2020-2021学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟高二（上）期中数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟高二（上）期中数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 命题“∀x>0，使得x>sinx”的否定是（ ）
A.∃x0≤0，使得x00，使得x0≤sinx0
C.∀x>0，使得x≤sinxD.∀x≤0，使得x>sinx

2. 若点A(−1, 1, 2)，B(0, 3, 0)，C(1, 0, −1)，点D在z轴上，且AD→⊥BC→，则|AD→|=( )
A.2B.22C.32D.6

3. 设等差数列{an}的前n项和是Sn，若−am0D.Sm0, b>0)的左焦点F(−c, 0)关于直线y=−bax的对称点Q在该双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A.52B.5C.3D.32
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

已知双曲线x23−y2=cs2θ(θ≠kπ+π2, k∈Z)，则不因θ改变而变化的是（ ）
A.焦距B.离心率C.顶点坐标D.渐近线方程

如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长是1，下列结论正确的有（ ）

A.直线BC与平面ABC1D1所成的角为π4
B.C到平面ABC1D1距离为长22
C.两条异面直线CD1和BC1所成的角为π4
D.三棱锥D1−DAB中三个侧面与底面均为直角三角形

已知曲线C:mx2−ny2=1，下列说法正确的是（ ）
A.若mn>0，则C为双曲线
B.若m>0且m+n0，n0，n=0，则C为两条直线

已知P是左、右焦点分别为F1，F2的椭圆x24+y22=1上的动点，M(0, 2)下列说法正确的有（ ）
A.|PF1|+|PF2|=4B.|PF1|−|PF2|的最大值为22
C.存在点的P，使∠F1PF2=120∘D.|MP|的最大值为2+2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

双曲线x2−y23=1的焦点到渐近线的距离等于________．

直线l与抛物线y2=2x相交于点A，B且∠AOB=90∘，则△AOB面积的最小值为________．

若数列{an}的前n项和Sn，且a1+2a2+22a3+...+2n−1an=n2+2n，则an=________，Sn=________

空间四边形ABCD中，AB=AD=BD=2，AC=3，BC=DC，BC⊥DC，则其外接球表面积为________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

已知命题p：方程x2+y2−4x+2my+2m2−m+2=0表示圆；命题q：方程x2m−1+y25−a=1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，S3＝15，an>0，d>1，且______从“①a2−1为a1−1与a3+1的等比中项”，“②等比数列{bn}的公比q=12，b1＝a2，b3＝a3”这两个条件中，选择一个补充在上面问题中的划线部分，使得符合条件的数列{an}存在并作答．
（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设数列{1anan+1}的前n项和为Tn，求Tn．

已知圆x2+y2−2x−4y+4=0．
（1）若圆C的切线在x轴，y轴上的截距相等，求此切线的方程；

（2）从圆C外一点P(x0, y0)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求|PM|的最小值．

如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD、底面ABCD为菱形，E为PD的中点．

（1）证明：PB // 平面AEC；

（2）设PA=1，∠BAD=120∘，菱形ABCD的面积为23，求二面角D−AE−C的余弦值．

设抛物线C:y2=2x，点A(2, 0)，过点A的直线l与C交于M、N（M在x轴上方）两点．
(Ⅰ)当|MA|=2|AN|时，求直线l的方程；
(Ⅱ)在x轴上是否存在点B，使得∠ABM=∠ABN，若存在，求B点出坐标，若不存在，说明理由．

若曲线Γ上任意一点P与点A(−2, 0)，B(2, 0)连线的斜率之积为−14，过原点的直线与曲线Γ交于M，N两点，其中点M在第二象限，过点M作x轴的垂线交AN于点C．
（1）求曲线Γ的方程；

（2）试比较|AM|2与|AC|⋅|AN|大小．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟高二（上）期中数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.
【答案】
B
【考点】
命题的否定
【解析】
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】
命题为全称命题，则命题的否定为x0>0，使得x0≤sinx0，
2.
【答案】
C
【考点】
空间向量的数量积运算
【解析】
设出C的坐标，求出AD→，BC→的坐标，根据向量的垂直关系求出答案即可．
【解答】
由点D在z轴上，设D(0, 0, m)，
故AD→=(1, −1, m−2)，而BC→=(1, −3, −1)，
∵ AD→⊥BC→，
∴ AD→⋅BC→=1+3−(m−2)=0，解得：m=6，
故|AD→|=1+1+16=32，
3.
【答案】
A
【考点】
等差数列的性质
【解析】
由−am0且m+n0，所以则C为焦点在x轴的椭圆，所以B正确；
若m>0，n0，n=0，则C为两条直线，所以D正确；
【答案】
A,B,D
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
由椭圆的定义与性质逐个选项判断正误即可．
【解答】
由椭圆的性质可知：|PF1|−|PF2|≤|F1F2|=2c=22（当P为椭圆的右顶点时取“=“），故选项B正确（1）又由椭圆的性质可知：当点P为椭圆的上顶点或下顶点时，∠F1PF2最大，此时tan∠F1PF22=ab=2