2020-2021学年河南省高二（上）期末数学试卷（理科）人教A版

这是一份2020-2021学年河南省高二（上）期末数学试卷（理科）人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题共70分等内容，欢迎下载使用。


1. 命题“∀x∈R，sinx>0”的否定是（ ）
A.∃x∈R，sinx≤0B.∀x∈R，sinx≤0
C.∃x∈R，sinx<0D.∀x∈R，sinx<0

2. 双曲线的实轴长为（ ）
A.1B.2C.D.

3. 设f(x)＝xcsx，则f′（）＝（ ）
A.B.-C.1D.−1

4. 在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝3，则a3＝（ ）
A.B.C.D.3

5. “a＝1”是“直线ax+y−1＝0与直线x+ay+a＝0互相平行”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6. 在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=2:3:4，则最大角的余弦值是( )
A.13B.−13C.14D.−14

7. 函数f(x)=ax3+bx在x=1a处有极值，则ab的值为（ ）
A.2B.−2C.3D.−3

8. 已知抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1, y1)，P2(x2, y2)，P3(x3, y3)是拋物线C上三个不同的点，若2|FP2|＝|FP1|+|FP3|，则有（ ）
A.2x2>x1+x3B.2x2
9. 已知F1、F2为双曲线C：x2−y2=1的左、右焦点，点P在双曲线C上，∠F1PF2=60∘，则|PF1|⋅|PF2|=（ ）
A.2B.4C.6D.8

10. 已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若△PF1F2为直角三角形，则点P到x轴的距离为（ ）
A.或B.3C.D.

11. 已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn为数列{an}的前n项和，则2Sn+16an+3的最小值为（ ）
A.4B.3C.23−2D.2

12. f(x)是定义在(0, +∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)+f(x)≤0，对任意正数a、b，若aA.af(b)≤bf(a)B.bf(a)≤af(b)C.af(a)≤f(b)D.bf(b)≤f(a)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

函数f(x)＝x3−x+5的图象在点P（1, f(1)）处的切线方程是________．

设实数x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+3y的取值范围为________．

已知在△ABC中，角，b＝2，a＝x，若存在惟一的这样的△ABC，则x的取值范围为________．

设双曲线C：的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线与C交于M，N两点，若△MF1F2是以MF1为底边的等腰三角形，且，则双曲线C的离心率是________．
三、解答题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcsC+ccsB2=33acsB．
(1)求角B；

(2)若b=7，c=23，a>b，求△ABC的面积．

在递增的等差数列{an}中，a6＝11，a5是a2和a14的等比中项．
（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若，求数列{bn}的前n项和Sn．

如图抛物线顶点在原点，圆(x−2)2+y2＝22的圆心恰是抛物线的焦点，
(Ⅰ)求抛物线的方程；
(Ⅱ)一直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A、B、C、D四点，求|AB|+|CD|的值．


如图，在四棱锥E−ABCD中，底面为等腰梯形，且底面与侧面ABE垂直，AB // CD，F，G，M分别为线段BE，BC，AD的中点，AE=CD=1，AD=2，AB=3，且AE⊥AB．
(1)证明：MF // 平面CDE；

(2)求EG与平面CDE所成角的正弦值．

如图，椭圆W:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的焦距与椭圆Ω:x24+y2=1的短轴长相等，且W与Ω的长轴长相等，这两个椭圆的在第一象限的交点为A，直线l经过Ω在y轴正半轴上的顶点B且与直线OA（O为坐标原点）垂直，l与Ω的另一个交点为C，l与W交于M，N两点．（1）求W的标准方程：
求|BC||MN|．

已知函数f(x)＝
（1）证明：g(x)＝xf(x)在(1, +∞)上单调递增；

（2）若f(x)>对x∈(1, +∞)恒成立，求a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
【答案】
A
【考点】
命题的否定
【解析】
将全称量词改写为存在量词，再将命题否定，从而得到答案．
【解答】
解：命题“∀x∈R，sinx>0”的否定是：∃x∈R，sinx≤0，
故选：A．
2.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
直接利用双曲线方程求解即可．
【解答】
双曲线，
∵ a2＝1，∴ 2a＝2．
3.
【答案】
B
【考点】
导数的运算
【解析】
对f(x)求导得，f′(x)＝csx−xsinx，然后计算f′（）即可．
【解答】
因为f(x)＝xcsx，
所以f′(x)＝csx−xsinx，
所以．
4.
【答案】
B
【考点】
等比数列的通项公式
【解析】
设{an}的公比为q，则a5＝a1q4＝q4＝3，求出q2，由此能求出a3．
【解答】
设{an}的公比为q，则a5＝a1q8＝q4＝3，
所以q8＝，所以a3＝a5q2＝．
5.
【答案】
A
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
先利用两条直线平行的充要条件求出a的值，再利用充分条件与必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
由直线ax+y−1＝0与直线x+ay+a＝4互相平行，
有，解得a＝±1，
所以“a＝2”是“直线ax+y−1＝0与直线x+ay+a＝7互相平行”的充分不必要条件．
6.
【答案】
D
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
已知等式利用正弦定理化简，得到三边之比，利用余弦定理表示出csB，将三边长代入求出csC的值即可．
【解答】
解：∵ sinA:sinB:sinC=2:3:4，
∴ 由正弦定理，得a:b:c=2:3:4，
设a=2k，b=3k，c=4k，
则最大角为C，
∴ csC=a2+b2−c22ab=4k2+9k2−16k22×2k×3k=−14．
故选D．
7.
【答案】
D
【考点】
函数在某点取得极值的条件
【解析】
先对函数进行求导，然后根据f′(1a)=0，可求出ab的值．
【解答】
解：∵ f(x)=ax3+bx，
∴ f′(x)=3ax2+b．
由函数f(x)=ax3+bx在x=1a处有极值，
则f′(1a)=3a(1a)2+b=0，⇒ab=−3．
故选D．
8.
【答案】
C
【考点】
抛物线的性质
【解析】
利用抛物线的定义建立等式关系即可求解．
【解答】
∵ 2|FP2|＝|FP1|+|FP3|，
所以由抛物线的定义可得：，∴ 2x2＝x1+x3，
9.
【答案】
B
【考点】
双曲线的定义
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：不妨设点P在双曲线的右支上，
所以|PF1|－|PF2|=2a=2，|F1F2|=2c=22．
又∠F1PF2=60∘，所以在△F1PF2中利用余弦定理，
可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2−2|PF1|⋅|PF2|cs60∘，解得|PF1|⋅|PF2|=4．
故选B．
10.
【答案】
D
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
先根据a，b，c的值分析出顶点F1或F2为直角顶点，然后得出点P的横坐标，代入椭圆方程即可求解．
【解答】
设椭圆短轴上一个端点为M，
由于a＝4，b＝3，∴ ，∴ ∠F1MF2<90∘，
∴ 只能∠PF1F2＝90∘或∠PF2F1＝90∘，
令得：，∴ ，
即点P到x轴的距离为，
11.
【答案】
A
【考点】
等比中项
等差数列的前n项和
【解析】
a1，a3，a13成等比数列，a1=1，可得：a32=a1a13，即(1+2d)2=1+12d，d≠0，解得d．可得an，Sn．代入2Sn+16an+3利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．
【解答】
解：∵ a1，a3，a13成等比数列，a1=1，
∴ a32=a1a13，
∴ (1+2d)2=1+12d，d≠0，
解得d=2，
∴ an=1+2(n−1)=2n−1，
Sn=n+n(n−1)2×2=n2，
∴ 2Sn+16an+3=2n2+162n+2
=(n+1)2−2(n+1)+9n+1
=n+1+9n+1−2
≥2(n+1)×9n+1−2=4，
当且仅当n+1=9n+1时取等号，此时n=2，且2Sn+16an+3取到最小值4.
故选A．
12.
【答案】
A
【考点】
导数的运算
利用导数研究函数的单调性
【解析】
先构造函数，再由导数与原函数的单调性的关系解决．
【解答】
解：xf′(x)+f(x)≤0⇒[xf(x)]′≤0⇒函数F(x)=xf(x)在(0, +∞)上为常函数或递减，
又01b2>0②
①②两式相乘得：f(a)a≥f(b)b≥0⇒af(b)≤bf(a)，故选A．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【答案】
2x−y+3＝0
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
求得函数f(x)的导数，可得切线的斜率，以及切点，由点斜式方程可得切线方程．
【解答】
函数f(x)＝x3−x+5的导数为f′(x)＝3x2−1，
可得在点P（1, f(1)）处的切线斜率为k＝3−1＝2，
又f(1)＝13−1+5＝5，
切点为(1, 5)，则切线方程为y−5＝2(x−1)，
即为2x−y+3＝0．
故答案为：2x−y+3＝0．
【答案】
[6, 10]
【考点】
简单线性规划
【解析】
作出不等式组对应的平面区域，目标函数z＝x+3y，利用数形结合即可的得到结论．
【解答】
实数x，y满足约束条件，画出可行域，
由图可知，当直线x+3y−z＝0过点A(3, 1)时，z取最小值，则z的最小值为6；
当直线x+3y−z＝0过点B(4, 2)时，z取最大值为：10，
故目标函数的取值范围是[6, 10]．
【答案】
【考点】
解三角形
【解析】
画出图形，分析B的范围，然后求解x的范围即可．
【解答】
由题意在△ABC中，角，b＝2，a＝x，
若存在惟一的这样的△ABC，三角形为直角三角形，
此时或B≤60∘，
此时x＝或x≥2．
【答案】
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
点M在以F2为圆心，|F1F2|为半径的圆上，再分①直线交C于左支两点和②直线交C于左、右两支各一个点，两种情况进行讨论；解题中需要用到双曲线的定义，以及借助中间量，通过勾股定理，建立关于e的方程．
【解答】
由题意知，点M在以F2为圆心，|F1F2|为半径的圆上，
①当点M在左支，点N也在左支，即直线交C于左支两点时，取F1M的中点P，连接PF2，
由题可知，|MF2|＝|F1F2|＝2c，且3|MF1|＝2|NF1|，
由双曲线的定义知，|MF2|−|MF1|＝2a，|NF2|−|NF1|＝2a，
∴ |MF1|＝2(c−a)，|MP|＝|F1P|＝c−a，
又3|MF1|＝2|NF1|，
∴ |NF1|＝3(c−a)，|NF2|＝3c−a，|NP|＝|NF1|+|F1P|＝4(c−a)，
由勾股定理知，＝−|NP|2＝−|MP|2，
∴ (3c−a)2−[4(c−a)]2＝(2c)2−(c−a)2，整理得5c2−12ac+7a2＝0，
∵ e＝>1，∴ 5e2−12e+7e2＝0，解得e＝或1（舍）；
②当点M在右支，点N在左支，即直线交C于左、右两支各一个点时，
>，与矛盾，不符合题意．
综上，离心率．
三、解答题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
【答案】
解：(1)由余弦定理可得,
bcsC+ccsB
=b⋅a2+b2−c22ab+c⋅a2+c2−b22ac
=a，
因为bcsC+ccsB2=33acsB,
所以a=233acsB，即csB=32，
因为B∈(0, π)，
所以B=π6．
(2)由b2=a2+c2−2accsB，
得7=12+a2−2×23a×32，
化简得a2−6a+5=0，
解得a1=5，a2=1，
因为a>b，b=7，
所以a=5，
所以S△ABC=12acsinB=532．
【考点】
三角形的面积公式
解三角形
余弦定理
三角函数值的符号
【解析】
（1）由余弦定理可得bcsC+ccsB＝b⋅a2+b2−c22ab+c⋅a2+c2−b22ac=a，即csB=32，即可得B．
（2）由b2＝a2+c2−2accsB，得a，利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积．
【解答】
解：(1)由余弦定理可得,
bcsC+ccsB
=b⋅a2+b2−c22ab+c⋅a2+c2−b22ac
=a，
因为bcsC+ccsB2=33acsB,
所以a=233acsB，即csB=32，
因为B∈(0, π)，
所以B=π6．
(2)由b2=a2+c2−2accsB，
得7=12+a2−2×23a×32，
化简得a2−6a+5=0，
解得a1=5，a2=1，
因为a>b，b=7，
所以a=5，
所以S△ABC=12acsinB=532．
【答案】
设公差为d(d>0)，
由题意得，
解得，
所以an＝a1+(n−1)d＝2n−1．
所以数列{an}的通项公式为．
由（1）知，
所以，
所以
＝
＝．
【考点】
数列的求和
等差数列与等比数列的综合
【解析】
（1）设公差为d(d>0)，利用已知条件求解思想与公差，然后求解通项公式．
（2）推出，利用裂项消项法求解数列的和即可．
【解答】
设公差为d(d>0)，
由题意得，
解得，
所以an＝a1+(n−1)d＝2n−1．
所以数列{an}的通项公式为．
由（1）知，
所以，
所以
＝
＝．
【答案】
（1）设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
∵ 圆(x−2)2+y2＝22的圆心恰是抛物线的焦点，∴ p＝4．
∴ 抛物线的方程为：y2＝8x；
（2）依题意直线AB的方程为y＝2x−4
设A(x1, y1)，D(x2, y2)，则，得x2−6x+4＝0，
∴ x1+x2＝6，|AD|＝x1+x2+p＝6+4＝10．
|AB|+|CD|＝|AD|−|CB|＝10−4＝6．
【考点】
抛物线的性质
【解析】
(Ⅰ)设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，由已知得p＝4．即可得抛物线的方程．
(Ⅱ)依题意直线AB的方程为y＝2x−4
设A(x1, y1)，D(x2, y2)，则，得x2−6x+4＝0，
|AD|＝x1+x2+p＝6+4＝10．可得|AB|+|CD|＝|AD|−|CB|＝10−4＝6．
【解答】
（1）设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
∵ 圆(x−2)2+y2＝22的圆心恰是抛物线的焦点，∴ p＝4．
∴ 抛物线的方程为：y2＝8x；
（2）依题意直线AB的方程为y＝2x−4
设A(x1, y1)，D(x2, y2)，则，得x2−6x+4＝0，
∴ x1+x2＝6，|AD|＝x1+x2+p＝6+4＝10．
|AB|+|CD|＝|AD|−|CB|＝10−4＝6．
【答案】
(1)证明：∵ F，G，M分别为线段BE，BC，AD的中点，
∴ MG // CD，FG // CE.
又MG∩FG=G，MG⊂平面MFG，FG⊂平面MFG，
CD∩CE=C，CD⊂平面CDE，CE⊂平面CDE，
∴ 平面MFG // 平面CDE.
又MF⊂平面MFG，
∴ MF // 平面CDE．
(2)解：∵ 底面ABCD⊥侧面ABE，AE⊥AB，平面ABCD∩ABE=AB，
∴ AE⊥平面ABCD，
以A为原点，建立如图所示的空间坐标系A−xyz，
则E1,0,0，C0,2,3，D0,1,3，G0,52,32，
所以DC→=0,1,0 ，ED→=−1,1,3， EG→=−1,52,32，
设n→=(x,y,z)是平面CDE的法向量，
则n→⋅DC→=0,n→⋅ED→=0, 即y=0,−x+y+3z=0,
故可取n→=(3,0,1)，
设EG与平面CDE所成角为θ，
则 sinθ=|n→⋅EG→||n→||EG→|=3228=616，
故EG与平面CDE所成角的正弦值为616.
【考点】
直线与平面平行的判定
用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】
（1）利用中位线定理证明平面MFG // 平面CDE，从而得出MF // 平面CDE；
（2）建立空间坐标系，求出平面CDE的法向量和EG→的坐标，从而得出线面角的正弦值．
【解答】
(1)证明：∵ F，G，M分别为线段BE，BC，AD的中点，
∴ MG // CD，FG // CE.
又MG∩FG=G，MG⊂平面MFG，FG⊂平面MFG，
CD∩CE=C，CD⊂平面CDE，CE⊂平面CDE，
∴ 平面MFG // 平面CDE.
又MF⊂平面MFG，
∴ MF // 平面CDE．
(2)解：∵ 底面ABCD⊥侧面ABE，AE⊥AB，平面ABCD∩ABE=AB，
∴ AE⊥平面ABCD，
以A为原点，建立如图所示的空间坐标系A−xyz，
则E1,0,0，C0,2,3，D0,1,3，G0,52,32，
所以DC→=0,1,0 ，ED→=−1,1,3， EG→=−1,52,32，
设n→=(x,y,z)是平面CDE的法向量，
则n→⋅DC→=0,n→⋅ED→=0, 即y=0,−x+y+3z=0,
故可取n→=(3,0,1)，
设EG与平面CDE所成角为θ，
则 sinθ=|n→⋅EG→||n→||EG→|=3228=616，
故EG与平面CDE所成角的正弦值为616.
【答案】
（1）由题意可得a2=4a2−b2=1 ，
∴ a2=4b2=3
故W的标准方程为y24+x23=1．
（2）联立y24+x23=1x24+y2=1 得x2=3613y2=413
∴ y2x2=19，
∴ kOA=13，
易知B(0, 1)，
∴ l的方程为y=−3x+1．
联立y=−3x+1x24+y2=1 ，得37x2−24x=0，
∴ x=0或2437，
∴ |BC|=1+(−3)2×|2437−0|=241037，
联立y=−3x+1y24+x23=1 ，得31x2−18x−9=0，
设M(x1, y1)，N(x2, y2)，
则x1+x2=1831，x1x2=−931，
∴ |MN|=1+(−3)2×(x1+x2)2−4x1x2=12031，
故|BC||MN|=3110185．
【考点】
椭圆的定义
【解析】
（1）由题意可得a2=4a2−b2=1 ，求出a2，b2，即可得到W的标准方程，
（2）先求出直线l的方程为y=−3x+1，分别与椭圆W和椭圆Ω，联立方程组，求出BC和MN，比较即可
【解答】
（1）由题意可得a2=4a2−b2=1 ，
∴ a2=4b2=3
故W的标准方程为y24+x23=1．
（2）联立y24+x23=1x24+y2=1 得x2=3613y2=413
∴ y2x2=19，
∴ kOA=13，
易知B(0, 1)，
∴ l的方程为y=−3x+1．
联立y=−3x+1x24+y2=1 ，得37x2−24x=0，
∴ x=0或2437，
∴ |BC|=1+(−3)2×|2437−0|=241037，
联立y=−3x+1y24+x23=1 ，得31x2−18x−9=0，
设M(x1, y1)，N(x2, y2)，
则x1+x2=1831，x1x2=−931，
∴ |MN|=1+(−3)2×(x1+x2)2−4x1x2=12031，
故|BC||MN|=3110185．
【答案】
证：由题意g(x)＝，
g′(x)＝，(x>1)，
令ℎ(x)＝2xlnx−x+，(x>1)，
则ℎ′(x)＝2lnx+1−，
由ℎ′(x)在(1, +∞)递增，
而ℎ′(1)＝0，
故ℎ(x)在(1, +∞)递增，
由ℎ(1)＝0，故g′(x)>0，
g(x)在(1, +∞)递增；
若f(x)>对x∈(1, +∞)恒成立，
则a<在(1, +∞)恒成立，
由（1）g(x)在(1, +∞)递增，
而＝＝2，
故g(x)>2，
故a≤2．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
【解析】
（1）求出函数的导数，根据函数的单调性证明函数的单调性即可；
（2）问题转化为a<在(1, +∞)恒成立，由（1）g(x)在(1, +∞)递增，根据函数的单调性求出a的范围即可．
【解答】
证：由题意g(x)＝，
g′(x)＝，(x>1)，
令ℎ(x)＝2xlnx−x+，(x>1)，
则ℎ′(x)＝2lnx+1−，
由ℎ′(x)在(1, +∞)递增，
而ℎ′(1)＝0，
故ℎ(x)在(1, +∞)递增，
由ℎ(1)＝0，故g′(x)>0，
g(x)在(1, +∞)递增；
若f(x)>对x∈(1, +∞)恒成立，
则a<在(1, +∞)恒成立，
由（1）g(x)在(1, +∞)递增，
而＝＝2，
故g(x)>2，
故a≤2．