2020-2021学年湖南省郴州市高二（上）期中考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖南省郴州市高二（上）期中考试数学试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知命题p：若(x−1)(x−2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x0，使2x0b，c≠0，则ac>bc；
②若a>b， 则ac2>bc2；
③若ac2>bc2，则a>b；
④若a>b>0，c>d， 则ac>bd.
A.1B.2C.3D.4

3. 在数列{an}中，a1=2，2an+1−2an=1，则a101的值为( )
A.49B.50C.51D.52

4. 命题p:x+y≠3，命题q:x≠1或y≠2，则命题p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5. 已知等差数列an的前n项和为Sn，若a1+a4+a7=6，则S7=( )
A.7B.10C.14D.21

6. 已知p：点P在直线y=2x−3上；q：点P在直线y=−3x+2上，则使命题p∧q为真命题的点P的坐标是( )
A.(0, −3)B.(1, 2)C.(1, −1)D.(−1, 1)

7. 在数列an中，已知a1=2 ，an=2an−1an−1+2 ，n≥2，则an等于( )
A.2n+1B.2nC.3nD.3n+1

8. 若等比数列an的前n项和为Sn，且S5=10，S10=30，则S20=( )
A.80B.120C.150D.180

9. 不等式2x2+2x−4≤12的解集为( )
A.(−∞, −3]B.(−3, 1]
C.[−3, 1]D.[1,+∞)∪(−∞,−3]

10. 数列an中， a1=2，an+1=2an−1，则a10=( )
A.511B.513C.1025D.1024

11. 设D是不等式组x+2y≤10，2x+y≥3，0≤x≤4，y≥1，表示的平面区域，则D中的点P(x, y)到直线x+y=10距离的最大值是( )
A.2B.22C.32D.42

12. 设A=ba+ab，其中a，b是正实数，且a≠b，B=−x2+4x−2，则A与B的大小关系是( )
A.A≥BB.A>BC.Ax2”的否定是“∃x0∈N，使x03>x02”；
③“b=0”是“函数f(x)=ax2+bx+c为偶函数”的充要条件；
④“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题．
三、解答题

已知函数f(x)=x2+2x，求不等式f(x)−f(x−1)>2x−1的解集．

已知an是等比数列，且公比不为1．若a1=13，且a1，2a2，3a3成等差数列．
(1)求an的通项公式；

(2)若数列cn=2n−1，设an+cn的前n项和为Tn，求Tn.

已知命题p：不等式2x−x2b ，故③项正确；
④项，当 c=−b，d=−a 时，满足 c>d ，此时ac=bd， 故④项错误.
故选A．
3.
【答案】
D
【考点】
数列递推式
【解析】
由数列递推式得到数列是等差数列并求得公差，代入等差数列的通项公式得答案．
【解答】
解：在数列{an}中，a1=2，
由2an+1−2an=1，得an+1−an=12．
∴ 数列{an}是首项为2，公差为12的等差数列，
∴ a101=2+100×12=52．
故选D．
4.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
由命题p:x+y≠3，命题q:x≠1或y≠2，可得：￢q:x=1且y=2，￢p:x+y=3，可得：￢q⇒￢p，反之不成立，例如x=12，y=52．
【解答】
解：∵ 命题p:x+y≠3，命题q:x≠1或y≠2，
￢q:x=1且y=2，￢p:x+y=3，
∴ ￢q⇒￢p，反之不成立，例如x=12，y=52．
因此命题p是q的充分不必要条件．
故选A.
5.
【答案】
C
【考点】
等差数列的前n项和
等差中项
【解析】

【解答】
解：∵ a1+a4+a7=6，∴ 3a4=6，解得a4=2，
则S7=7a1+a72=7a4=14．
故选C．
6.
【答案】
C
【考点】
复合命题及其真假判断
【解析】
根据已知条件便知P点是直线y=2x−3和直线y=−3x+2的交点，所以解方程组y=2x−3y=−3x+2即得点P坐标．
【解答】
解：若p∧q为真命题，则：
P既在直线y=2x−3上，又在y=−3x+2上，
∴ 点P是直线y=2x−3和y=−3x+2的交点，
联立y=2x−3,y=−3x+2,解得x=1，y=−1.
∴ P(1, −1)．
故选C．
7.
【答案】
B
【考点】
数列递推式
【解析】

【解答】
解：∵ an=2an−1an−1+2，
∴ 1an=1an−1+12 ，且1a1=12，
∴ {1an}是以12为首项，公差为12的等差数列，
即1an=12n，所以an=2n ．
故选B．
8.
【答案】
C
【考点】
等比数列的前n项和
【解析】
由已知结合等比数列的求和公式即可直接求解．
【解答】
解：∵ 等比数列an中S5=10，S10=30，
∴ q≠1，
a11−q51−q=10,a11−q101−q=30,
解得： a11−q=−10，q5=2，
则S20=a11−q1−q20=−10×1−16=150．
故选C．
9.
【答案】
C
【考点】
指、对数不等式的解法
一元二次不等式的解法
【解析】
根据指数函数的单调性，把原不等式化为2x2+2x−4≤2−1，求出解集即可．
【解答】
解：不等式2x2+2x−4≤12可化为2x2+2x−4≤2−1，
即x2+2x−4≤−1，
整理得x2+2x−3≤0，
解得−3≤x≤1，
所以原不等式的解集为[−3, 1]．
故选C．
10.
【答案】
B
【考点】
数列递推式
【解析】

【解答】
解：因为an+1=2an−1，所以an+1−1=2an−1，
所以an+1−1an−1=2，又a1−1=1≠0，
所以an−1是首项为1，公比为2的等比数列，
所以an−1=2n−1，所以an=2n−1+1，
所以a10=29+1=513.
故选B．
11.
【答案】
D
【考点】
求线性目标函数的最值
【解析】
根据题意做出可行域，欲求区域D中的点到直线x+y=10的距离最大值，由其几何意义为区域D的点A(3, −2)到直线x+y=10的距离为所求，代入计算可得答案．
【解答】
解：如图为x+2y≤10，2x+y≥3，0≤x≤4，y≥1，表示的可行域（阴影部分），
由其几何意义为区域D的点A到直线x+y=10的距离最大，
即为所求，由2x+y=3，y=1，解得A(1, 1).
由点到直线的距离公式得：
d=|1+1−10|2=42，
则区域D中的点到直线x+y=10的距离最大值等于42.
故选C．
12.
【答案】
B
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
一元二次不等式与一元二次方程
【解析】
依题意，利用基本不等式求出A的最值，然后根据二次函数性质求得B的最大值，比较两个最值的关系即可得出结论．
【解答】
解：∵ a，b都是正实数，且a≠b，利用基本不等式可得A>2，
根据B=−x2+4x−2=−(x−2)2+2≤2，可得B≤2，
∴A>B.
故选B.
二、填空题
【答案】
32
【考点】
等差中项
三角函数的化简求值
【解析】
【解答】
解：∵ a1+a5+a9=3a5=4π，∴ a5=4π3，
sina2+a8=sin2a5=sin8π3=sin2π3=32.
故答案为：32．
【答案】
an=4n−3
【考点】
数列递推式
等差数列的前n项和
【解析】
利用递推关系即可得出．
【解答】
解：∵ Sn=2n2−n，
∴ 当n=1时，a1=1；
当n≥2时，
an=Sn−Sn−1=2n2−n−[2(n−1)2−(n−1)]=4n−3，
当n=1时也成立，
∴ an=4n−3．
故答案为：an=4n−3．
【答案】
7
【考点】
求线性目标函数的最值
简单线性规划
【解析】

【解答】
解：根据约束条件画出可行域如图所示，
平移直线y=−13x，当直线y=−13x+z3过点A时，
目标函数取得最大值．由y−x=1，x+y=3， 可得A1,2，
代入可得z=1+3×2=7．
故答案为：7．
【答案】
③
【考点】
命题的真假判断与应用
必要条件、充分条件与充要条件的判断
全称命题与特称命题
四种命题的定义
【解析】
根据全称命题的定义以及否定的形式，可判断①②的真假；
接下来，根据二次函数的性质、偶函数的性质、正四棱锥的定义和特点，可判断③④真假，从而解答此题．
【解答】
解：①命题“负数的平方是正数”是全称命题，故①错误；
②“∀x∈N，x3>x2”的否定是“∃x0∈N，使x03≤x02”，故②错误；
③若b=0，可得到fx=ax2+c是偶函数；
若fx=ax2+bx+c为偶函数，可得到b=0，
则函数fx=ax2+bx+c为偶函数的充要条件是"b=0" ，故③正确；
④“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题是“底面是正方形的棱锥是正四棱锥”，
根据正棱锥的定义可知为假命题，故④错误．
故答案为：③.
三、解答题
【答案】
解：∵ f(x)=x2+2x，
∴ f(x−1)=(x−1)2+2x−1，
则x≠0且x≠1，
则不等式f(x)−f(x−1)>2x−1，
等价为x2+2x−(x−1)2−2x−1>2x−1，
即2x−2x−1>0，
则2(x−1)−2xx(x−1)=−2x(x−1)>0，
则x(x−1)0，
则2(x−1)−2xx(x−1)=−2x(x−1)>0，
则x(x−1)