人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数学案，共8页。

[重点] 幂函数的定义、图象和性质．
[难点] 利用幂函数的性质解决有关问题．
知识点一 幂函数的概念
[填一填]
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
[答一答]
1．下列函数：①y＝2x3；②y＝x2＋1；③y＝(x＋1)3是幂函数吗？
提示：它们都不满足幂函数的定义，所以都不是幂函数．
知识点二 幂函数的图象
[填一填]
五种常见幂函数的图象
幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝的图象如下图．
[答一答]
2．幂函数y＝xα的图象在第一象限内有何特征？
提示：(1)α>1，图象过点(0,0)，(1,1)，下凸递增，如y＝x2.
(2)0<α<1，图象过点(0,0)，(1,1)，上凸递增，如y＝.
(3)α<0，图象过点(1,1)，以两坐标轴为渐近线，如y＝x－1.
3．为什么幂函数在第四象限内不存在图象？
提示：当x>0时，y＝xα>0，不可能出现y<0的情形，所以幂函数在第四象限不存在图象．
知识点三 幂函数的性质
[填一填]
五类幂函数的性质
[答一答]
4．对于幂函数y＝xα(α是常数，x是自变量)其在第一象限内的单调性是怎样的？
提示：α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上是增函数；
α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上是减函数．
类型一 幂函数的概念
[例1] 下列函数：①y＝x3；②y＝x2＋2x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x.其中幂函数的个数为( )
A．1B．2
C．3D．4
[解析] ②为二次函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B.
[答案] B
幂函数解析式的结构特征：1解析式是单项式；2幂指数为常数，底数为自变量，系数为1.
[变式训练1] (1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，则k＋α＝( C )
A.eq \f(1,2)B．1
C.eq \f(3,2)D．2
(2)已知函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，则m＝－3或1，n＝eq \f(3,2).
解析：(1)由幂函数定义知k＝1，把eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))代入y＝xα得α＝eq \f(1,2)，∴k＋α＝eq \f(3,2).选C.
(2)因为函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，由幂函数的定义得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋2m－2＝1，,2n－3＝0，))
解得m＝－3或1，n＝eq \f(3,2).
类型二 幂函数的图象
[例2] 下图是幂函数y＝xm、y＝xn与y＝x－1在第一象限内的图象，则( )
A．－1B．n<－1,0C．－11
D．n<－1，m>1
[解析] 由y＝xm的图象是横卧抛物线形，知0[答案] B
在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴．
[变式训练2] 幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个区域，分别标记为①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y＝的图象经过的区域对应的序号有( D )
A．④⑦ B．④⑧ C．③⑧ D．①⑤
解析：∵x－eq \r(x)＝eq \r(x)(eq \r(x)－1)，当0∴幂函数y＝的图象经过区域①；当x>1时，x－eq \r(x)>0，即x>eq \r(x)>1，∴幂函数y＝的图象经过区域⑤.
类型三 幂函数的性质应用
[例3] 比较下列各组中三个数的大小．

[分析] 本题考查幂函数．
比较幂值大小的方法
[变式训练3] 比较下列各组中两个值的大小：

1．下列所给出的函数中，是幂函数的是( B )
A．y＝－x3B．y＝x－3
C．y＝2x3D．y＝x3－1
2．如果幂函数f(x)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(1,2)))，那么feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))的值为( D )
A.eq \f(1,2)B．2
C．1D．4
解析：设f(x)＝xα.∵f(x)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(1,2)))，∴eq \f(1,2)＝4α，解得α＝－eq \f(1,2).∴f(x)＝＝4.
3．函数y＝的图象是( B )
解析：∵函数y＝是幂函数，幂函数在第一象限内恒过点(1,1)，排除A，D.当x>1,0<α<1时，y＝xα在直线y＝x下方，排除C，选B.
4．幂函数y＝x－1在[－4，－2]上的最小值为－eq \f(1,2).
解析：∵y＝x－1在(－∞，0)上单调递减，∴y＝x－1在[－4，－2]上递减，∴y＝x－1在[－4，－2]上的最小值是－eq \f(1,2).
5．比较下列各题中两个幂的值的大小：
——本课须掌握的三大问题
1．幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数．
2．幂函数在第一象限内指数变化规律
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．
3．简单幂函数的性质
(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.
(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数．
(3)如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．
分类
比较对象
方法
指数相同，底数不同
xeq \\al(α,1)与xeq \\al(α,2)
利用幂函数y＝
xα的单调性
底数相同，指数不同
ax1与ax2
利用不等式性质
底数、指数都不同
ax1与bx2
寻找“中间量”ax2或
bx1或1或0等