2021届高考数学（文）二轮专题一 集合 学案

集合为高考的必考内容，通常在选择题的第一题或第二题出现，考察难度较低，主要考查集合的运算，集合的基本关系，偶尔也会以新定义的题型出现，此时难度中等偏难．

1．数学中常用的数集及其记法：

①自然数集：，②正整数集：或，③整数集，④有理数集：Q，⑤实数集：．

2．集合间的基本关系

（1）（是的子集）；

（2）（与相等）且；

（3）（是的真子集）且；

（4）空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集；

（5）含有个元素的集合有个子集，有个真子集．

3．集合的运算性质及重要结论

（1），；

（2），．

一、选择题．

1．定义集合运算：．设，则集合的所有

元素之和为（    ）

A．0 B．2 C．3 D．6

2．已知集合，，则（    ）

A．  B．

C．  D．

3．设全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

4．已知集合，则中元素的个数为（    ）

A．9 B．8 C．5 D．4

5．若集合，，用表示集合中的元素个数，

则（    ）

A． B． C． D．

6．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

7．已知集合，，则中的元素个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

8．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

9．设集合，集合．则

（    ）

A． B． C． D．

10．设函数，其中是实数集的两个非空子集，又规定，，则下列说法：

（1）一定有；

（2）若，则；

（3）一定有；

（4）若，则．

其中正确的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

11．已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

12．集合，集合，则集合与集合的关系（    ）

A． B． C． D．且

二、填空题．

13．设集合，，则_________．

14．已知集合，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是_________．

15．设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有、，、（除数），则称是一个数域．例如有理数集是数域；数集也是数域．有下列命题：

①整数集是数域；

②若有理数集，则数集M必为数域；

③数域必为无限集；

④存在无穷多个数域．

其中正确的命题的序号是__________．（把你认为正确的命题的序号填填上）

一、选择题．

1．已知集合，，且，

，，记，则（    ）

A． B． C． D．

一、选择题．

1．设全集为R，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知集合，且，，则的元素个数为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

3．已知集合，则满足条件的集合的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是（    ）

A． B．

C． D．

5．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

6．已知集合，，若，则（    ）

A． B． C．0 D．1

7．设集合，，，，，中至少有两个元素，且，满足：

①对于任意，，若，都有，

②对于任意，若，则；

下列命题正确的是（    ）

A．若有4个元素，则有7个元素 B．若有4个元素，则有6个元素

C．若有3个元素，则有5个元素 D．若有3个元素，则有4个元素

一、选择题．

1．【答案】

【解析】根据题意，设，，

则集合中的元素可能为：、、、，

又由集合元素的互异性，则，其所有元素之和为，故选．

【点评】解题时，注意结合集合元素的互异性，对所得集合的元素的分析，对其进行取舍．

2．【答案】C

【解析】因为集合，所以，故选C．

【点评】本小题主要考查集合的运算（交集），属容易题，掌握一元二次不等式的解法与集合的基本运算是

解答好本类题目的关键．

3．【答案】B

【解析】，故，故选B．

【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题．

4．【答案】A

【解析】，

，，

当时，；当时，；当时，，

所以共有9个，故选A．

【点评】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别．

5．【答案】D

【解析】当时，，，都是取，，，中的一个，有种；

当时，，，都是取，，中的一个，有种；

当时，，，都是取，中的一个，有种；

当时，，，都取，有种，

所以．

当时，取，，，中的一个，有种；

当时，取，，中的一个，有种；

当时，取，中的一个，有种；

当时，取，有种，

所以、的取值有种，同理，、的取值也有种，

所以，

所以，故选D．

【点评】本题考查集合的描述法表示，以及分布计数原理的运用，难度中等．

6．【答案】C

【解析】因为，

故当时，；当时，；当时，，

所以，所以，故选C．

【点评】本题考察了列举法、描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．

7．【答案】B

【解析】因为集合，

，

所以，故选B．

【点评】此题考查了集合的运算，数量掌握交集的定义是解本题的关键．

8．【答案】B

【解析】，∴，

又，∴，故选B．

【点评】本题考点为集合的运算，需要注意集合所表示的意思．

9．【答案】D

【解析】由，得，所以，

，时，，

令，，

由勾形函数知在上递减，在上递增，

时，；时，；时，，

所以，

所以，即，，

所以，故选D．

【点评】本题考查集合的综合运算，解题关键是确定集合的元素，解题时需要根据集合中代表元素的属性进行求解．集合是求函数的定义域，集合求函数的值域，函数式化简后由单调性确定值域．

10．【答案】B

【解析】函数是分段函数，故一定成立，因此说法（3）正确；

对于（1）：当时，根据已知的规定，有，

显然，因此说法（1）不正确；

对于（4）：当时，显然满足成立，

根据已知的规定，有，

显然，因此说法（4）不正确；

对于（2）来说，当时，不一定成立，

故当时，显然一定成立，因此说法（2）正确，

所以只有（2）（3）说法正确，故选B．

【点评】本题以集合的形式考了分段函数问题题目相对简单，但需要清晰的理解题目意思．

11．【答案】A

【解析】，，

由，可得，．

因此，实数的取值范围是，故选A．

【点评】考查描述法、区间表示集合的方法，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域，以及交集、

子集的定义．

12．【答案】D

【解析】考查描述法、区间表示集合的方法，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域，以及交集子集的定义．

因为，所以且，故选D．

【点评】本题考查了两集合间的基本关系以及集合的表示方法，属于基础题目．

二、填空题．

13．【答案】

【解析】由题意可知曲线上的点构成集合，曲线上的点构成集合，

所以的元素是两个曲线的交点的坐标，

由，可得，

则，解得或，

所以或，

所以，故答案为．

【点评】本题考查了集合的定义及运算问题，属于基础题．

14．【答案】1或

【解析】，则只需考虑下列三种情况：

①当时，，，

又，，

，且，

可得，

，解得；

②当，即时，与①构造方程相同，即，不合题意，舍去；

③当，即时，可得，且，

，

综上所述：或．

【点评】本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的不同取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程；难点在于能够准确地对的范围进行分类，对于学生的分析和归纳能力有较高的要求，属于难题．

15．【答案】③④

【解析】要满足对四种运算的封闭，只有一个个来检验．

如①对除法如不满足，所以排除；

对②当有理数集Q中多一个元素i则会出现1+i∉该集合，所以它也不是一个数域，

③④成立，

故答案为③④．

【点评】本题考查学生对新定义题型的理解和把握能力，理解数域的定义是解决该题的关键，考查学生的构造性思维．

一、选择题．

1．【答案】D

【解析】由题意设，，，，，

则，

而，∴，故选D．

【点评】本题考了元素与集合的关系，关键是分析集合中元素所具有的特性．

一、选择题．

1．【答案】B

【解析】由题意可得，结合交集的定义可得，

本题选择B选项．

【点评】本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．

2．【答案】C

【解析】由题得，∴或，

，故选C．

【点评】本题重要考查学生交集的运算，关键在于要清楚两集合为点集，求交集即求圆与直线的交点组成的集合．

3．【答案】D

【解析】求解一元二次方程，得

，

易知．

因为，所以根据子集的定义，

集合必须含有元素1，2，且可能含有元素3，4，

原题即求集合的子集个数，即有个，故选D．

【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程．本题在求集合个数时，也可采用列举法．

列出集合的所有可能情况，再数个数即可．每年要注意集合的交集运算，考查频度极高．

4．【答案】B

【解析】由，得．

∵，∴，故选B．

【点评】本题主要考Venn图表达集合的关系及运算，属于基础题型．

5．【答案】B

【解析】故选．

【点评】本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，属于基础题型．

6．【答案】B

【解析】因为，所以，．

又或，且，得．

因为，所以，即，故选B．

【点评】本题考了集合的运算以及元素的互异性，属于基础题．

7．【答案】A

【解析】首先利用排除法：

若取，则，此时，包含4个元素，排除选项C；

若取，则，此时，包含5个元素，排除选项D；

若取，则，此时，

包含7个元素，排除选项B；

下面来说明选项A的正确性：

设集合，且，，

则，且，则，

同理，，，，．

若，则，则，故，即，

又，故，所以，

故，此时，，故，矛盾，舍去；

若，则，故，，即，

又，故，所以，

故，此时．

若，则，故，故，

即，故，

此时，即中有7个元素，故A正确，

故选A．

【点评】本题为集合的新定义题型，难度偏大，重点理解清问题的本质．