2020-2021学年广东省深圳市高二（上）期中考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年广东省深圳市高二（上）期中考试数学试卷人教A版，共12页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 数列1，23，35，47，59，⋯的一个通项公式an是( )
A.n2n+1B.n2n+3C.n2n−3D.n2n−1

2. l1的方向向量为v1→=1,2,3，l2的方向向量v2→=λ,4,6，若l1//l2，则λ等于（ ）
A.1B.2C.3D.4

3. 若抛物线y2=mx的焦点到顶点的距离为12，则m=( )
A.2B.4C.±2D.±4

4. 若双曲线x2a−y2=1(a>0)的实轴长为2，则其渐近线方程为（ ）
A.y=±2xB.y=±22xC.y=±12xD.y=±x

5. 已知A3,0,−1，B0,−2,−6，C2,4,−2，则△ABC是（ ）
A.等边三角形B.等腰三角形
C.直角三角形D.等腰直角三角形

6. 若动点P在曲线x2=4y+4上移动，定点Q坐标为0,1．则P，Q连线中点的轨迹方程是( )
A.x2=4yB.x2=2yC.x2=4y+2D.y2=4x

7. 已知等差数列an，an=m，am=n，则am+n=（ ）
A.mB.nC.0D.m+n

8. 已知A，B，C是双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F．若BF⊥AC且2|AF|=|CF|，则该双曲线的离心率是（ ）

A.53B.173C.172D.94
二、多选题

下列关于等差数列的命题中正确的有( )
A.若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列
B.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c可能成等差数列
C.若a，b，c成等差数列，则ka+2，kb+2，kc+2一定成等差数列
D.若a，b，c成等差数列，则1a，1b，1c可能成等差数列

已知曲线C的方程为x2k−2+y26−k=1k∈R，则下列结论正确的是( )
A.当k=4时，曲线C为圆
B.当k=0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y=±3x
C.“k>4”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分而不必要条件
D.存在实数k使得曲线C为等轴双曲线，其离心率为2

已知O为坐标原点，M1,2，P是抛物线C:y2=2px上的一点，F为其焦点．若F与双曲线x23−y2=1的右焦点重合，则下列说法正确的有( )
A.若|PF|=6，则点P的横坐标为4
B.该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为3
C.若△POF外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为9π
D.△PMF周长的最小值为3+5

在四面体P−ABC中，以上说法正确的有( )
A.若AD→=13AC→+23AB→，则可知BC→=3BD→
B.若Q为△ABC的重心，则PQ→=13PA→+13PB→+13PC→
C.若PA→⋅BC→=0，PC→⋅AB→=0，则PB→⋅AC→=0
D.若四面体P−ABC各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则|MN→|=1.
三、填空题

椭圆x2a2+y220=1的焦点在x轴上，焦距为8，则该椭圆的离心率为________．

在等差数列{an}中，已知a1=2，a2+a3+a4=24，则a4+a5+a6=________.

正方体ABCD−A1B1C1D1，E，F分别是棱AB，BC中点，异面直线B1E与DF所成角的余弦值为________.

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点为F1，F2，如果椭圆C上存在一点P，使得PF1→⋅PF2→=0，且△PF1F2的面积等于4，则实数b的值为________，实数a的取值范围为________.
四、解答题


(1)数列an满足a1=1，且an+1=an2an+1，求a5；

(2)在等差数列an中，若a2+a3+a4+a5=34，且a2⋅a5=52，求an.

求满足下列条件的曲线方程：
(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，点P3,0在该椭圆上，求椭圆的方程；

(2)已知双曲线的离心率为2，焦点是−4,0，4,0，求双曲线标准方程．

如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BB1的中点．
(1)求证： BC1//平面AD1E；

(2)求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值．

已知抛物线y2=2pxp>0上一点m,1到其焦点F的距离为1．
(1)求抛物线方程；

(2)过点B2,0，且斜率为k的直线l交抛物线交于M，N两点，求证：OM⊥ON.

已知如图一Rt△ABC，AC=BC=4，∠ACB=90∘，D，E分别为AC，AB的中点，F在BC上，且BF=3FC，G为DC中点，将△ADE沿DE折起， △BEF沿EF折起，使得A，B重合于一点P（如图二）．

(1)求证：EG⊥平面PDF；

(2)求二面角C−PF−E的大小．

如图，曲线C由上半椭圆C1:y2a2+x2b2=1a>b>0,y≥0和部分抛物线C2:y=−x2+1y≤0连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为32.

(1)求a，b的值；

(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），是否存在直线l，使得以PQ为直径的圆恰好过A点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广东省深圳市高二（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
数列的概念及简单表示法
【解析】
将原数列中的第一项写成分式的形式：11，再观察得出每一项的分子是正整数数列，分母是正奇数数列，从而得出数列1，23，35，47，59的一个通项公式an．
【解答】
解：将原数列写成：11，23，35，47，59．
每一项的分子是正整数数列，分母是正奇数数列，
∴ 数列1，23，35，47，59的一个通项公式an是n2n−1．
故选D.
2.
【答案】
B
【考点】
共线向量与共面向量
【解析】
无
【解答】
解：∵l1//l2，∴ v1→//v2→，则1λ=24，因此，λ=2．
故选B．
3.
【答案】
C
【考点】
抛物线的性质
【解析】
无
【解答】
解：由题意得m4=12，
解得m=±2．
故选C.
4.
【答案】
D
【考点】
双曲线的渐近线
双曲线的标准方程
【解析】
直接利用双曲线的标准方程求出实轴长，即可求出a，然后求解渐近线方程．
【解答】
解：双曲线x2a2−y2=1(a>0)的实轴长为2，
可得a=1，
所以双曲线为x2−y2=1(a>0)，
则其渐近线方程为：y=±x．
故选D.
5.
【答案】
C
【考点】
三角形的形状判断
向量的模
数量积的坐标表达式
【解析】
无
【解答】
解：∵ AB→=−3,−2,−5，AC→=−1,4,−1，BC→=2,6,4，
∴ AB→⋅AC→=3−8+5=0，|AB→|=38，|AC→|=32，|BC→|=214，
∴ AB⊥AC，|AB→|≠|AC→|≠|BC→|，因此，△ABC是直角三角形．
故选C．
6.
【答案】
B
【考点】
轨迹方程
【解析】
由相关点法求轨迹方程.
【解答】
解：设PQ的中点为Mx,y，Px0,y0,
则x=x02,y=y0+12,则x0=2x,y0=2y−1,
∵点P在曲线x2=4y+4上，
∴x02=4y0+4，
∴4x2=42y−1+4，
∴x2=2y.
故选B.
7.
【答案】
C
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意，am=a1+(m−1)d=n，an=a1+(n−1)d=m，
两式相减得d=−1，代入其中任一式得a1=m+n−1，
所以am+n=a1+(m+n−1)d=0．
故选C.
8.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设左焦点为F′，|AF|=m，连接AF′,CF′,BF′，如图，
则|FC|=2m，|AF′|=2a+m，|CF′|=2a+2m， |FF′|=2c.
因为BF⊥AC，且AB经过原点O，所以四边形FAF′B为矩形．
在Rt△AF′C中，|AF′|2+|AC|2=|F′C|2，
代入得2a+m2+3m2=2a+2m2，化简得m=2a3；
在Rt△AF′F中，|AF′|2+|AF|2=|F′F|2，
代入得2a+2a32+2a32=2c2，化简得c2a2=179，
即该双曲线的离心率e=ca=173．
故选B．
二、多选题
【答案】
B,C,D
【考点】
等差关系的确定
【解析】
利用等差数列的定义及其通项公式即可判断出结论．
【解答】
解：A，若a，b，c成等差数列，则2b=a+c，
2b2−(a2+c2)=2(a+c2)2−(a2+c2)=−(a+c)22，不一定为0，
因此a2，b2，c2不一定成等差数列，不正确；
B，若a，b，c成等差数列，则2b=a+c，
取a=b=c，则2a，2b，2c可成等差数列，正确；
C，若a，b，c成等差数列，则2b=a+c，
于是2(kb+2)−(ka+2+kc+2)=k(2b−a−c)=0，
因此ka+2，kb+2，kc+2一定成等差数列，正确；
D，若a，b，c成等差数列，则2b=a+c，
于是2×1b−1a−1c=4a+c−a+cac=−(a−c)2ac(a+c).
当a=c≠0时，2×1b=1a+1c，
因此1a，1b，1c可能成等差数列，正确．
故选BCD.
【答案】
A,B
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的渐近线
椭圆的标准方程
圆的标准方程
双曲线的离心率
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
对于形如x2m+y2n=1的方程，到底表示什么曲线，要对m、n的值进行判断.
【解答】
解：A，当k=4时，曲线C的方程为x2+y2=2，它表示一个圆，所以正确；
B，当k=0时，曲线C的方程为y26−x22=1，它的渐近线方程为y=±3x，所以正确；
C，当k>4时，取k=8，则曲线C的方程为x26−y22=1，它表示一条双曲线，所以不正确；
D，当曲线C的方程为x2k−2+y26−k=1表示双曲线，且离心率为2时，
此时双曲线的实半轴长等于虚半轴长，
此时|k−2|=|6−k|，解得k=4，此时方程表示圆，所以不正确．
故选AB．
【答案】
A,C,D
【考点】
抛物线的性质
抛物线的标准方程
抛物线的定义
双曲线的标准方程
【解析】
无
【解答】
解：由已知得x23−y2=1的右焦点为2,0，则p2=2，p=4.
设Px1，y1，则|PF|=x1+p2=x1+2=6，则x1=4，故A正确；
抛物线C的准线为x=−2，被双曲线截得的线段长为2b2a=23=233，故B错误；
因为△POF的外接圆与C的准线相切，所以圆心到准线的距离等于半径，
又圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=p2，所以p2+p4=3=r，
所以S圆=πr2=9π，故C正确；
过点M作准线的垂线，交抛物线C于点P，则△PMF的周长最小，
最小值为3+(1−2)2+(2−0)2=3+5，故D正确．
故选ACD.
【答案】
A,B,C
【考点】
平面向量数量积的运算
平面向量数量积的性质及其运算律
平面向量在三角函数中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：对于A，∵ AD→=13AC→+23AB→，∴ 3AD→=AC→+2AB→，
∴ 2AD→−2AB→=AC→−AD→，∴2BD→=DC→，∴ 3BD→=BD→+DC→，即3BD→=BC→，故A正确；
对于B，若Q为△ABC的重心，则QA→+QB→+QC→=0→，∴ 3PQ→+QA→+QB→+QC→=3PQ→，
∴ 3PQ→=PA→+PB→+PC→即PQ→=13PA→+13PB→+13PC→，故B正确；
对于C，若PA→⋅BC→=0，PC→⋅AB→=0，则PA→⋅BC→=PC→⋅AB→，
∴ PA→⋅BC→+PC→⋅AC→+CB→=0，∴ PA→⋅BC→+PC→⋅AC→+PC→⋅CB→=0，
∴ PA→⋅BC→+PC→⋅AC→−PC→⋅BC→=0，∴ PA→−PC→⋅BC→+PC→⋅AC→=0，
∴ CA→⋅BC→+PC→⋅AC→=0，∴ AC→⋅CB→+PC→⋅AC→=0，
∴ AC→⋅(CB→+PC→)=0 ，∴ AC→⋅PB→=0，
故C正确；
对于D，∵ MN→=PN→−PM→=12(PB→+PC→)−12PA→=12(PB→+PC→−PA→)，
∴|MN→|=12|PA→−PB→−PC→|，
∵ |PA→−PB→−PC→|
=PA→2+PB→2+PC→2−2PA→⋅PB→−2PA→⋅PC→+2PB→⋅PC→
=22+22+22−2×2×2×12−2×2×2×12+2×2×2×12
=22，
∴|MN→|=2，
故D错误．
故选ABC.
三、填空题
【答案】
23
【考点】
椭圆的离心率
椭圆的标准方程
【解析】
由条件分别求出a，c的值即可．
【解答】
解：由题得2c=8，所以c=4，所以a2=20+16=36，则a=6，
所以离心率e=ca=46=23.
故答案为：23.
【答案】
42
【考点】
等差数列的性质
【解析】
先根据a1＝2，a2+a3＝13求得d和a5，进而根据等差中项的性质知a4+a5+a6＝3a5求得答案．
【解答】
解：在等差数列{an}中，已知a1=2，a2+a3+a4=24，
即a1+d+a1+2d+a1+3d=24，
得d=3，a5=a1+4d=14，
∴ a4+a5+a6=3a5=42．
故答案为：42.
【答案】
25
【考点】
异面直线及其所成的角
余弦定理
【解析】
取CD的中点为M，取CF的中点为N，连接C1M，MN，C1N，∠C1MN(或其补角)为异面直线B1E与DF所成角.利用余弦定理求解即可.
【解答】
解：取CD的中点为M，取CF的中点为N，
连接C1M，MN，C1N，
则C1M//B1E，NM//DF，
∴ ∠C1MN(或其补角)为异面直线B1E与DF所成角.
设正方体的棱长为4，
则C1M=42+22=25，NM=22+12=5，
C1N=42+12=17.
在△C1MN中，
cs∠C1MN=C1M2+MN2−C1N22C1M⋅MN
=20+5−172×25×5=25，
∴ 异面直线B1E与DF所成角的余弦值为25.
故答案为：25.
【答案】
2,[22,+∞)
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
根据椭圆的定义及题意列方程，转化求解b，根据三个条件列三个方程，解方程组，根据x2=a2c2(c2−b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2+c2≥2b2＝8，然后求解a的范围．
【解答】
解：由椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|=2a，PF1→⋅PF2→=0，△PF1F2的面积等于4，
则12|PF1|⋅|PF2|=4，(|PF1|+|PF2|)2=4a2，|PF1|2+|PF2|2=4c2，可得4c2−4a2=−16，
所以b=2．
设P(x,y)，则x2a2+y24=1，①
∵PF1→⋅PF2→=0，∴ yx+c⋅yx−c=−1，
可得x2−c2+y2=0，②
由①②可得x2−c2+4−4x2a2=0，
∴ a2−4a2x2=c2−4，∴a2−4a2x2=(a2−4)−4，
又∵ x2=a2(a2−8)a2−4∈[0,a2]且a>2，∴ a2≥8，
故a≥22，
a的取值范围为[22, +∞)．
故答案为：2；[22,+∞).
四、解答题
【答案】
解：(1)∵ a1=1，
∴a2=a12a1+1=13，
a3=a22a2+1=15，
a4=a32a3+1=17，
a5=a42a4+1=19.
(2)∵ 数列{an}是等差数列，a2+a3+a4+a5=2(a2+a5)=34，
a2+a5=17，
∴ a2+a5=17,a2⋅a5=52,
解得a2=4,a5=13或a2=13,a5=4,
设数列{an}公差为d，则d=3或−3，
可得an=3n−2或an=−3n+19.
【考点】
数列递推式
等差数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ a1=1，
∴a2=a12a1+1=13，
a3=a22a2+1=15，
a4=a32a3+1=17，
a5=a42a4+1=19.
(2)∵ 数列{an}是等差数列，a2+a3+a4+a5=2(a2+a5)=34，
a2+a5=17，
∴ a2+a5=17,a2⋅a5=52,
解得a2=4,a5=13或a2=13,a5=4,
设数列{an}公差为d，则d=3或−3，
可得an=3n−2或an=−3n+19.
【答案】
解：(1)①当椭圆的焦点在x轴上时，
设椭圆方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，
由题可知a=3.
又因为长轴长是短轴长的3倍，则b=1，
则椭圆方程为： x29+y2=1；
②当椭圆的焦点在y轴上时，
设椭圆的方程为y2a2+x2b2=1a>b>0，
由题可知b=3.
又因为长轴长是短轴长的3倍，则a=9，
则椭圆方程为y281+x29=1.
综上所述，椭圆方程为x29+y2=1或y281+x29=1．
(2)由题可知，双曲线是等轴双曲线，且焦点在x轴上，
故可设双曲线方程为x2−y2=λλ>0.
又因为焦点是−4,0，4,0，
故可得2λ=16，解得λ=8，
故双曲线方程为x28−y28=1．
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的定义和性质
双曲线的标准方程
双曲线的离心率
【解析】


【解答】
解：(1)①当椭圆的焦点在x轴上时，
设椭圆方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，
由题可知a=3.
又因为长轴长是短轴长的3倍，则b=1，
则椭圆方程为： x29+y2=1；
②当椭圆的焦点在y轴上时，
设椭圆的方程为y2a2+x2b2=1a>b>0，
由题可知b=3.
又因为长轴长是短轴长的3倍，则a=9，
则椭圆方程为y281+x29=1.
综上所述，椭圆方程为x29+y2=1或y281+x29=1．
(2)由题可知，双曲线是等轴双曲线，且焦点在x轴上，
故可设双曲线方程为x2−y2=λλ>0.
又因为焦点是−4,0，4,0，
故可得2λ=16，解得λ=8，
故双曲线方程为x28−y28=1．
【答案】
(1)证明：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，
AB//D1C1且AB=D1C1，
∴ 四边形ABC1D1为平行四边形，
∴ BC1//AD1，
又BC1⊄平面AD1E，
AD1⊂平面AD1E，
∴ BC1//平面AD1E.
(2)解：由题以AD为x轴，以AB为y轴，以AA1为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系：
设正方体的棱长为2，
则A0,0,0，A10,0,2，D1 2,0,2，
∵ E为BB1的中点，
∴ E0,2,1，
∴ AA1→=0,0,2，AD1→=2,0,2，AE→=0,2,1，
设平面AD1E的法向量为n→=x,y,z，
则n→⋅AD1→=0，n→⋅AE→=0，
∴ 2x+2z=0，2y+z=0，
令x=1，则可得z=−1，y=12，
∴ n→=(1,12,−1），
设直线AA1与平面AD1E所成角为α，
∴ sinα= |cs|=|AA1→⋅n→||AA1→|⋅|n→|
= 22×1+14+1=23，
则直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值为23.
【考点】
用空间向量求直线与平面的夹角
直线与平面平行的判定
【解析】
(1)根据正方体的性质可证得BC1//AD1，再利用线面平行的判定定理即可得证；
(2)以A为原点，AD，AB， AA1分别为x，y和z轴建立空间直角坐标系，设直线AA1与平面AD1E所成角为α，先求出平面AD1E的法向量n→，再利用sinα=|cs|=|n→⋅AA1→|n→|⋅|AA1→||以及空间向量数量积的坐标运算即可得解.
【解答】
(1)证明：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，
AB//D1C1且AB=D1C1，
∴ 四边形ABC1D1为平行四边形，
∴ BC1//AD1，
又BC1⊄平面AD1E，
AD1⊂平面AD1E，
∴ BC1//平面AD1E.
(2)解：由题以AD为x轴，以AB为y轴，以AA1为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系：
设正方体的棱长为2，
则A0,0,0，A10,0,2，D1 2,0,2，
∵ E为BB1的中点，
∴ E0,2,1，
∴ AA1→=0,0,2，AD1→=2,0,2，AE→=0,2,1，
设平面AD1E的法向量为n→=x,y,z，
则n→⋅AD1→=0，n→⋅AE→=0，
∴ 2x+2z=0，2y+z=0，
令x=1，则可得z=−1，y=12，
∴ n→=(1,12,−1），
设直线AA1与平面AD1E所成角为α，
∴ sinα= |cs|=|AA1→⋅n→||AA1→|⋅|n→|
= 22×1+14+1=23，
则直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值为23.
【答案】
(1)解：由题意F(p2,0)，
∵点(m,1)到焦点F的距离为1，
∴ m=p2，将点(p2,1)代入y2=2px得
p2=1，∴p=1，
∴y2=2x.
(2)证明：直线l过点B2,0且斜率为k，故直线l的方程为y=kx−2 k≠0①，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
由①及y2=2x消去y代入可得k2x2−22k2+1x+4k2=0，
得： x1x2=4k2k2=4．
又由y12=2x1，y22=2x2得到(y1y2)2=4x1x2=4×4=16，
又注意到y1y2