图象产生两个交点，

此时或，故答案选A．

【点评】本题考查函数零点的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．

7．【答案】D

【解析】因为，故，同理，

令，则，

当时，；当时，，

故在为减函数，在为增函数，

因为，故，即，而，

故，同理，，，，

因为，故，

所以，故选D．

【点评】导数背景下的大小比较问题，应根据代数式的特征合理构建函数，再利用导数讨论其单调性，

此类问题，代数式变形很关键．

8．【答案】A

【解析】由图象知，

因为有两个不相等的正实根，

且在单调递增，在上单调递减，

所以，，，

所以，，

所以，，，，故选A．

【点评】此题考查导函数与原函数的图象关系，理解利用导函数与原函数的单调性和极值之间的关系是解题的关键，属于基础题．

9．【答案】D

【解析】设直线在曲线上的切点为，则，

函数的导数为，则直线的斜率，

设直线的方程为，即，

由于直线与圆相切，则，

两边平方并整理得，解得，（舍），

则直线的方程为，即，故选D．

【点评】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题．

10．【答案】B

【解析】可得的定义域为关于原点对称，

且，

为奇函数，图象关于原点对称，故A、C错误；

当时，，

故当时，，单调递增；

当时，，单调递减，故D错误，B正确，

故选B．

【点评】函数图象的辨识可从以下方面入手：

（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象．

二、填空题．

11．【答案】

【解析】设切线的切点坐标为，，，

，所以切点坐标为，

所求的切线方程为，即，

故答案为．

【点评】本题考查导数的几何意义，属于基础题．

三、解答题．

12．【答案】（1）；（2）无零点，理由见解析．

【解析】（1）①当时，，不合题意；

②当时，，

令则，

单调递增；

单调递减，

，解得，

综上①②可得．

（2）由（1）可知，当时，，

即，当且仅当时等号成立，

，

(当且仅当时等号成立)

又，当且仅当时等号成立，

所以对任意，恒成立．

所以函数无零点．

【点评】通过得出，从而判断出恒成立是解决本题的关键．

13．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1），∴切线斜率，

∴曲线在处的切线方程为，

∴即．

（2）过点向曲线作切线，设切点为，

则，

∴切线方程，

即，

∴有三个不同实数根，

记，

令或1，则的变化情况如下表

当有极大值；有极小值．

因为过点可作曲线的三条切线，

则，即，解得，

所以的范围是．

【点评】函数零点或函数图象交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一．

14．【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．

【解析】（1）由，得．

因为，，

所以曲线在点处的切线方程为．

（2）当时，，

所以．

令，得，解得或．

与在区间上的情况如下：

所以，当且时，存在，，，

使得．

由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．

（3）当时，，，

此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点；

当时，只有一个零点，记作．

当时，，在区间上单调递增；

当时，，在区间上单调递增，

所以不可能有三个不同零点；

综上所述，若函数有三个不同零点，则必有，

故是有三个不同零点的必要条件．

当，时，，只有两个不同零点，

所以不是有三个不同零点的充分条件．

因此是有三个不同零点的必要而不充分条件．

【点评】1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明．

2．求参数范围问题的常用方法：（1）分离变量；（2）运用最值．

3．方程根的问题可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论．

4．高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，

从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．

一、解答题．

1．【答案】（1）在，单调递增，在单调递减；

（2）证明见解析．

【解析】（1）当时，，．

令，解得或．

当时，；

当时，，

故在，单调递增，在单调递减．

（2）由于，所以，等价于．

设，则，仅当时，，

所以在单调递增．

故至多有一个零点，从而至多有一个零点．

又，，

故有一个零点，

综上，只有一个零点．

【点评】（1）用导数求函数单调区间的步骤如下：①确定函数的定义域；②求导数；

③由（或）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；

当时，在相应区间上是减增函数．

（2）本题第二问重在考查零点存在性问题，解题的关键在于将问题转化为求证函数有唯一零点，

可先证明其单调，再结合零点存在性定理进行论证．

2．【答案】（1）时，在是增函数；时，在，上是增函数，在上是减函数；（2）．

【解析】（1），的判别式．

①若，则，且，当且仅当，，故此时在上是增函数；

②由于，故当时，有两个根：，，

若，则当或时，，

故在，上是增函数；

当时，，

故在上是减函数．

（2）当，时，，所以当时，在区间是增函数；

若时，在区间是增函数，当且仅当且，

解得，

综上，的取值范围是．

【点评】本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围，

考查分类讨论思想的应用．

一、选择题．

1．【答案】A

【解析】设，则，

由，解得，

当时，，函数为增函数；当时，，函数为减函数，

当时，函数取得极大值也是最大值为．

方程有5化为，

解得或．

如图画出函数图象：，故选A．

【点评】本题考查根的存在性与根的个数判断，考查利用导数求函数的最值，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．

2．【答案】A

【解析】由题意知：的周期为2，关于对称，

且，

∴为偶函数，即可得、的图象如下：

即与交于三点，故选A．

【点评】1．有的周期为m；

2．有关于．

二、填空题．

3．【答案】

【解析】分类讨论：当时，方程，即，

整理可得：，

很明显不是方程的实数解，则；

当时，方程即，

整理可得：，

很明显不是方程的实数解，则，

令，

其中，，

原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围．

结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，

同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，

结合观察可得，实数的取值范围是．

【点评】本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括：

（1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

4．【答案】②④

【解析】对①，令，则，

当的正负不确定，

故与的大小不确定，故①错误；

对②，令，则，

当，在上单调递增，

又，，即，

即，故②正确；

对③，令，则，

当，在上单调递增，

又，，

即：，故③错误；

对④，令，则，

当，在上单调递增，

又，，，

即：，故④正确；

对⑤，令，则，

当的符号不能确定，

与的大小不能确定，

即与的大小不能确定，故⑤错误，

故答案为②④．

【点评】本题解题的关键是构造对应的函数，利用函数的单调性比较大小．

5．【答案】1

【解析】由函数的解析式可得，

则，据此可得，

整理可得，解得，故答案为．

【点评】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中档题．

三、解答题．

6．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）当时，，则，

∴，，

∴曲线在点处的切线为．

（2）由已知得，则，

若为的一个极小值点，则在的单调增区间中，

又，则，解得，

又当时，，

令，，

当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，故此时不是的极值点，

综上可知：．

【点评】解答本题第二问的关键是通过判断出处于的单调递增区间，于是满足在的左侧导数值小于零，的右侧导数值大于零，由此进行问题的求解．