2020-2021学年湖南省郴州市郴州市高二（上）12月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖南省郴州市郴州市高二（上）12月月考数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合A=x|−2b，故存在满足条件的△ABC .
选③：∵ b=33c，
∴ c=3b .
∵ sinB=3sinA，
∴ b=3a．
∵ a2+b2−c2=2abcsC，
∴ a2+3a2−9a2=2⋅a⋅3a⋅csπ6，
得−5a2=3a2，不成立．
故不存在满足条件的△ABC .
【答案】
解：(1)当n=1时，a1=S1+12，解得a1=1.
因为Sn=2an−1，①
所以当n≥2时，Sn−1=2an−1−1，②
①−②得，Sn−Sn−1=2an−2an−1 ，
所以an=2an−1，
故数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
其通项公式为an=2n−1 .
(2)由题知，bn=(n+1)2n，
所以Tn= 2×21+3×22+4×23+⋯+n+12n，③
2Tn=2×22+3×23+4×24+⋯+n+12n+1，④
③−④得，−Tn=2+(21+22+23+⋯+2n)−(n+1)2n+1
=2+2×(1−2n)1−2−(n+1)2n+1
=−n⋅2n+1 ，
所以Tn=n⋅2n+1 .
【考点】
数列的求和
数列递推式
等比数列的前n项和
等比数列的通项公式
等比数列
【解析】
（1）当n=1时，a1=S1+12，解得a1=1，
因为Sn=2an−1，①
所以当n≥2时，Sn−1=2an+1−1，②
①−②得，Sn−Sn−1=2an−2an+1 ，
所以an=2an−1，
故数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，其通项公式为an=2n−1 .
（2）由题知，bn=(n+1))2n，
所以Tn= 2×21+3×22+4×23+⋯+n+12n，③
2Tn=−2×22+3×23+4×24+⋯+n+12n+1，④
③−④得，−Tn=2+(21+22+23+⋯+2n)−(n+1)2n+1，
=2+2×(1−2n)1−2−(n+1)2n+1
=n⋅2n+1 .
所以Tn=−n⋅2n+1 .
【解答】
解：(1)当n=1时，a1=S1+12，解得a1=1.
因为Sn=2an−1，①
所以当n≥2时，Sn−1=2an−1−1，②
①−②得，Sn−Sn−1=2an−2an−1 ，
所以an=2an−1，
故数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
其通项公式为an=2n−1 .
(2)由题知，bn=(n+1)2n，
所以Tn= 2×21+3×22+4×23+⋯+n+12n，③
2Tn=2×22+3×23+4×24+⋯+n+12n+1，④
③−④得，−Tn=2+(21+22+23+⋯+2n)−(n+1)2n+1
=2+2×(1−2n)1−2−(n+1)2n+1
=−n⋅2n+1 ，
所以Tn=n⋅2n+1 .
【答案】
(1)证明：∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ AD⊥CD．
∵ ∠ADP=90∘，CD∩DP=D，
∴ AD⊥平面PCD.
∵ CE⊂平面PCD，
∴ AD⊥CE．
∵ 二面角P−AD−B为60∘，
∴ ∠PDC=60∘.
∵ PD=AD，CD=AD，
∴ △PCD为等边三角形．
∵ E为PD中点，
∴ CE⊥DP．
∵ AD∩DP=D，
∴ CE⊥平面PAD.
(2)解：过P作PO⊥CD，垂足为O，易知O为CD中点．
∵ 平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，
PO⊂平面PDC，
∴ PO⊥平面ABCD．
设AB中点为Q，则OQ//AD，OQ⊥平面PDC．
以O为坐标原点，OQ→方的方向为x轴正方向，
DC→的方向为y轴正方向，OP→的方向为z轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，
∵ 正方形ABCD的边长为2，
∴ A2,−1,0，B2,1,0，C0,1,0，D0,−1,0，
P0,0,3，E0,−12,32，
∴ AB→=(0,2,0)，AE→=(−2,12,32)，CE→=(0,−32,32).
∵ CE⊥平面PAD，
∴ CE→为平面ADE的一个法向量．
设n→=x,y,z是平面ABE的法向量，
则n→⋅AB→=2y=0,n→⋅AE→=−2x+12y+32z=0,
令z=4，得n→=3,0,4．
∵ cs⟨CE→,n→⟩=CE→⋅n→|CE→||n→|=233×19=21919，
∴ 平面ADE与平面ABE所成锐二面角的余弦值为21919．
【考点】
直线与平面垂直的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ AD⊥CD．
∵ ∠ADP=90∘，CD∩DP=D，
∴ AD⊥平面PCD.
∵ CE⊂平面PCD，
∴ AD⊥CE．
∵ 二面角P−AD−B为60∘，
∴ ∠PDC=60∘.
∵ PD=AD，CD=AD，
∴ △PCD为等边三角形．
∵ E为PD中点，
∴ CE⊥DP．
∵ AD∩DP=D，
∴ CE⊥平面PAD.
(2)解：过P作PO⊥CD，垂足为O，易知O为CD中点．
∵ 平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，
PO⊂平面PDC，
∴ PO⊥平面ABCD．
设AB中点为Q，则OQ//AD，OQ⊥平面PDC．
以O为坐标原点，OQ→方的方向为x轴正方向，
DC→的方向为y轴正方向，OP→的方向为z轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，
∵ 正方形ABCD的边长为2，
∴ A2,−1,0，B2,1,0，C0,1,0，D0,−1,0，
P0,0,3，E0,−12,32，
∴ AB→=(0,2,0)，AE→=(−2,12,32)，CE→=(0,−32,32).
∵ CE⊥平面PAD，
∴ CE→为平面ADE的一个法向量．
设n→=x,y,z是平面ABE的法向量，
则n→⋅AB→=2y=0,n→⋅AE→=−2x+12y+32z=0,
令z=4，得n→=3,0,4．
∵ cs⟨CE→,n→⟩=CE→⋅n→|CE→||n→|=233×19=21919，
∴ 平面ADE与平面ABE所成锐二面角的余弦值为21919．
【答案】
(1)证明：当a=2时，函数f(x)=ex−csx−2x，
f′(x)=ex+sinx−2，
若x1，则gx在1,+∞上单调递增；
令g′x0，
所以fx在0,+∞上为增函数．
故fx在1e,e上的最大值为fe=1e+e，最小值为f1e=1e−e．
(2)不等式f(x0)≤a+2可转化为x02−2x0≤ax0−lnx0，
令Fx=x−lnxx>0，
则F′x=x−1xx>0．
当00，于是a≥x02−2x0x0−lnx0，
记G(x)=x2−2xx−lnx，x∈(0,e]，
则G′(x)=(2x−2)(x−lnx)−(x−2)(x−1)(x−lnx)2
=(x−1)(x−2lnx+2)(x−lnx)2，
因为2−2lnx=21−lnx≥0，
所以Gx在0,1上单调递减，在1,e上单调递增．
所以Gxmin=G1=−1，
从而a≥−1，
故a的取值范围是[−1,+∞)．