2020-2021学年河北省保定市高二（上）期中考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河北省保定市高二（上）期中考试数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 命题p：∃x0∈R,x02−x0+1≤0的否定是( )
A.∃x0∈R,x02−x0+1>0B.∀x∈R,x2−x+1≤0
C.∀x∈R,x2−x+1>0D.∃x0∈R,x02−x0+1b成立的充分而不必要的条件是（ ）
A.a>b+1B.a>b−1C.a2>b2D.a3>b3

3. 从5名医生（3男2女）中随机等可能地选派两名医生，则恰选得1名男医生和1名女医生的概率为（ ）
A.110B.25C.12D.35

4. 某汽车的使用年数x与所支出的维修总费用y的统计数据如表：
根据上表可得y关于x的线性回归方程y=bx−0.69，若该汽车维修总费用超过10万元就不再维修，直接报废，据此模型预测该汽车最多可使用（不足1年按1年计算）（ ）
A.8年B.9年C.10年D.11年

5. 函数y=f(x)的图象在点P（5, f(5)）处的切线方程是y=−x+8，则f(5)+f′(5)=( )
A.1B.2C.3D.4

6. 若点P是曲线y=x2−lnx上任意一点，则点P到直线y=x−2的最小距离为( )
A.1B.2C.22D.3

7. 在正三棱柱ABC−A1B1C1中，若AB=2BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为( )
A.60∘B.75∘C.90∘D.105∘

8. 已知椭圆mx2+3y2−6m=0的一个焦点的坐标为(0, 2)，则m的值为( )
A.1B.3C.5D.8

9. F1，F2是椭圆x29+y27=1的左、右焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2=45∘，则△AF1F2的面积为（ ）
A.7B.74C.72D.752

10. 双曲线C:x29−y216=λλ≠0，当λ变化时，以下说法错误的是( )
A.焦点坐标变化B.顶点坐标变化C.渐近线不变D.离心率不变

11. 过点P(4,2)作一直线AB与双曲线C:x22−y2=1相交于A，B两点，若P为AB的中点，则|AB|=( )
A.22B.23C.33D.43

12. 过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F作斜率为k的直线，与抛物线相交于A、B两点，设直线OA、OB（O为坐标系原点）的斜率分别为k1、k2，则下列等式正确的是( )
A.k1+k2=kB. 1k=k1+k2 C. 1k=1k1+1k2 D.k2=k1⋅k2
二、填空题

已知p:x≥k，q：(x+1)(2−x)0, b>0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则C的实轴长等于________．

在抛物线y2=6x上找一点M，使|MA|+|MF|最小，其中A3,2．则点M的坐标为________，此时的最小值为________.

如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=AC=CD=1，∠ACD=90∘，把△ADC沿对角线AC折起，使AB和CD成60∘角，则BD的长为________．

三、解答题

已知函数fx=2x−12+5x．
(1)求f′(x)；

(2)求曲线y=fx在点2,19处的切线方程．

某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．
(1)这5人中男生、女生各多少名？

(2)从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．

已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m．
(1)当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围．

(2)求被椭圆截得的最长弦所在直线方程．

已知抛物线C:y2=3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|+|BF|=4，求直线l的方程；

(2)若AP→=3PB→，求|AB|.

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=22AD，设E，F分别为PC，BD的中点．求证：

(1)EF // 平面PAD；

(2)平面PAB⊥平面PDC.

2020年初，新型冠状病毒肺炎COVID−19在我国爆发，某研究小组为了研究某城市肺炎感染人数的增长情况，在官方网站上搜集了7组数据，并依据数据制成如下散点图：
图中x表示日期代号（例如2月1日记为“1”，2月2日记为“2”，以此类推）．通过对散点图的分析，结合病毒传播的相关知识，该研究小组决定用指数型函数模型y=ebx+a来拟合，为求出y关于x的回归方程，可令ω=lny，则ω与x线性相关．初步整理后，得到如下数据：
ω¯≈3.5 ，i=17xi−x¯ωi−ω¯≈15.4.
(1)根据所给数据，求出ω关于x的线性回归方程；

(2)求y关于x的回归方程；若防控不当，请问x为何值时，累计确诊人数的预报值将超过1000人？（参考数据：ln1000≈6.9，结果保留整数）
附：对于一组数据ui,vii=1,2,3,⋯,n，其线性回归方程v=bu+a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 b=i=1nui−u¯vi−v¯i=1nui−u¯2 ，a=v¯−bu¯.
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省保定市高二（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
命题的否定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：命题“∃x0∈R,x02−x0+1≤0”的否定是：
∀x∈R,x2−x+1>0.
故选C.
2.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
本题考查充要条件的判定及其应用、不等式的性质．
【解答】
解：根据题目条件，由选项中的结论可以推出a>b成立，反之不成立，
则只有选项A中的条件满足，
B为a>b的必要不充分条件，
C为a>b的既不充分又不必要条件，
D为a>b的充要条件．
故选A．
3.
【答案】
D
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
分别求出从5名医生（3男2女）中随机等可能地选派两名医生、选得一名男医生和一名女医生的所有情况，即可求出概率．
【解答】
解：设3名男医生为A1，A2，A3，2名女医生为B1，B2，
从5名医生（3男2女）中随机等可能地选派两名医生，共有
(A1,A2)，(A1,A3)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,A3)，
(A2,B1)，(A2,B2)，(A3,B1)，(A3,B2)，(B1,B2)10种情况；
选得一名男医生和一名女医生，共有6种可能，
∴ 恰选得一名男医生和一名女医生的概率为610=35．
故选D.
4.
【答案】
D
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
计算x¯、y¯，求出回归系数，写出回归方程，据此模型预测该汽车最多可使用年限．
【解答】
解：计算x¯=15×(1+2+3+4+5)=3，
y¯=15×(0.5+1.2+2.2+3.3+4.5)=2.34.
代入回归方程y=bx−0.69得，
2.34=b×3−0.69，
解得b=1.01；
∴ 回归方程为y=1.01x−0.69，
令y=1.01x−0.69≥10，
解得x≥10.6≈11，
据此模型预测该汽车最多可使用11年．
故选D.
5.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
利用切线方程，计算f(5)、f′(5)的值，即可求得结论．
【解答】
解：将x=5代入切线方程y=−x+8，可得y=3，即f(5)=3，
∵ f′(5)=−1，
∴ f(5)+f′(5)=3−1=2.
故选B．
6.
【答案】
B
【考点】
导数的几何意义
点到直线的距离公式
【解析】
由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x−2平行时，点P到直线y=x−2的距离最小．
求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得且点的坐标，此切点到直线y=x−2的距离即为所求．
【解答】
解：点P是曲线y=x2−lnx上任意一点，
当过点P的切线和直线y=x−2平行时，
点P到直线y=x−2的距离最小．
直线y=x−2的斜率等于1，
令y=x2−lnx的导数 y′=2x−1x=1，x=1，或 x=−12（舍去），
故曲线y=x2−lnx上和直线y=x−2平行的切线经过的切点坐标为(1, 1)，
点(1, 1)到直线y=x−2的距离等于2，
故点P到直线y=x−2的最小距离为2.
故选B.
7.
【答案】
C
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
把问题转化为向量的夹角，由数量积为0可得结论．
【解答】
解：如图，
不妨设BB1=1，则AB=2，
AB1→⋅C1B→=(AB→+BB1→)⋅(C1C→+CB→)
=AB→⋅C1C→+AB→⋅CB→+BB1→⋅C1C→+BB1→⋅CB→
=0+2⋅2⋅cs60∘−12+0=0，
∴ AB1与C1B所成角为90∘.
故选C.
8.
【答案】
C
【考点】
椭圆的定义
【解析】
依题意，将椭圆的方程标准化，利用其焦点在y轴上，利用椭圆的性质即可求得m的值．
【解答】
解：方程变形为x26+y22m=1，
∵ 椭圆的焦点在y轴上，
∴ a2=2m，b2=6，又c=2且a2−b2=c2，
∴ 2m−6=22，
∴ m=5．
故选C.
9.
【答案】
C
【考点】
余弦定理
正弦定理
椭圆的标准方程
【解析】
求出F1F2的 长度，由椭圆的定义可得AF2＝6−AF1，由余弦定理求得AF1=72，从而求得三角形AF1F2的面积．
【解答】
解：由题意可得a=3，b=7，c=2，
故F1F2=22，AF1+AF2=6，AF2=6−AF1.
∵ AF22=AF12+F1F22−2AF1⋅F1F2cs45∘=AF12−4AF1+8，
∴ (6−AF1)2=AF12−4AF1+8，AF1=72，
故三角形AF1F2的面积S=12×72×22×22=72．
故选C.
10.
【答案】
D
【考点】
双曲线的特性
【解析】
判断双曲线的焦点坐标，顶点坐标以及离心率，再求解渐近线方程，即可得到结果．
【解答】
解：∵ 当λ>0时，双曲线的焦点坐标以及顶点坐标在x轴上，渐近线方程为：y=±43x，离心率为e=53；
当λ0, b>0)的焦距为10，可得c=5，
焦点到渐近线的距离为3，
可得bca2+b2=3，
即b=3，
它的实轴长：2a=2c2−b2=8．
故答案为：8．
【答案】
23,2,92
【考点】
抛物线的定义
【解析】
根据抛物线方程及A点坐标可以推知A点在抛物线内，把抛物线上的点到焦点的距离转化为到抛物线的准线的距离，结合图象，易得过点A且与准线垂直的直线与抛物线的交点即为所求．
【解答】
解：如图所示，MH⊥BH于H，直线BH为抛物线的准线，
点A在抛物线y2=6x的内部，
由抛物线的定义可知，|MA|+|MF|=|MA|+|MH|，
过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M1，垂足为B，
则|MA|+|MF|=|MA|+|MH|≥|AB|=3+32=92，
当且仅当点M在M1的位置时等号成立，
令y=2，可得x=23，
∴ 此时M点的坐标为23,2.
故答案为：23,2；92.
【答案】
2或2
【考点】
异面直线及其所成的角
相等向量与相反向量
数量积表示两个向量的夹角
向量在几何中的应用
【解析】
先利用向量的加法将向量BD→转化成BD→=BA→+AC→+CD→，等式两边进行平方，求出向量BD→的模即可．
【解答】
解：∵ ∠ACD=90∘，∴ AC→⋅CD→=0．
同理BA→⋅AC→=0．
∵ AB和CD成60∘角，
∴ =60∘或120∘．
∵ BD→=BA→+AC→+CD→，
∴ BD2→=BA2→+AC2→+CD2→+2AB→⋅CD→
=3+2×1×1×cs
=4(⟨BA→,CD→⟩=60∘)2(⟨BA→,CD→⟩=120∘).
∴ |BD→|=2或2.
故答案为：2或2.
三、解答题
【答案】
解：(1) f′x=42x−1+5=8x+1.
(2) f′(2)=17 ，
故切线方程是： y−19=17x−2，
即 17x−y−15=0．
【考点】
简单复合函数的导数
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】


【解答】
解：(1) f′x=42x−1+5=8x+1.
(2) f′(2)=17 ，
故切线方程是： y−19=17x−2，
即 17x−y−15=0．
【答案】
解：(1)这5人中男生人数为192320×5=3，女生人数为128320×5=2．
(2)记这5人中的3名男生为B1，B2，B3，2名女生为G1，G2，
则样本空间为：
Ω={(B1, B2), (B1, B3), (B1, G1),
(B1, G2), (B2, B3), (B2, G1), (B2, G2),
(B3, G1), (B3, G2), (G1, G2)}，
样本空间中，共包含10个样本点．
设事件A为“抽取的2人中恰有1名女生”，
则A={(B1, G1), (B1, G2), (B2, G1), (B2, G2), (B3, G1), (B3, G2)}，
事件A共包含6个样本点． 从而P(A)=610=35．
所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为35．
【考点】
分层抽样方法
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
(Ⅰ)利用分层抽样能求出这5人中男生人数和女生人数．
(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B1，B2，B3，2名女生为G1，G2，利用列举法能求出抽取的2人中恰有1名女生的概率．
【解答】
解：(1)这5人中男生人数为192320×5=3，女生人数为128320×5=2．
(2)记这5人中的3名男生为B1，B2，B3，2名女生为G1，G2，
则样本空间为：
Ω={(B1, B2), (B1, B3), (B1, G1),
(B1, G2), (B2, B3), (B2, G1), (B2, G2),
(B3, G1), (B3, G2), (G1, G2)}，
样本空间中，共包含10个样本点．
设事件A为“抽取的2人中恰有1名女生”，
则A={(B1, G1), (B1, G2), (B2, G1), (B2, G2), (B3, G1), (B3, G2)}，
事件A共包含6个样本点． 从而P(A)=610=35．
所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为35．
【答案】
解：(1)由4x2+y2=1y=x+m得5x2+2mx+m2−1=0，
当直线与椭圆有公共点时，Δ=4m2−4×5(m2−1)≥0，
即−4m2+5≥0，
解得−52≤m≤52，
所以实数m的取值范围是−52≤m≤52；
(2)设所截弦的两端点为A(x1, y1)，B(x2, y2)，
由(1)知，x1+x2=−2m5，x1x2=m2−15，
所以弦长|AB|=2|x1−x2|=2⋅(x1+x2)2−4x1x2
=2⋅(−2m5)2−4(m2−1)5
=−12m2+2025，
当m=0时，|AB|最大，此时所求直线方程为y=x．
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
（1）当直线与椭圆有公共点时，直线方程与椭圆方程构成的方程组有解，等价于消掉y后得到x的二次方程有解，故△≥0，解出即可；
（2）设所截弦的两端点为A(x1, y1)，B(x2, y2)，由（1）及韦达定理可把弦长|AB|表示为关于m的函数，根据函数表达式易求弦长最大时m的值；
【解答】
解：(1)由4x2+y2=1y=x+m得5x2+2mx+m2−1=0，
当直线与椭圆有公共点时，Δ=4m2−4×5(m2−1)≥0，
即−4m2+5≥0，
解得−52≤m≤52，
所以实数m的取值范围是−52≤m≤52；
(2)设所截弦的两端点为A(x1, y1)，B(x2, y2)，
由(1)知，x1+x2=−2m5，x1x2=m2−15，
所以弦长|AB|=2|x1−x2|=2⋅(x1+x2)2−4x1x2
=2⋅(−2m5)2−4(m2−1)5
=−12m2+2025，
当m=0时，|AB|最大，此时所求直线方程为y=x．
【答案】
解：(1)设直线l的方程：y=32x+n,Ax1,y1,Bx2,y2
联立方程组y=32x+ny2=3x，
整理化简得9x2+(12n−12)x+4n2=0，
由题意，
Δ=(12n−12)2−4×9×4n2=−288n+144>0，
则n0.
故直线l的方程：y=32x−78.
(2)设P(m,0)，
则AP→=m−x1,−y1，PB→=x2−m,y2，
由于AP→=3PB→，
易知y1=−3y2.
由题意可设直线AB：x=23y+m.
联立方程组x=23y+my2=3x
整理化简得：
y2−2y−3m=0.
有韦达定理可得：
y1+y2=2，y1y2=−3m.
∵y1=−3y2，
∴y1=3,y2=−1，
∴y1y2=−3m=−3，
∴m=1.
计算可得：A(3,3), B13,−1，
故|AB|=3−132+(3+1)2=4133.
【考点】
直线的一般式方程
圆锥曲线的综合问题
两点间的距离公式
向量数乘的运算及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设直线l的方程：y=32x+n,Ax1,y1,Bx2,y2
联立方程组y=32x+ny2=3x，
整理化简得9x2+(12n−12)x+4n2=0，
由题意，
Δ=(12n−12)2−4×9×4n2=−288n+144>0，
则n0.
故直线l的方程：y=32x−78.
(2)设P(m,0)，
则AP→=m−x1,−y1，PB→=x2−m,y2，
由于AP→=3PB→，
易知y1=−3y2.
由题意可设直线AB：x=23y+m.
联立方程组x=23y+my2=3x
整理化简得：
y2−2y−3m=0.
有韦达定理可得：
y1+y2=2，y1y2=−3m.
∵y1=−3y2，
∴y1=3,y2=−1，
∴y1y2=−3m=−3，
∴m=1.
计算可得：A(3,3), B13,−1，
故|AB|=3−132+(3+1)2=4133.
【答案】
证明：(1)连接AC，如图，
F为AC中点，E为PC中点，
∴ 在△CPA中EF // PA，且PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，
∴ EF // 平面PAD.
(2)∵ 面PAD⊥面ABCD，平面PAD∩面ABCD=AD，ABCD为正方形，
∴ CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，
∴ CD⊥平面PAD，∴ CD⊥PA.
又PA=PD=22AD，
∴ △PAD是等腰直角三角形，且∠APD=π2，即PA⊥PD，
CD∩PD=D，且CD，PD⊂面PDC，PA⊥面PDC.
又PA⊂面PAB，
∴ 平面PAB⊥平面PDC.
【考点】
直线与平面平行的判定
平面与平面垂直的判定
【解析】
（1）利用线面平行的判定定理：连接AC，只需证明EF // PA，利用中位线定理即可得证；
（2）利用面面垂直的判定定理：只需证明PA⊥面PDC，进而转化为证明PA⊥PD，PA⊥DC，易证三角形PAD为等腰直角三角形，可得PA⊥PD；由面PAD⊥面ABCD的性质及正方形ABCD的性质可证CD⊥面PAD，得CD⊥PA；
【解答】
证明：(1)连接AC，如图，
F为AC中点，E为PC中点，
∴ 在△CPA中EF // PA，且PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，
∴ EF // 平面PAD.
(2)∵ 面PAD⊥面ABCD，平面PAD∩面ABCD=AD，ABCD为正方形，
∴ CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，
∴ CD⊥平面PAD，∴ CD⊥PA.
又PA=PD=22AD，
∴ △PAD是等腰直角三角形，且∠APD=π2，即PA⊥PD，
CD∩PD=D，且CD，PD⊂面PDC，PA⊥面PDC.
又PA⊂面PAB，
∴ 平面PAB⊥平面PDC.
【答案】
解：(1)x¯=17×1+2+3+4+5+6+7=4，
i=1nxi−x¯2=28，
b=i=1nxi−x¯ωi−ω¯i=1nxi−x¯2=15.428=0.55，
a=ω¯−bx¯=1.3，
故ω关于x的线性回归方程为ω=0.55x+1.3．
(2)把ω=ln y代入ω=0.55x+1.3，
可得y关于x的回归方程为y=e0.55x+1.3．
由e0.55x+1.3>1000，得0.55x+1.3>ln1000≈6.9，
解得x>10.2，即当x=11时，累计确诊人数将超过1000人．
【考点】
可线性化的回归分析
【解析】
无

【解答】
解：(1)x¯=17×1+2+3+4+5+6+7=4，
i=1nxi−x¯2=28，
b=i=1nxi−x¯ωi−ω¯i=1nxi−x¯2=15.428=0.55，
a=ω¯−bx¯=1.3，
故ω关于x的线性回归方程为ω=0.55x+1.3．
(2)把ω=ln y代入ω=0.55x+1.3，
可得y关于x的回归方程为y=e0.55x+1.3．
由e0.55x+1.3>1000，得0.55x+1.3>ln1000≈6.9，
解得x>10.2，即当x=11时，累计确诊人数将超过1000人．使用年数x/年
1
2
3
4
5
维修总费用y/万元
0.5
1.2
2.2
3.3
4.5