2020-2021学年安徽省蚌埠市高二（上）期末数学试卷（文科）人教A版

这是一份2020-2021学年安徽省蚌埠市高二（上）期末数学试卷（文科）人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列命题正确的是（ ）
A.棱柱的每个面都是平行四边形B.一个棱柱至少有五个面
C.棱柱有且只有两个面互相平行D.棱柱的侧面都是矩形

2. 空间直角坐标系中，点(1, 2, −3)关于z轴的对称点坐标为（ ）
A.(−1, −2, −3)B.(1, 2, 3)C.(1, −2, −3)D.(−1, −2, 3)

3. 已知函数f(x)＝x3−2x，则f(x)在点（1, f(1)）处的切线的倾斜角为（ ）
A.B.C.D.

4. 如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是（ ）

A.B.C.D.

5. 直线x−y+1＝0绕它与x轴的交点逆时针旋转15∘得到的直线方程为（ ）
A.B.C.D.

6. 阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家．他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球（如图所示），该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为36π，则圆柱的体积为（ ）

A.36πB.45πC.54πD.63π

7. “m＝2”是“直线2x+my+1＝0与直线mx+2y−1＝0平行”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件D.充要条件

8. 已知空间中l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A.若m // α，n // α，则m // nB.若m⊥α，m⊥β，则α // β
C.若m // α，m // β，则α // βD.若l⊥m，l⊥n，则m // n

9. 人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，从点F出发的光线第一象限内抛物线上一点P反射后的光线所在直线方程为y＝2，若入射光线FP的斜率为，则抛物线方程为（ ）
A.y2＝8xB.y2＝6xC.y2＝4xD.y2＝2x

10. 一个圆锥中挖去了一个正方体，其直观图如图1，正方体的下底面在圆锥底面内，正方体上底面的四个顶点在圆锥侧面内．该几何体的俯视图如图2，则其主视图可能为（ ）

A.B.C.D.

11. 已知点F是椭圆的一个焦点，点P是椭圆C上的任意一点且点P不在x轴上，点M是线段PF的中点，点O为坐标原点．连接OM并延长交圆x2+y2＝a2于点N，则△PFN的形状是（ ）
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.由点P位置决定

12. 关于x的不等式ex−ax2<0有且只有一个正整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.

已知命题p:∃x∈(1, +∞)，x2>4，则命题￢p为________．

双曲线y24−x2=1的渐近线方程为________．

已知f(x)＝f′（）⋅sinx+csx，则＝________．

三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝BC＝2，∠BAC＝30∘，则三棱锥P−ABC的外接球表面积为________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

点A(−1, 0)和点B(3, 0)都在圆C上，圆C的圆心在直线y＝2x上，求圆C的标准方程．

已知命题p：直线x+y+1＝0与圆(x−m)2+(y−2)2＝2相交；命题q：关于x，y的方程表示双曲线．
（1）若命题p是真命题，求实数m的取值范围；

（2）若命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，求实数m的取值范围．

已知椭圆的离心率为，点A，B是椭圆C上的两个点，点P(2, 1)是线段AB的中点．
（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求|AB|．

如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝45∘，PD⊥平面ABCD，PA⊥BD，BD＝PD，AB＝4．

（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；

（2）若点M，N分别是PA，PC的中点，求三棱锥P−MBN的体积．

已知函数．
（1）当a＝−2时，求函数f(x)的极值；

（2）若f(x)>x−x2在(1, +∞)上恒成立，求实数a的取值范围．
温馨提示：本大题为选做试题，其中省示范高中、北师大附中、北大培文一律选做B，其余学校的考生自主选择，请先在答题卷相应位置按要求作标注再答题.

已知抛物线C的方程为x2＝4y，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B．
（1）若点P坐标为(0, −1)，求切线PA，PB的方程；

（2）若点P是抛物线C的准线上的任意一点，求证：切线PA和PB互相垂直．

已知抛物线C的方程为x2＝4y，点P是抛物线C的准线上的任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，点M是AB的中点．
（1）求证：切线PA和PB互相垂直；

（2）求证：直线PM与y轴平行；

（3）求△PAB面积的最小值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年安徽省蚌埠市高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】
B
【考点】
棱柱的结构特征
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
A
【考点】
空间中的点的坐标
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
C
【考点】
平面图形的直观图
【解析】
由斜二测画法的规则可知：平行与x′轴的线在原图中平行于x轴，且长度不变即可选出答案．
【解答】
解：设直观图中与x′轴和y′轴的交点分别为A′和B′，
根据斜二测画法的规则在直角坐标系中先做出对应的A和B点，
再由平行与x′轴的线在原图中平行于x轴，且长度不变，
作出原图可知选C
故选C
5.
【答案】
A
【考点】
两直线的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
C
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
D
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
B
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
由线面平行的定义和线线的位置关系可判断A；由线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理可判断B；由线面平行的性质和面面的位置关系可判断C；由线线的位置关系可判断D．
【解答】
若m // α，n // α、n平行，故A错误；
若m⊥α，m⊥β，故B正确；
若m // α，m // β、β平行或相交；
若l⊥m，l⊥n，n平行，故D错误．
9.
【答案】
D
【考点】
抛物线的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
【考点】
简单空间图形的三视图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
11.
【答案】
B
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
12.
【答案】
A
【考点】
函数的零点与方程根的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.
【答案】
∀x∈(1, +∞)，x2≤4
【考点】
命题的否定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
y＝±2x
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
直接根据双曲线的方程，令方程的右边等于0求出渐近线的方程．
【解答】
已知双曲线y24−x2＝1
令：y24−x2＝0
即得到渐近线方程为：y＝±2x
【答案】
−1
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
20π
【考点】
球的表面积和体积
球内接多面体
棱锥的结构特征
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【答案】
由题意，圆心在线段AB的垂直平分线上，
联立方程，
解得圆心坐标为(2, 2)，
所以半径，
圆C的标准方程为(x−1)2+(y−6)2＝8．
【考点】
圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
由条件，圆心(m，
依题意，，
解得−8所以实数m的取值范围是(−5, −7)．
若命题q为真命题，则(m+3)(m−2)<2，
命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，
若p真q假，则，解得−5若p假q真，则，解得−1≤m<6，
综上可知，实数m的取值范围是(−5, 2)．
【考点】
复合命题及其真假判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
由条件知，，所以，
解得，所以椭圆的标准方程为；
解法一：
当直线AB斜率不存在时，线段AB的中点在x轴上，
故可设直线AB的方程为y＝k(x−2)+7，并设A(x1, y1)，B(x8, y2)，
联立方程消去y2+6)x2+4k(8−2k)x+2(6k2−4k−2)＝0，，
由点P(2, 5)是线段AB的中点知，，
所以，解得k＝−5，
代入得，．
解法二：
当直线AB斜率不存在时，线段AB的中点在x轴上，
设A(x3, y1)，B(x2, y5)，其中x1≠x2，代入椭圆方程，，两式相减得，，
由点P(2, 1)是线段AB的中点知，，
直线AB斜率为，
直线AB方程为y＝−x+3，
联立方程，消去y2−12x+10＝0，
所以，．
【考点】
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
证明：因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD．
又PA⊥BD，PA∩PD＝P，PA⊂平面PAD，
所以BD⊥平面PAD，
而AD⊂平面PAD，所以BD⊥AD．
在平行四边形ABCD中，AD // BC．
由PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
而BD∩PD＝D，PD⊂平面PBD，
所以BC⊥平面PBD．
又BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PBD．
由（1）可知，BD⊥AD，
则△ADB为等腰直角三角形，
又AB＝4，所以，
连接AC，由点M，PC的中点，
所以△PMN∼△PAC，且，
所以，则，
在平行四边形ABCD中，，
PD为三棱锥P−ABC的高，
所以，
所以三棱锥P−MBN的体积为．
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的体积
平面与平面垂直
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
f(x)的极小值为7−ln2
a∈(−∞, 8]
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
温馨提示：本大题为选做试题，其中省示范高中、北师大附中、北大培文一律选做B，其余学校的考生自主选择，请先在答题卷相应位置按要求作标注再答题.
【答案】
由题意，开口向上的抛物线的切线斜率存在，
点P坐标为(0, −1)，
联立，消去y2−4kx+4＝7，
由△＝16k2−16＝0，解得k＝±5，
所以切线PA，PB的方程分别为y＝x−1和y＝−x−1，
即切线方程分别为x−y−7＝0和x+y+1＝2；
证明：设点P坐标为(t, −1)，过点P的切线方程为y＝k(x−t)−1，
联立，消去y6−4kx+4(kt+4)＝0，
由△＝16k2−16(kt+6)＝0，得k2−tk−4＝0，
记关于k的一元二次方程k2−tk−4＝0的两根为k1，k4，
则k1，k2分别为切线PA，PB的斜率​2k2＝−1，
所以切线PA和PB互相垂直．
【考点】
抛物线的性质
直线与抛物线的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
证明：由题意，开口向上的抛物线的切线斜率存在．
设点P坐标为(t, −1)，过点P的切线方程为y＝k(x−t)−1，
联立方程，，
消去y，得x3−4kx+4(kt+3)＝0，
由△＝16k2−16(kt+4)＝0，得k2−tk−2＝0，
记关于k的一元二次方程k2−tk−7＝0的两根为k1，k7，
则k1，k2分别为切线PA，PB的斜率​2k2＝−1，
所以切线PA和PB互相垂直．
证明：设点，由x2＝6y，知，则，
所以过点A的切线方程为，
将点(t, −2)代入，
同理可得，
所以x1，x2是关于x的方程x3−2tx−4＝7的两个根，
由根与系数的关系知x1+x2＝6t，
所以，即AB中点M的横坐标为t，
而点P的横坐标也为t，所以直线PM与y轴平行．
点，则，
则，
由（2）知，x1+x6＝2t，x1x6＝−4，
则，，，
当t＝0时，△PAB面积的最小值为4．
【考点】
抛物线的性质
直线与抛物线的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答