2020-2021学年江苏省无锡市高二（上）期中数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年江苏省无锡市高二（上）期中数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了 是直线l1等内容，欢迎下载使用。

1. 命题“∀x∈N，n2>2n”的否定是________．

2. 过点P(−1, 3)且垂直于直线x−2y+3=0的直线方程为________．

3. 是直线l1:x+2ay−1＝0和直线l2：(a+1)x−ay＝0平行的________条件．
（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中，选出适当的一种填空）

4. 若圆C的半径为1，点C与点(2, 0)关于点(1, 0)对称，则圆C的标准方程为________．

5. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角的大小是________．

6. 直线xsinα+y+2＝0的倾斜角的取值范围是________．

7. 设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若V1V2=3π，则S1S2的值为________．

8. 已知直线ax+y+1=0被圆x2+y2−2ax+a=0截得的弦长为2，则实数a的值为________．

9. 在平面直角坐标系xy中，已知椭圆过点，离心率为，则椭圆C的方程为________．

10. 已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同直线，l⊥α，m⊂β．给出下列命题：
①α // β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l // m；③m // α⇒l⊥β； ④l⊥β⇒m // α．
其中正确的命题是________． （填写所有正确命题的序号）．

11. 已知实数x，y满足方程，则的取值范围是________．

12. 已知圆C1：(x−a)2+(y+2)2＝4与圆C2：(x+b)2+(y+2)2＝1相外切，则ab的最大值为________．

13. 若圆C:x2+y2+2x−4y+3=0，关于直线2ax+by+6=0对称，则由点(a, b)向圆所作的切线长的最小值为________．

14. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+＝1(a>b>0)与不过坐标原点O的直线l:y＝kx+m相交与A、B两点，线段AB的中点为M，若AB、OM的斜率之积为-，则椭圆C的离心率为________．
二.解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

（1）求过点A(1, 3)，斜率是直线y＝−4x的斜率的的直线方程；
（2）求经过点A(−5, 2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．

如图，过底面是矩形的四棱锥FABCD的顶点F作EF // AB，使AB＝2EF，且平面ABFE⊥平面ABCD，若点G在CD上且满足DG＝GC．求证：

（1）FG // 平面AED；

（2）平面DAF⊥平面BAF．

在平面直角坐标系xOy中，设命题p：椭圆的焦点在x轴上；命题q：直线l:x−y+m＝0与圆O:x2+y2＝9有公共点．若命题p∧q为假命题，且命题p∨q为真命题，求实数m的取值范围．

如图，在三棱锥D−ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E为BC点，F在棱AC上，且AF=3FC．

1求三棱锥D−ABC的体积；

2求证：AC⊥平面DEF；

3若M为DB中点，N在棱AC上，且CN=38CA，求证：MN // 平面DEF．

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:x2+y2−12x−14y+60＝0及其上一点A(2, 4)．

（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；

（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程；

（3）设点T(t, 0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得TA→+TP→=TQ→，求实数t的取值范围．

如图，在平面直角坐标系xy中，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12，左顶点为A(−4, 0)，过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；

（3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求AD+AEOM的最小值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江苏省无锡市高二（上）期中数学试卷
一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填写在答题卡指定位置处.
1.
【答案】
∃x∈N，n2≤2n
【考点】
命题的否定
【解析】
利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
【解答】
∵ 全称命题的否定是特称命题，
∴ 命题“∀x∈N，n2>2n”的否定是”的否定为：∃x∈N，n5≤2n；
2.
【答案】
2x+y−1=0
【考点】
直线的一般式方程
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】
设与直线x−2y+3=0垂直的直线的方程为 2x+y+c=0，把点P(−1, 3)的坐标代入求出c值，即得所求的直线的方程．
【解答】
解：设所求的直线方程为2x+y+c=0，把点P(−1, 3)的坐标代入得−2+3+c=0，
∴ c=−1，
故所求的直线的方程为2x+y−1=0，
故答案为2x+y−1=0．
3.
【答案】
充分不必要
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
由−a−2a(a+1)＝0，解得a．经过验证可得a，进而判断出结论．
【解答】
由−a−2a(a+1)＝3，解得a＝0或-．
经过验证都满足条件，因此a＝0或-．
∴ 是直线l7:x+2ay−1＝6和直线l2：(a+1)x−ay＝8平行的充分不必要条件．
4.
【答案】
x2+y2＝1
【考点】
圆的标准方程
【解析】
利用中点坐标公式求出圆心坐标，根据圆的半径写出方程．
【解答】
设点C(x, y)，由点C与点(2, 0)关于点(1, 0)对称，
利用中点坐标公式得：x+22=1，y+02=0；
解得：x＝0，y＝0；
又半径为R＝1，
所以圆C的标准方程为：x2+y2＝1．
5.
【答案】
45∘
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
要求线线角，关键是作出线线角，利用平行关系可得线线角．故可求．
【解答】
连接AB1，
∵ E、F分别是正方形A1B3C1D1和ADD3A1的中心，
∴ EF // AB1
∵ AB // CD
∴ ∠B7AB为EF和CD所成的角，
∵ △ABB1中，AB＝AB1，AB⊥AB5，
∴ ∠B1AB＝45∘．
∴ EF和CD所成的角的大小是45∘．
6.
【答案】
[0，]∪[，π)
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
根据题意，求出直线xsinα+y+2＝0的斜率k，分析可得−1≤k≤1，由直线的倾斜角与斜率的关系，计算可得答案．
【解答】
根据题意，直线xsinα+y+2＝0变形为y＝−sinαx−3，
其斜率k＝−sinα，则有−1≤k≤1，
则其倾斜角的范围为：[7，]∪[；
7.
【答案】
32π
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
根据体积比得出a和r的关系，代入面积公式求出面积比即可．
【解答】
解：圆锥的母线l=r2+r2=2r．
V1=a3，S1=6a2，V2=13πr3，S2=πrl=2πr2．
∵ V1V2=a313πr3=3π，∴ a=r．
∴ S1S2=6a22πr2=32π．
故答案为：32π．
8.
【答案】
−2
【考点】
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
【解析】
由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，利用勾股定理解．
【解答】
解：圆x2+y2−2ax+a=0可化为(x−a)2+y2=a2−a，
∴ 圆心为：(a, 0)，半径为：a2−a，
圆心到直线的距离为：d=a2+1a2+1=a2+1．
∵ 直线ax+y+1=0被圆x2+y2−2ax+a=0截得的弦长为2，
∴ a2+1+1=a2−a，
∴ a=−2．
故答案为：−2．
9.
【答案】
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
根据题意，由椭圆的离心率公式可得e2＝＝＝1−＝，变形可得b2＝a2，又由椭圆经过点P的坐标，可得+＝1，联立两式解可得a、b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案．
【解答】
根据题意，椭圆，
若其离心率e＝，则有e3＝＝＝8−＝，
则b2＝a2，
又由椭圆C过点，则有+，
联立两式解可得a2＝2，b2＝3，
则椭圆C的方程为：；
10.
【答案】
①④
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
在①中，由线面垂直的性质定理得l⊥m；在②中，l与m相交、平行或异面；在③中，l与β相交或平行；在④中，由已知得α // β，从而m // α．
【解答】
由α，β是两个不同的平面，l，l⊥α，知：
在①中，α // β⇒l⊥m，故①正确；
在②中，α⊥β⇒l与m相交，故②错误；
在③中，m // α⇒l与β相交或平行；
在④中，l⊥β⇒α // β⇒m // α．
11.
【答案】
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
整理方程，可得(x−2)2+y2＝3(≥0)方程表示以点(2, 0)为圆心，以为半径的圆，设＝k，进而根据圆心(2, 0)到y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值，确定出k的范围，即为所求式子的范围．
【解答】
设＝k，
整理方程，可得x2+y2−2x+1＝0(y≥3)
方程表示圆心坐标为(2, 0)的半圆（y≥0的部分），
当直线与圆相切时，圆心到切线的距离d＝r，即，
解得：k＝±，
则k的取值范围是[0，]．
12.
【答案】
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
【解析】
由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由两圆外切可得|a+b|＝3，要使ab取得最大值，则a，b同号，不妨取a>0，b>0，则a+b＝3，然后利用基本不等式求得ab的最大值．
【解答】
圆C1：(x−a)2+(y+2)2＝4的圆心坐标为(a, −8)，
圆C2：(x+b)2+(y+8)2＝1的圆心坐标为(−b, −6)，
由圆C1：(x−a)2+(y+2)2＝4与圆C7：(x+b)2+(y+2)2＝1相外切，
可得，即|a+b|＝4，
要使ab取得最大值，则a，不妨取a>0，则a+b＝3，
∴ ab．
13.
【答案】
4
【考点】
直线与圆的位置关系
圆的切线方程
【解析】
圆的方程化为标准方程，圆心坐标代入直线2ax+by+6=0，可得点(a, b)在直线l:−x+y+3=0，过C(−1, 2)，作l的垂线，垂足设为D，则过D作圆C的切线，切点设为E，则切线长DE最短，从而可得结论．
【解答】
解：圆C:x2+y2+2x−4y+3=0可化为(x+1)2+(y−2)2=2，
圆心坐标为C(−1, 2)，
∵ 圆C:x2+y2+2x−4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，
∴ 圆心C(−1,2)在直线2ax+by+6=0上，
∴ −2a+2b+6=0，即a−b=3，
又圆的半径为2，
∴ 当点(a,b)与圆心的距离最小时，切线长取得最小值，
又点(a,b)与圆心的距离为：
(a+1)2+(b−2)2=2(a−2)2+18≥18=32，
∴ 切线长的最小值为(32)2−(2)2=4.
故答案为：4.
14.
【答案】
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
设A(x1, y1)，B(x2, y2)．线段AB的中点M(x0, y0)．可得+＝1，+＝1，相减可得：+＝0，利用中点坐标公式、斜率计算公式及其•k＝，即可得出，再利用离心率计算公式即可得出．
【解答】
设A(x1, y1)，B(x4, y2)．线段AB的中点M(x0, y4)．
∵ +＝1，+，
相减可得：+＝8，
把x1+x2＝8x0，y1+y3＝2y0，＝k代入可得：+，
又•k＝，∴ -，解得＝．
∴ e＝＝．
二.解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
【答案】
斜率是直线y＝−4x的斜率的的直线斜率k＝−4×．
利用点斜式可得：y−8＝-(x−7)．
直线经过原点时满足条件：可得直线方程为：y＝-x．
直线不经过原点时，设直线方程为：，把点A(−5+＝1．
化为：x+2y+2＝0．
【考点】
直线的一般式方程与直线的性质
【解析】
（1）斜率是直线y＝−4x的斜率的的直线斜率k＝−4×＝-．利用点斜式可得．
（2）直线经过原点时满足条件：可得直线方程为：y＝-x．直线不经过原点时，设直线方程为：＝1，把点A(−5, 2)代入解得a即可得出．
【解答】
斜率是直线y＝−4x的斜率的的直线斜率k＝−4×．
利用点斜式可得：y−8＝-(x−7)．
直线经过原点时满足条件：可得直线方程为：y＝-x．
直线不经过原点时，设直线方程为：，把点A(−5+＝1．
化为：x+2y+2＝0．
【答案】
∵ DG＝GC，AB＝CD＝2EF，∴ EF // DG．
∴ 四边形DEFG为平行四边形，∴ FG // ED．
又∵ FG // 平面AED，ED⊂平面AED，
∴ FG // 平面AED．
∵ 平面ABFE⊥平面ABCD，平面ABFE∩平面ABCD＝AB，
AD⊥AB，AD⊂平面ABCD，
又∵ AD⊂平面DAF，∴ 平面DAF⊥平面BAF..
【考点】
直线与平面平行
平面与平面垂直
【解析】
（1）点G是DC中点，易证四边形DEFG是平行四边形，从而FG // DE，利用线面平行的判断定理即可得到FG // 面AED；
（2）依题意，可证AD⊥平面ABF，利用面面垂直的判断定理即可证得面DAF⊥面BAF．
【解答】
∵ DG＝GC，AB＝CD＝2EF，∴ EF // DG．
∴ 四边形DEFG为平行四边形，∴ FG // ED．
又∵ FG // 平面AED，ED⊂平面AED，
∴ FG // 平面AED．
∵ 平面ABFE⊥平面ABCD，平面ABFE∩平面ABCD＝AB，
AD⊥AB，AD⊂平面ABCD，
又∵ AD⊂平面DAF，∴ 平面DAF⊥平面BAF..
【答案】
若命题p为真：由题可知，0b>0)的离心率e=12，左顶点为A(−4, 0)，
∴ a＝4，又e=12，∴ c＝2．
又∵ b2＝a2−c2＝12，
∴ 椭圆C的标准方程为x216+y212=1．
直线l的方程为y＝k(x+4)，
由x216+y212=1y=k(x+4) 消元得，x216+[k(x+4)]212=1．
化简得，(x+4)[(4k2+3)x+16k2−12)]＝0，
∴ x1＝−4，x2=−16k2+124k2+3．
当x=−16k2+124k2+3时，y=k(−16k2+124k2+3+4)=24k4k2+3，
∴ D(−16k2+124k2+3,24k4k2+3)．
∵ 点P为AD的中点，∴ P的坐标为(−16k24k2+3,12k4k2+3)，
则kOP=−34k(k≠0)．
直线l的方程为y＝k(x+4)，令x＝0，得E点坐标为(0, 4k)，
假设存在定点Q(m, n)(m≠0)，使得OP⊥EQ，
则kOPkEQ＝−1，即−34k⋅n−4km=−1恒成立，
∴ (4m+12)k−3n＝0恒成立，∴ 4m+12=0−3n=0 ，即m=−3n=0 ，
∴ 定点Q的坐标为(−3, 0)．
∵ OM // l，∴ OM的方程可设为y＝kx，
由x216+y212=1y=kx ，得M点的横坐标为x=±434k2+3，
由OM // l，得AD+AEOM=|xD−xA|+|xE−xA||xM|=xD−2xA|xM|
=−16k2+124k2+3+8434k2+3=13⋅4k2+94k2+3⋯
=13(4k2+3+64k2+3)≥22，
当且仅当4k2+3=64k2+3即k=±32时取等号，
∴ 当k=±32时，AD+AEOM的最小值为22．