2020-2021学年湖南省郴州市高二(上)10月月考数学试卷人教A版
展开1. 设等比数列an的公比q=3,前n项和为Sn,则 S4a3=( )
A.3B.9C.40 D. 409
2. 已知集合A=x|x2−9≤0,B=x|x<1,则A∩B=( )
A.−3,1B.[−3,1)C.[−3,+∞)D.(1,3]
3. 已知正项等比数列an的前n项和为Sn,且S6−2S3=2,则a7+a8+a9的最小值为( )
A.9B.8C.6D.4
4. 在等差数列{an}中,a1+3a3+a15=10,则a5的值为( )
A.2B.3C.4D.5
5. 若不等式x2−px+q<0(其中p>0,q>0)的解集为(a, b),且a,b,−2这三个数可适当排序后构成等差数列,也可适当排序后构成等比数列,则p+q的值等于( )
A.7B.8C.9D.10
6. 实数m,n满足m>n>0,则( )
A.−1m<−1nB.m−n
7. 如图是谢宾斯基三角形,在所给的四个三角形图案中,黑色的小三角形个数构成数列{an}的前4项,则{an}的通项公式可以是( )
A.an=3n−1B.an=2n−1C.an=3nD.an=2n−1
8. 设变量x,y满足约束条件 x−2≤0,x−2y≤0,x+2y−8≤0,则目标函数z=3x+y的最大值为( )
A.7B.8C.9D.14
9. 在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=45,则S9=( )
A.45B.162C.1352D.81
10. 若x,y满足y−1≥0,2x−y−1≥0,x+y≤m,若目标函数z=x−y的最小值为−2,则实数m的值为( )
A.0B.−4C.4D.8
二、填空题
13+1与13−1的等比中项是________.
已知等差数列an中, a2=−6,a8=6,Sn是数列an的前n项和,当Sn取得最小值时, n=________.
设x,y满足约束条件 y≤x+1,y≥2x−1,x≥0,y≥0, 则目标函数z=y+1x+1的最大值为________.
已知等差数列an的前n项和为Sn,且a2=4,S5=30,则数列1Sn的前n项和为________.
三、解答题
在等差数列an中,若a2+a3+a4+a5=34,且a2⋅a5=52.求数列an的通项公式an.
解关于x的不等式: x2+a−1x−a>0a∈R.
动物园需要用篱笆围成两个面积均为50m2的长方形熊猫居室,如图所示,以墙为一边(墙不需要篱笆),并共用垂直于墙的一条边,为了保证活动空间,垂直于墙的边长不小于2m,每个长方形平行于墙的边长也不小于2m.
(1)设所用篱笆的总长度为l,垂直于墙的边长为x.试用解析式将l表示成x的函数,并确定这个函数的定义域;
(2)怎样围才能使得所用篱笆的总长度最小?篱笆的总长度最小是多少?
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖南省郴州市高二(上)10月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
等比数列的通项公式
【解析】
本题考查等比数列通项公式的应用,属于基础题.
【解答】
解:在等比数列中,q=3,
则S4a3=a1+a2+a3+a4a3
=a1+a1q+a1q2+a1q3a1q2
=1+q+q2+q3q2
=1+3+9+279
=409.
故选D.
2.
【答案】
B
【考点】
一元二次不等式的解法
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:因为A={x|−3≤x≤3},
所以A∩B={x|−3≤x<1}.
故选B.
3.
【答案】
B
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
等比数列的前n项和
等比数列的性质
【解析】
由题意可得:S6−2S3=2,可得:S6−S3=S3+2,由等比数列的性质可得:S3,S6−S3,S9−S6成等比数列,可得:a7+a8+a9=S9−S6=S3+22S3,展开利用基本不等式的性质即可得出.
【解答】
解:由题意可得:S6−2S3=2,可得:S6−S3=S3+2,
由等比数列的性质可得:S3,S6−S3,S9−S6成等比数列,
则S3S9−S6=S6−S32 .
因为a7+a8+a9=S9−S6
=S6−S32S3=S3+4S3+4≥8,
当且仅当S3=4S3时等号成立,即S3=2,
综上可得,则a7+a8+a9的最小值为8.
故选B.
4.
【答案】
A
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
把条件化为5(a1+4d)=5a5=10,从而求得a5的值.
【解答】
解:在等差数列{an}中,
∵ a1+3a3+a15=5a1+20d
=5(a1+4d)=5a5=10,
∴ a5=2.
故选A.
5.
【答案】
C
【考点】
等差数列与等比数列的综合
一元二次不等式的解法
【解析】
由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p,ab=q,再由a,b,−2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列列关于a,b的方程组,求得a,b后得答案.
【解答】
解:不等式x2−px+q<0(其中p>0,q>0)的解集为(a, b),
可得a,b为方程x2−px+q=0的两根,
则a+b=p,ab=q.
∵ p>0,q>0,
可得a>0,b>0.
又a,b,−2这三个数可适当排序后构成等差数列,也可适当排序后构成等比数列,
可得2b=a−2,ab=4 ①或2a=b−2,ab=4 ②.
解①得a=4,b=1;解②得a=1,b=4,
∴ p=a+b=5,q=1×4=4,
则p+q=9.
故选C.
6.
【答案】
B
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
根据不等式的性质分别判断即可.
【解答】
解:对于A,−1m>−1n,故A错误;
对于B,两边平方得:m+n−2mn
所以(12)m<(12)n,故C错误,
对于D,m2−mn=m(m−n)>0,故m2>mn,故D错误.
故选B.
7.
【答案】
A
【考点】
数列的应用
数列递推式
【解析】
根据图形的特点,每增加一个三角形应在原来的基础上再增加3倍个三角形,三角形的个数为:1,3,3×3,3×9…,归纳出第n图形中三角形的个数.
【解答】
解:由图形得:
第2个图形中有3个三角形,
第3个图形中有3×3个三角形,
第4个图形中有3×9个三角形,
以此类推:第n个图形中有3n−1个三角形.
故选A.
8.
【答案】
C
【考点】
求线性目标函数的最值
简单线性规划
【解析】
作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求最大值.
【解答】
解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分),
由z=3x+y得y=−3x+z,
平移直线y=−3x+z,
由图象可知当直线y=−3x+z经过点A时,直线y=−3x+z的截距最大,
此时z最大,
由 x−2=0,x+2y−8=0,
解得 x=2,y=3,
即A(2, 3),
代入目标函数z=3x+y得z=3×2+3=9,
即目标函数z=3x+y的最大值为9.
故选C.
9.
【答案】
D
【考点】
等差中项
等差数列的性质
【解析】
由等差数列的性质得,a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45⇒a5=9,而S9=9a5,从而可得答案.
【解答】
解:∵ 等差数列{an}中,
a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45,
∴ a5=9,
∴ S9=9(a1+a9)2=9×2a52=9a5=81.
故选D.
10.
【答案】
D
【考点】
求线性目标函数的最值
简单线性规划
【解析】
作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数z=x−y的最小值是−2,确定m的取值.
【解答】
解:作出不等式组对应的平面区域如图:
由目标函数z=x−y的最小值是−2,
得y=x−z,即当z=−2时,函数为y=x+2,此时对应的平面区域在直线y=x+2的下方,
由y=x+2,y=2x−1,解得x=3,y=5,即A(3, 5),
同时A也在直线x+y=m上,即m=3+5=8.
故选D.
二、填空题
【答案】
±22
【考点】
等比中项
【解析】
利用等比中项性质求解即可.
【解答】
解:设13+1与13−1的等比中项为a,
则a2=13+1×13−1=12,
∴ a=±22.
故答案为:±22.
【答案】
4或5
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
先求出其公差,代入求出其通项公式;根据其单调性即可分析出何时有最小值并求出其最小值.
【解答】
解:设等差数列an的公差为d,
因为a2=a1+d=−6,
a8=a1+7d=6,
则6d=12,故d=2.
所以 an=−6+(n−2)×2=2n−10,
所以此数列为递增数列,
所以等差数列{an}的前4项为负数,a5=0,
从第6项开始为正数,
因此前4项或前5项的和最小.
故答案为: 4或5.
【答案】
2
【考点】
求线性目标函数的最值
简单线性规划
【解析】
作出不等式对应的平面区域,利用z的几何意义进行求解即可.
【解答】
解:由约束条件作出可行域如图,
则z的几何意义为可行域内的动点与定点P(−1,−1)连线的斜率,
由图象可知当直线过C点时对应的斜率最小,当直线经过点B时的斜率最大,
则zmax=kPB=1+10+1=2.
故答案为:2.
【答案】
nn+1
【考点】
数列的求和
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】
先根据等差数列的通项公式与前n项和公式求出数列an的首项和公差,从而得Sn=nn+1,于是1sn=1n−1n+1,再利用裂项相消法求前n项和即可得解.
【解答】
解:设等差数列an的首项为a1,公差为d,
∵ a2=4,S5=30,
∴ a1+d=4,5a1+5×42d=30,
解得a1=2,d=2,
∴ Sn=2n+nn−12×2=nn+1,
∴ 1Sn=1nn+1=1n−1n+1,
数列1Sn的前n项和为:
1−12+12−13+⋯+1n−1n+1
=1−1n+1=nn+1.
故答案为:nn+1.
三、解答题
【答案】
解:由等差数列的性质可得:
a2+a3+a4+a5=2a2+a5=34,
故可得a2+a5=17,
因为a2⋅a5=52,
结合韦达定理可得a2,a5是方程x2−17x+52=0的根,
解之可得x=4或13,
故a2=4,a5=13或a2=13,a5=4,
故公差d=a5−a25−2=±3.
因为an=a1+n−1d,
所以an=3n−2或an=−3n+19.
【考点】
等差数列的性质
等差数列的通项公式
【解析】
由等差数列的性质可得a2+a5=17,可得a2 a5是方程x2−17x+52=0的根,解之结合公差的定义可得.
【解答】
解:由等差数列的性质可得:
a2+a3+a4+a5=2a2+a5=34,
故可得a2+a5=17,
因为a2⋅a5=52,
结合韦达定理可得a2,a5是方程x2−17x+52=0的根,
解之可得x=4或13,
故a2=4,a5=13或a2=13,a5=4,
故公差d=a5−a25−2=±3.
因为an=a1+n−1d,
所以an=3n−2或an=−3n+19.
【答案】
解:不等式x2+a−1x−a>0可化为:x+ax−1>0,
①当−a>1,即a<−1时,解得: x>−a或x<1;
②当−a=1,即a=−1时,解得: x≠1;
③当−a<1,即a>−1时,解得: x>1或x<−a.
综上可知,当a<−1时,不等式解集为{x|x>−a或x<1};
当a=−1时,不等式解集为x|x≠1;
当a>−1时,不等式解集为{x|x>1或x<−a}.
【考点】
一元二次不等式的解法
【解析】
分三种情况讨论a的取值,进行解不等式即可.
【解答】
解:不等式x2+a−1x−a>0可化为:x+ax−1>0,
①当−a>1,即a<−1时,解得: x>−a或x<1;
②当−a=1,即a=−1时,解得: x≠1;
③当−a<1,即a>−1时,解得: x>1或x<−a.
综上可知,当a<−1时,不等式解集为{x|x>−a或x<1};
当a=−1时,不等式解集为x|x≠1;
当a>−1时,不等式解集为{x|x>1或x<−a}.
【答案】
解:(1)设垂直于墙的边长为x,
则每个长方形平行于墙的边长为50x,
则l=3x+100x,
∵ x≥2且50x≥2,
∴ 2≤x≤25,
∴ 这个函数的定义域为[2, 25].
(2)l=3x+100x≥23x⋅100x=203,
当且仅当3x=100x,即x=1033时取等号,
故当垂直于墙的边长为1033m时,
所用篱笆的总长度最小,篱笆的总长度最小是203m.
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
根据实际问题选择函数类型
【解析】
(1)由题意设设垂直于墙的边长为x,则每个长方形平行于墙的边长50x,表示出l;由x≥2且50x≥2,可得函数的定义域;
(2)对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的篱笆的总长度最小,从而求解.
【解答】
解:(1)设垂直于墙的边长为x,
则每个长方形平行于墙的边长为50x,
则l=3x+100x,
∵ x≥2且50x≥2,
∴ 2≤x≤25,
∴ 这个函数的定义域为[2, 25].
(2)l=3x+100x≥23x⋅100x=203,
当且仅当3x=100x,即x=1033时取等号,
故当垂直于墙的边长为1033m时,
所用篱笆的总长度最小,篱笆的总长度最小是203m.
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