2020-2021学年湖南省郴州市高二（上）期中考试数学试卷 (1)人教A版

这是一份2020-2021学年湖南省郴州市高二（上）期中考试数学试卷 (1)人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 命题“∀x>4,lg2x>2”的否定是( )
A.∃x0>4,lg2x0≤2B.∀x>4,lg2x≤2
C.∃x0≤4,lg2x0≤2D.∀x≤4,lg2x≤2

2. 抛物线y=116x2的准线方程是( )
A.y=4B.y=8C.y=−4D.y=−8

3. 已知x，y的取值如下表所示，若y与x线性相关，且y=0.6x+a，则a=( )
A.4.2B.4.6C.4.7D.4.9

4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsin2A−2asinAcsB=0，则△ABC的形状为( )
A.直角三角形B.等腰三角形
C.等腰直角三角形D.等边三角形

5. 已知an是等差数列，且a1+a2=4，a8+a9=6，则这个数列的前9项和等于( )
A.45B.452C.55D.552

6. 已知正数m，n满足25m−1=0.2n，则1m+2n的最小值为( )
A.2B.4C.8D.12

7. 已知平面向量m→=1,λ+1，n→=λ+2,2，则“λ>−43”是“m→，n→的夹角为锐角”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F2，过原点O作斜率为3的直线交C的右支于点A，若∠F1AF2=2π3，则双曲线的离心率为( )
A.3B.3+1C.23+102D.32+102
二、多选题

已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，点Mx0,y0在抛物线C上，若|MF|=4，则( )
A.x0=3B.y0=23
C.|OM|=21D.F的坐标为0,1

已知a，b，c是三条不重合的直线，平面α，β相交于直线c，a⊂α，b⊂β，若a，b为异面直线，则下列说法可能成立的是( )
A.a与c相交，且b与c也相交B.a//β，且b//α
C.a//c，且b与c相交D.a⊥c，且b⊥c

已知点P1,−1是角α终边上的一点，则( )
A.函数fx=sin2x+α的对称轴方程为x=3π8+kπ2k∈Z
B.函数fx=sin2x+α的对称轴方程为x=π8+kπ2k∈Z
C.函数gx=cs3x+α+5π4是奇函数
D.函数gx=cs3x+α+5π4是偶函数

已知lnx>lny，x≠1，y≠1，0A.xm>ymB.x+1lgy+1mC.xym>yxmD.lgxm⋅lgmy>1
三、填空题

在等差数列an中，已知a1=−3，a4=1，则a7=________.

已知椭圆x216+y212=1的左、右焦点分别为F1，F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则△ABF2的周长是________.

已知函数fx=x−1, x≤0，lnx, x>0,若函数gx=fx+a恰有一个零点，则a的取值范围是________.

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0经过函数y=x3x−1图象的对称中心，若椭圆C的离心率e∈12,33，则C的长轴长的取值范围是________.
四、解答题

在①AB=2BD=12，②sin∠BAD=2sin∠ABD，D为BC的中点，③∠DAB=π6，AB=103这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求AC的长；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，在△ABC中，∠ACB=π4，点D在线段BC上，AD=10，________？

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C为锐角，且ab=3，△ABC的面积为334.
(1)求角C；

(2)若△ABC外接圆的半径为433，求△ABC的周长．

记Sn是正项数列an的前n项和，an+32是6和Sn+124的等比中项，且a1≠2.
(1)求an的通项公式；

(2)若等比数列bn的公比为12，且1b1,1b2,1b3−2成等差数列，求数列anbn的前n项和Tn.

2020年“国庆，中秋”国内游持续升温，某大型游乐公司在做好疫情防控的同时，积极进行游乐设备的升级改造，并决定开设一个大型综合游乐项目，预计整套设备每天需要10000元的维护费，每位游客游玩的票价为400元.如果每天有x人游玩该项目，需要另投入成本fx=12x2+20x,0(1)求该游乐项目每天的利润y（元）关于每天游玩该项目的人数x的函数关系式；

(2)当每天游玩该项目的人数x为多少时，该游乐公司获利最大？

如图，四棱锥P−ABCD的底面是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD．点E是AB的中点，过点E作平行于平面PAD的截面，与直线CD，PC，PB分别交于点F，G，H．

(1)证明：GH//EF.

(2)若四棱锥P−ABCD的体积为83，求四边形EFGH的面积．

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别是F1，F2，且离心率为22，点M为椭圆C上的动点，△F1MF2面积的最大值为1.
(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若M是椭圆C的上顶点，直线MF1交椭圆C于点N，过点F1的直线l（直线l的斜率不为1）与椭圆C交于P，Q两点，点P在点Q的上方，若S△F1MP:S△F1NQ=3:2，求直线l的方程．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖南省郴州市高二（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
命题的否定
全称命题与特称命题
【解析】

【解答】
解：全称命题的否定是特称命题．
因此命题“∀x>4,lg2x>2”的否定是∃x0>4,lg2x0≤2.
故选A．
2.
【答案】
C
【考点】
抛物线的性质
【解析】
先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可．
【解答】
解：化为标准方程为x2=16y，
故p=8，
其准线方程为y=−4.
故选C.
3.
【答案】
D
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
由表可得，x¯=1+2+4+55=3,y¯=5.5+6+7+7+85=6.7，代人回归直线y=0.6x+a，得6.7=0.6×3+a．解得a=4.9 .
【解答】
解：由表可得，x¯=1+2+3+4+55=3，
y¯=5.5+6+7+7+85=6.7，
代入回归直线y=0.6x+a，
得6.7=0.6×3+a，
解得a=4.9 .
故选D .
4.
【答案】
B
【考点】
两角和与差的正弦公式
三角形的形状判断
正弦定理
【解析】

【解答】
解：由bsin2A−2asinAcsB=0，
得2bsinAcsA−2asinAcsB=0，
因为A∈(0,π)，所以sinA≠0，
所以bcsA−acsB=0.
由正弦定理得sinBcsA−csBsinA=0，即sinB−A=0，
所以B−A=0，所以A=B.
故选B.
5.
【答案】
B
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的性质
【解析】

【解答】
解：数列an是等差数列，且a1+a2=4，a8+a9=6，
则a1+a2+a8+a9=10，
所以a1+a9=5，
所以S9=a1+a9×92=452．
故选B．
6.
【答案】
B
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】

【解答】
解：由25m−1=0.2n，可得52m−2=5−n，
所以2m+n=2，
1m+2n
=122m+n1m+2n
=122+2+nm+4mn
≥4+242=4，
当且仅当m=12，n=1时，取得等号．
故选B．
7.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
若m→，n→的夹角为锐角，则m→⋅n→>0，且m→，n→不共线，则m→⋅n→=λ+2+2λ+2>0,(λ+2)(λ+1)≠2．解得a>−43且λ≠0，所以λ>−43是“m→，n→的夹角为锐角”的必要不充分条件．
【解答】
解：若m→，n→的夹角为锐角，则m→⋅n→>0，且m→，n→不共线，
则m→⋅n→=λ+2+2λ+2>0，(λ+2)(λ+1)≠2，
解得λ>−43且λ≠0，
所以λ>−43是“m→，n→的夹角为锐角”的必要不充分条件．
故选B .
8.
【答案】
D
【考点】
双曲线的离心率
相似三角形的判定
相似三角形的性质
余弦定理
【解析】

【解答】
解：由题可知∠F1OA=2π3，易得△F1OA∼△F1AF2，
所以|F1O||F1A|=|F1A||F1F2|，可得|F1A|=2c．
在△F1AF2中，由余弦定理可得
|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2−2|AF1|⋅|AF2|cs2π3，
解得|AF2|=10−22c．
双曲线的离心率为2c2c−10−22c=32+102．
故选D．
二、多选题
【答案】
A,C
【考点】
抛物线的标准方程
抛物线的定义
两点间的距离公式
【解析】
由题可知F1,0，由MF|=x0+1，所以x0=3,y02=12，|OM|=x02+y02=9+12=21，故选AC．
【解答】
解：由题可知F1,0，|MF|=x0+1=4，
可得x0=3，y02=12，即y0=±23，
|OM|=x02+y02=9+12=21.
故选AC．
【答案】
A,C,D
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若a//β且b//α，可知a//b//c，与a，b为异面直线矛盾，B错误，其他三种情况都可能成立．
故选ACD．
【答案】
A,D
【考点】
正弦函数的对称性
任意角的三角函数
诱导公式
函数奇偶性的判断
【解析】
根据题意知角α为第四象限角，且tanα=−1．则a=−π4+2kπk∈Z，所以fx=sin2x−π4，令2x−π4=π2+kπ(k∈Z)．解得x=3π8+kπ2k∈Z，所以函数fx=sin2x+α的对称轴方程为x=3π8+kπ2(k∈Z)，yx=cs3x+α+5π4=cs3x+π=−cs3x为偶函数．故选AD .
【解答】
解：根据题意知角α为第四象限角，且tanα=−1，
则α=−π4+2kπk∈Z，
所以fx=sin2x+α=sin2x−π4，
令2x−π4=π2+kπ(k∈Z)，
解得x=3π8+kπ2(k∈Z)，
所以函数fx=sin2x+α的对称轴方程为x=3π8+kπ2(k∈Z)，
gx=cs3x+α+5π4=cs3x+π=−cs3x为偶函数．
故选AD .
【答案】
A,B
【考点】
对数的运算性质
指数式与对数式的互化
幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】

【解答】
解：因为lnx>lny，所以x>y>0．
选项A，令ft=tm，又0所以ft在0,+∞上单调递增，所以xm>ym，所以A正确；
选项B，x+1lgy+1m−y+1lgx+1m
=lgm⋅x+1lg(y+1)−y+1lg(x+1)
=lgm⋅lg(x+1)x+1−lg(y+1)y+1lg(x+1)⋅lg(y+1) ，
因为x>y>0，0选项C，xym>yxm等价于xy1m>yx1m，
当x=4，y=3时，43=64，34=81，43<34，所以C错误；
选项D，lgmy>lgmx，但是lgmy，lgmx的正负性无法确定，所以D错误．
故选AB．
三、填空题
【答案】
5
【考点】
等差数列的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为a1，a4，a7成等差数列，
所以a4=a1+a72，即a7=2a4−a1=5.
故答案为：5.
【答案】
16
【考点】
椭圆的定义
椭圆中的平面几何问题
【解析】

【解答】
解：由椭圆的定义知|BF1|+|BF2|=2a，|AF1|+|AF2|=2a，
根据椭圆的标准方程得a=4，
所以|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=16.
故答案为：16.
【答案】
−∞,1
【考点】
函数的零点与方程根的关系
函数的零点
【解析】

【解答】
解：令fx+a=0，得a=−fx，
结合函数y=−fx的图象可知，
a<1时，fx+a=0恰有一个解，
即函数gx=fx+a恰有一个零点.
故答案为：−∞,1．
【答案】
2219,103
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由y=x3x−1可化为y=13+19x−13，
所以曲线y=x3x−1的对称中心为13,13．
把13,13代入方程x2a2+y2b2=1，
得19a2+19b2=1，
整理，得9a2=2a2−c2a2−c2=1+11−e2．
又因为e∈12,33，
所以9a2∈73,52，
所以2a∈2219,103 .
故答案为：2219,103.
四、解答题
【答案】
解：选择条件①，
在△ABD中，由余弦定理可得csB=AB2+BD2−AD22AB⋅BD=59．
∴ sinB=1−cs2B=2149．
在△ABC中，由正弦定理得ABsinC=ACsinB，
可得 AC=AB⋅sinBsinC=12×214922=1637.
选择条件②，
在△ABD中，sin∠BAD=2sin∠ABD，可得BD=2AD=102．
又D为BC的中点，
所以CD=102．
在△ADC中，由余弦定理得AD2=CD2+AC2−2CD⋅ACcs∠ACB，
得100=200+AC2−20AC，
解得：AC=10．
选择条件③，在△ABD中，由余弦定理可得BD2=AD2+AB2−2AD⋅ABcs∠DAB=100，
即BD=10，
则AD=BD=10，∠ADB=2π3，∠ADC=π3．
在△ADC中，由正弦定理得ADsinC=ACsin∠ADC，
可得AC=AD⋅sin∠ADCsinC=56．
【考点】
解三角形
余弦定理
正弦定理
同角三角函数间的基本关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：选择条件①，
在△ABD中，由余弦定理可得csB=AB2+BD2−AD22AB⋅BD=59．
∴ sinB=1−cs2B=2149．
在△ABC中，由正弦定理得ABsinC=ACsinB，
可得 AC=AB⋅sinBsinC=12×214922=1637.
选择条件②，
在△ABD中，sin∠BAD=2sin∠ABD，可得BD=2AD=102．
又D为BC的中点，
所以CD=102．
在△ADC中，由余弦定理得AD2=CD2+AC2−2CD⋅ACcs∠ACB，
得100=200+AC2−20AC，
解得：AC=10．
选择条件③，在△ABD中，由余弦定理可得BD2=AD2+AB2−2AD⋅ABcs∠DAB=100，
即BD=10，
则AD=BD=10，∠ADB=2π3，∠ADC=π3．
在△ADC中，由正弦定理得ADsinC=ACsin∠ADC，
可得AC=AD⋅sin∠ADCsinC=56．
【答案】
解：(1)因为S△ABC=12absinC=32sinC=334，
所以sinC=32，
又C为锐角，
所以C=π3．
(2)设△ABC外接圆的半径为R，
则csinC=2R=833，
由(1)可知，sinC=32，
所以c=833×32=4．
由余弦定理，得c2=a2+b2−2abcsC
=a2+b2−ab=a+b2−3ab，
即16=a+b2−9，
解得a+b=5，
所以a+b+c=5+4=9，
即△ABC的周长为9．
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为S△ABC=12absinC=32sinC=334，
所以sinC=32，
又C为锐角，
所以C=π3．
(2)设△ABC外接圆的半径为R，
则csinC=2R=833，
由(1)可知，sinC=32，
所以c=833×32=4．
由余弦定理，得c2=a2+b2−2abcsC
=a2+b2−ab=a+b2−3ab，
即16=a+b2−9，
解得a+b=5，
所以a+b+c=5+4=9，
即△ABC的周长为9．
【答案】
解：(1)因为an+32是6和Sn+124的等比中项，
所以an+322=6Sn+14①，
当n≥2时，an−1+322=6Sn−1+14②，
由①−②得an+322−an−1+322=6Sn−6Sn−1，
化简得an−322=an−1+322，
即an−32=an−1+32或者an−32+an−1+32=0（舍去），
故an−an−1=3（n≥2），数列{an}为等差数列．
因为a1+322=6S1+14，解得a1=1或a1=2（舍去），
所以数列{an}是首项为1，公差为3的等差数列，
所以an=3n−2．
(2)由1b1，1b2，1b3−2成等差数列，可得1b1+1b3−2=2b2，
可得q2+1−2q2b1=2q，
又q=12，所以b1=12，
所以bn=12n．
由(1)得anbn=3n−22n，
所以Tn=12+422+723+1024+⋯+3n−22n，
12Tn=122+423+724+1025+⋯+3n−52n+3n−22n+1，
两式相减得12Tn=12+3122+123+124+⋯+12n−3n−22n+1，
所以Tn=1+312+122+123+⋅⋅⋅+12n−1−3n−22n
=1+3×121−12n−11−12−3n−22n
=1+31−12n−1−3n−22n
=4−3n+42n．
【考点】
数列递推式
等差关系的确定
等差数列的通项公式
等比中项
等差中项
等比数列的通项公式
数列的求和
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)因为an+32是6和Sn+124的等比中项，
所以an+322=6Sn+14①，
当n≥2时，an−1+322=6Sn−1+14②，
由①−②得an+322−an−1+322=6Sn−6Sn−1，
化简得an−322=an−1+322，
即an−32=an−1+32或者an−32+an−1+32=0（舍去），
故an−an−1=3（n≥2），数列{an}为等差数列．
因为a1+322=6S1+14，解得a1=1或a1=2（舍去），
所以数列{an}是首项为1，公差为3的等差数列，
所以an=3n−2.
(2)由1b1，1b2，1b3−2成等差数列，可得1b1+1b3−2=2b2，
可得q2+1−2q2b1=2q，
又q=12，所以b1=12，
所以bn=12n．
由(1)得anbn=3n−22n，
所以Tn=12+422+723+1024+⋯+3n−22n，
12Tn=122+423+724+1025+⋯+3n−52n+3n−22n+1，
两式相减得12Tn=12+3122+123+124+⋯+12n−3n−22n+1，
所以Tn=1+312+122+123+⋅⋅⋅+12n−1−3n−22n
=1+3×121−12n−11−12−3n−22n
=1+31−12n−1−3n−22n
=4−3n+42n．
【答案】
解：(1)当0y=400x−12x2+20x−10000
=−12x2+380x−10000（0当500≤x≤800时，
y=400x−410x−3600000x+100000−10000
=−10x+360000x+90000（500≤x≤800，x∈N）．
所以 y=−12x2+380x−10000,0(2)由(1)可得，当0y=−12x2+380x−10000=−12(x−380)2+62200，
当x=380时，ymax=62200．
当500≤x≤800时，
y=−10x+360000x+90000
≤−20x⋅360000x+90000
=−12000+90000=78000，
当且仅当x=600时，ymax=78000．
综上，当每天游玩该项目的人数x为600时，该游乐公司获利最大，为78000元．
【考点】
函数模型的选择与应用
基本不等式在最值问题中的应用
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当0y=400x−12x2+20x−10000
=−12x2+380x−10000（0当500≤x≤800时，
y=400x−410x−3600000x+100000−10000
=−10x+360000x+90000（500≤x≤800，x∈N）．
所以 y=−12x2+380x−10000,0(2)由(1)可得，当0y=−12x2+380x−10000=−12(x−380)2+62200，
当x=380时，ymax=62200．
当500≤x≤800时，
y=−10x+360000x+90000
≤−20x⋅360000x+90000
=−12000+90000=78000，
当且仅当x=600时，ymax=78000．
综上，当每天游玩该项目的人数x为600时，该游乐公司获利最大，为78000元．
【答案】
(1)证明：∵ BC//AD，BC⊄平面PAD，
∴ BC//平面PAD，
又平面PAD//平面EFGH，
∴ BC//平面EFGH．
∵ BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面EFGH=GH，
∴ BC//GH.
同理，BC//EF，
∴ GH//EF．
(2)解：由VP−ABCD=13⋅PD⋅4=83，得PD=2.
∵ 平面PAD//平面EFGH，且平面PAB∩平面EFGH=EH，平面PCD∩平面EFGH=GF，
∴ PA//HE，PD//GF.
又点E是AB的中点，可知G，H，F分别为PC，PB，CD的中点，
∴ EF=2，GH=1，GF=1，
且GF⊥CD，
∴ 四边形EFGH的面积为1+2×12=32．
【考点】
直线与平面平行的判定
平面与平面平行的判定
平面与平面平行的性质
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】


【解答】
(1)证明：∵ BC//AD，BC⊄平面PAD，
∴ BC//平面PAD，
又平面PAD//平面EFGH，
∴ BC//平面EFGH．
∵ BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面EFGH=GH，
∴ BC//GH.
同理，BC//EF，
∴ GH//EF．
(2)解：由VP−ABCD=13⋅PD⋅4=83，得PD=2.
∵ 平面PAD//平面EFGH，且平面PAB∩平面EFGH=EH，平面PCD∩平面EFGH=GF，
∴ PA//HE，PD//GF.
又点E是AB的中点，可知G，H，F分别为PC，PB，CD的中点，
∴ EF=2，GH=1，GF=1，
且GF⊥CD，
∴ 四边形EFGH的面积为1+2×12=32．
【答案】
解：(1)△F1MF2面积最大值Smax=12|F1F2|⋅b=12⋅2c⋅b=bc=1，
又ca=22，所以b=c，解得b=1,c=1,
即a=2，b=1，
故椭圆C的标准方程为x22+y2=1．
(2)由题可得直线MF1的方程为y=x+1，
联立y=x+1，x22+y2=1，得N−43,−13，则|NF1||MF1|=13．
因为S△F1MP:S△F1NQ=3:2，
则12|NF1|⋅|QF1|sin∠QF1N
=23×12|MF1|⋅|PF1|sin∠PF1M，
得|QF1|=2|PF1|．
当直线l的斜率为0时，不符合题意，
故设直线l的方程为x=my−1，Px1,y1，Qx2,y2，
由点P在点Q的上方，则y2=−2y1，
联立x=my−1，x22+y2=1，得m2+2y2−2my−1=0，
则y1+y2=2mm2+2，y1y2=−1m2+2，
得y1+y2=−y1，y1y2=−2y12，
则−22mm2+22=−1m2+2，得m2=27，m=±147．
又y1+y2=2mm2+2=−y1<0，
则m=147不符合题意，
所以m=−147．
故直线l的方程为7x+14y+7=0．
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
直线与椭圆结合的最值问题
三角形的面积公式
解三角形
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)△F1MF2面积最大值Smax=12|F1F2|⋅b=12⋅2c⋅b=bc=1，
又ca=22，所以b=c，解得b=1,c=1,
即a=2，b=1，
故椭圆C的标准方程为x22+y2=1．
(2)由题可得直线MF1的方程为y=x+1，
联立y=x+1，x22+y2=1，得N−43,−13，则|NF1||MF1|=13．
因为S△F1MP:S△F1NQ=3:2，
则12|NF1|⋅|QF1|sin∠QF1N
=23×12|MF1|⋅|PF1|sin∠PF1M，
得|QF1|=2|PF1|．
当直线l的斜率为0时，不符合题意，
故设直线l的方程为x=my−1，Px1,y1，Qx2,y2，
由点P在点Q的上方，则y2=−2y1，
联立x=my−1，x22+y2=1，得m2+2y2−2my−1=0，
则y1+y2=2mm2+2，y1y2=−1m2+2，
得y1+y2=−y1，y1y2=−2y12，
则−22mm2+22=−1m2+2，得m2=27，m=±147．
又y1+y2=2mm2+2=−y1<0，
则m=147不符合题意，
所以m=−147．
故直线l的方程为7x+14y+7=0．x
1
2
3
4
5
y
5.5
6
7
7
8