2020-2021学年河南省郑州高二（上）期中数学试卷（文科）人教A版

这是一份2020-2021学年河南省郑州高二（上）期中数学试卷（文科）人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 在△ABC中，csB＝−17，A＝π3，BC=7，则AC=( )
A.9B.83C.82D.8

2. 下列函数中，最小值为2的是（ ）
A.y＝x2+6+1x2+6B.y＝lgx+1lgx(1Tn恒成立，则m能取到的最小整数为（ ）
A.−1B.0C.1D.2

12. 设点P为椭圆C：x225+y216＝1上一点，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，如果|PF1|:|PF2|=2:3，那么△GPF1的面积为（ ）
A.423B.22C.823D.32
二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分，把答案写在答题卷上）

等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=−12，若S6S3=78，则a2⋅a4=________．

若关于x的不等式ax2+bx+c0的解集是________．

已知椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)，过点(4, 0)的直线交椭圆E于A，B两点．若AB中点坐标为(2, −1)，则椭圆E的离心率为________．

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3bcsC+3ccsB=5asinA，且A为锐角，则当a2bc取得最小值时，ab+c的值为________．
三、解答题（本大题共有6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

已知a∈R，命题p：“∀x∈[0, 2]，2x−4x+a≤0均成立”，命题q：“函数f(x)＝ln(x2+ax+2)定义域为R”．
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；

（2）若命题“p∨q“为真命题，命题“p∧q“为假命题，求实数a的取值范围．

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足3(bcsC−a)=csinB，b=23．
（1）求B；

（2）若a+c=4，求△ABC的面积．

已知函数f(x)＝x2−2x+ax．
（1）当a=4时，求函数f(x)在x∈(0, +∞)上的最小值；

（2）若对任意的x∈(0, +∞)，f(x)>0恒成立．试求实数a的取值范围；

（3）若a>0时，求函数f(x)在[2, +∞)上的最小值．

已知数列{an}满足a1=1，nan+1−(n+1)an=n(n+1)，设bn=ann．
(1)求证数列{bn}为等差数列，并求{bn}的通项公式；

(2)若cn=n⋅2bn，求数列{cn}的前n项和．

佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器．生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产x台，另需投入成本p(x)（万元），当月产量不足70台时，p(x)=12x2+40x（万元）；当月产量不小于70台时，p(x)=101x+6400x−2060（万元）．若每台机器售价100万元，且该机器能全部卖完．
(1)求月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式；

(2)月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润．

设O为坐标原点，椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为45，离心率为255，直线l:y=kx+m(m>0)与C交于A，B两点．
(1)求椭圆C的方程；

(2)设点P(0, 1)，PA→⋅PB→=−4，求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省郑州某校高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
【解析】
由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，进而根据正弦定理即可求解AC的值．
【解答】
因为csB＝−17，
故sinB＝437，
由正弦定理ACsinB＝BCsinA⇒AC＝BCsinBsinA＝8．
2.
【答案】
C
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
直接利用函数的导数求出函数的单调性，进一步利用单调性求出函数的最小值，从而判定选项A的结论．再利用均值不等式的应用判定BCD的结论，主要利用等号成立的充要条件判定B、C、D正误．
【解答】
对于选项B：由于10, b>0)的右焦点为F，点A为双曲线C左支上一点，AF与y轴交于点M，且满足|OA|=|OF|=3|OM¯|（其中O为坐标原点），左焦点F′，
可得M(0, 13c)，tan∠MFO=13，所以tan∠AOF′=2×131−19=34，
所以A(−45c, 35c)，代入双曲线方程可得：16c225a2−9c225b2＝1，
可得16e2−9e2e2−1＝25，e>1，解得e2=52，
所以e=102．
11.
【答案】
B
【考点】
数列的求和
【解析】
首先求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和，再利用恒成立问题的应用求出m的最小值．
【解答】
数列{an}为等差数列，Sn是其前n项和，a2=5，S5=35．
设首项为a1，公差为d，
所以a1+d＝55a1+5×42d＝35，解得a1＝3d＝2，故an=3+2(n−1)=2n+1，
所以1an⋅an+1＝1(2n+1)(2n+3)＝12(12n+1−12n+3)，
所以Tn＝12(13−15+15−17+…+12n+1−12n+3)=12(13−12n+3)Tn恒成立，
只需满足2m+1≥16即可，
故m的最小整数为0．
12.
【答案】
C
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
由|PF1|:|PF2|=2:3，由椭圆的定义可得：|PF1|+|PF2|=2a=10，求|PF1|，|PF2|的值，再由椭圆的第二定义可得P的坐标，可得直线PF1的方程，进而求出△PF1F2的重心G的坐标，可得G到直线PF1的距离d，代入三角形的面积公式求出△GPF1的面积．
【解答】
因为|PF1|:|PF2|=2:3，由椭圆的定义可得：|PF1|+|PF2|=2a=10，
所以|PF1|=4，|PF2|=6，设P(x, y)，设y>0，因为a=5，b=4，所以c=a2−b2=3，离心率e=ca=35，左焦点F(−3, 0)，
由题意可得椭圆的左准线x=−a2c=−253，所以|PF1|x+a2c=e，即4x+253=35，解得x=−53，代入椭圆中可得y=823，
所以P(−53, 823)，直线PF1的方程为：y=823−53+3(x+3)，即22x−y+62=0，
所以△PF1F2的重心G(−59, 829)，
所以G到直线PF1的距离d=|−1029−829+62|3=423，
所以S△PGF1=12×|PF1|×d=12×4×423=823，
二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分，把答案写在答题卷上）
【答案】
164
【考点】
等比数列的性质
【解析】
先求出公比，再根据通项公式即可求出
【解答】
等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=−12，S6S3=78，
∴ S6S3=a1(1−q6)1−qa1(1−q3)1−q=78，
即1+q3=78，
解得q=−12，
∴ a2⋅a4=(a1q)⋅(a1q3)=(−12×12)×(−12×18)=164，
【答案】
(−∞, −13)∪(1, +∞)
【考点】
一元二次不等式的应用
【解析】
由不等式ax2+bx+c0，可得sinA=35.
因为A是锐角，所以csA=45，
则a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2−85bc，
则a2bc=b2+c2−85bcbc=b2+c2bc−85≥2bcbc−85=25，
当且仅当b=c时，a2bc取得最小值25，
故a2=25b2，故a=105b，
所以ab+c=1010．
故答案为：1010.
三、解答题（本大题共有6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
【答案】
若设t＝2x，可得t∈[1, 4]，得a≤t2−t在t∈[1, 4]上恒成立．若设y＝t2−t，其中t∈[1, 4]，从而可得a≤ymin，即a≤(t2−t)min＝0；
若命题“p∨q“为真，命题“p∧q“为假，则p，q必然一真一假．当q为真命题时，即x2+ax+2>0在R上恒成立时，则△＝a2−8