2020-2021学年山东省青岛市高二（上）期中考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年山东省青岛市高二（上）期中考试数学试卷人教A版，共12页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 直线x=2021的倾斜角为( )
A.90∘B.0∘C.180∘D.45∘

2. 已知向量a→=1,2,t，b→=t,1,2，且a→⊥b→，则实数t=( )
A.1B.−1C.−23D.23

3. 若直线l1:ax+y+1=0与直线l2:x+ay+2a−1=0平行，则实数a=（ ）
A.1B.−1C.0D.±1

4. 已知三棱柱ABC−A1B1C1，点P为线段B1C1的中点，则AP→=（ ）
A.12AB→+AC→+12AA1→B.AB→+12AC→+12AA1→
C.12AB→+12AC→−AA1→D.12AB→+12AC→+AA1→

5. 已知二面角α−l−β的大小为60∘，A，B为棱l上不同两点，C，D分别在半平面α,β内，AC，BD均垂直于棱l，AC=BD=2AB=2，则异面直线CD与AB所成角的余弦值为（ ）
A.15B.55C.13D.12

6. 若过原点的直线l与圆x2−4x+y2+3=0有两个交点，则l的倾斜角的取值范围是( )
A.−π3,π3B.−π6,π6C.[0,π6)∪(5π6,π)D.[0,π3)∪(2π3,π)

7. 已知椭圆C：x24+y2=1上两点A，B，若AB的中点为D，直线OD的斜率等于1，则直线AB的斜率等于( )
A.−1B.1C.−12D.−14

8. 已知圆O：x2+y2=r2r>0与直线x2+y2=1交于A，B两点，且|AB|=23，则圆O与函数fx=lnx−1的图象交点个数为( )个.
A.2B.1C.0D.3
二、多选题

已知直线l:x−my+m−1=0，则下述正确的是（ ）
A.直线l的斜率可以等于0
B.直线l的斜率有可能不存在
C.直线l可能过点2,1
D.若直线l的横纵截距相等，则m=±1

已知椭圆C:16x2+25y2=400，关于椭圆C下述正确的是（ ）
A.椭圆C的长轴长为10
B.椭圆C的两个焦点分别为0,−3和0,3
C.椭圆C的离心率等于35
D.若过椭圆C的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于P，Q，则|PQ|=325

已知点F1−1,0,F21,0，动点P到直线x=2的距离为d， |PF2|d=22，则（ ）
A.点P的轨迹是椭圆B.点P的轨迹曲线的离心率等于12
C.点P的轨迹方程为x22+y2=1D.△PF1F2的周长为定值42

已知四面体ABCD的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（ ）
A.异面直线AC与BD所成角为60∘
B.点A到平面BCD的距离为263
C.四面体ABCD的外接球体积为6π
D.动点P在平面BCD上，且AP与AC所成角为60∘，则点P的轨迹是椭圆
三、填空题

圆C1：x2+y2+4x=0与圆C2：x−22+y−12=9的位置关系为________.

已知椭圆x2m+y29=1的离心率是13，则实数m的值是________.

已知正方体ABCD−A1B1C1D1的梭长为1，点P为线段AC1上一点， |PA→|=1，则点P到平面ABCD的距离为________.

在平面直角坐标系中， A1,2,D2,1，点B，C分别在x轴、y轴上，
则①|AB|+|BD|的最小值是________；
②|AC|+|CB|+|BD|的最小值是________.
四、解答题

已知O为坐标原点，直线l:ax+y−a−1=0a∈R，圆O:x2+y2=1.
(1)若l的倾斜角为120∘，求a；

(2)若l与直线l0:2x−y=0的倾斜角互补，求直线l上的点到圆O上的点的最小距离；

(3)求点O到l的最大距离及此时a的值．

在平面直角坐标系中，圆C过点E1,0和点F0,1，圆心C到直线x+y=0的距离等于2.
(1)求圆C的标准方程；

(2)若圆心C在第一象限，M为圆C外一点，过点M做圆C的两条切线，切点分别为A，B，四边形MACB的面积为3，求点M的轨迹方程．

在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形， PD⊥平面ABCD，M为PC中点．

(1)如果PD=4，求证： PC⊥平面MAD；

(2)当BP与平面MBD所成角的正弦值最大时，求三棱锥D−MBC的体积V．

在平面直角坐标系中，C10,−2，圆C2:x2+y−22=12，动圆P过C1且与圆C2相切．
(1)求动点P的轨迹C的标准方程；

(2)若直线l过点0,1，且与曲线C交于A，B，已知A，B中点在直线x=−14上，求直线l的方程．

如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形， △BCF为等边三角形， ∠ABC=60∘，AB=2，EF//CD，平面BCF⊥平面ABCD．

(1)证明：在线段BC上存在点O，使得平面ABCD⊥平面AOF；

(2)求二面角B−AF−C的余弦值；

(3)若ED//平面AOF，求EF．

已知O为坐标原点，椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=2，P为椭圆的上顶点，以P为圆心且过F1,F2的圆与直线x=−2相切．
(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知直线l交椭圆C于M，N两点．
①若直线l的斜率等于1，求△OMN面积的最大值；
②若OM→⋅ON→=−1，点D在l上， OD⊥l．证明：存在定点W，使得|DW|为定值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省青岛市高二（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
利用直线x=2021垂直于x轴，倾斜角为90∘，选出答案．
【解答】
解：∵ 直线x=2021垂直于x轴，
∴ 倾斜角为90∘.
故选A.
2.
【答案】
C
【考点】
向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】
由a→⊥b→，得到a→⋅b→=t×1+2×1+2×t=0，求解即可.
【解答】
解：∵ 向量a→=1,2,t，b→=t,1,2，且a→⊥b→，
∴ a→⋅b→=t×1+2×1+2×t=0，
解得t=−23.
故选C.
3.
【答案】
B
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
根据两条直线平行可得a2=1，求出a的值经过验证即可得出．
【解答】
解：由l1//l2，得a2=1,
解得a=1或a=−1,
当a=1时，l1的方程分别为x+y+1=0，l2的方程x+y+1=0， l1与l2重合，故舍去，
当a=−1，l1的方程分别为−x+y+1=0，即x−y−1=0，l2的方程x−y−3=0，符合题意，
∴ a=−1.
故选B．
4.
【答案】
D
【考点】
空间向量的基本定理及其意义
空间向量的加减法
【解析】
利用空间向量的三角形法则、平行四边形法则，把AP→用AB→,AC→,AA1→线性表示即可．
【解答】
解：∵ 三棱柱ABC−A1B1C1，点P为线段B1C1的中点，
∴ AP→=AB→+BB1→+B1P→
=AB→+BB1→+12B1C1→
=AB→+BB1→+12A1C1→−A1B1→
=AB→+AA1→+12AC→−AB→
=12AB→+12AC→+AA1→,
故选D.
5.
【答案】
B
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
由题设条件，结合向量法求出CD的长，再根据向量的数量积即可求解异面直线CD与AB所成角的余弦值.
【解答】
解：如图，
由题意得：CA→⋅AB→=AB→⋅BD→=0，=60∘，
∴ CD→2=CA→+AB→+BD→2
=CA→2+AB→2+BD→2+2CA→⋅AB→+
2AB→⋅BD→+2CA→⋅BD→
=4+1+4+2×2×2×cs120∘=5.
∴ |CD→|=5，
∴ CD→⋅AB→=CA→+AB→+BD→⋅AB→
=CA→⋅AB→+AB→⋅AB→+BD→⋅AB→=AB→2,
∴ CD→⋅AB→cs=AB→2,
∴ cs=AB→CD→=55,
即异面直线CD与AB所成角的余弦值为55.
故选B．
6.
【答案】
C
【考点】
直线与圆的位置关系
直线的倾斜角
点到直线的距离公式
【解析】
由题意可得，圆心到直线的距离小于半径，即|2k−0|k2+1