2022届高考数学一轮复习考点创新题拔高练 考点7 空间几何体的表面积和体积

考点7 空间几何体的表面积和体积

一、选择题

1.在正四棱锥中,底面ABCD的边长为,侧棱长为,则它的内切球与正四棱锥的体积之比是(   )
A. B. C. D.

2.如图所示为一个大半球挖去一个小半球(两半球的球心重合)所剩几何体,且大小两半球的半径分别为4,3,则该几何体的表面积为(   )

A. B. C. D.

3.为了给数学家帕西奥利的《神奇的比例》画插图，列奥纳多·达·芬奇给他绘制了一些多面体，如图的多面体就是其中之一.它是由一个正方体沿着各棱的中点截去八个三棱锥后剩下的部分，这个多面体的各棱长均为2，则该多面体外接球的体积等于(   )

A. B. C. D.

4.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，约为0.618.这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金比.在几何世界中有很多黄金图形，在三角形中，如果相邻两边之比等于黄金分割比，且它们的夹角的余弦值为黄金分割比值，那么这个三角形一定是直角三角形，这个三角形称为黄金分割直角三角形.在正四棱锥中，以黄金分割直角三角形的长直角边作为正四棱锥的高，以短直角边的边长作为底面正方形的边心距（正多边形的边心距是正多边形的外接圆圆心到正多边形某一边的距离），斜边作为正四棱锥的斜高，所得到的正四棱锥称为黄金分割正四棱锥.在黄金分割正四棱锥中，以四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥的侧面积之比为(   )

A. B. C.1 D.

5.玉璧是我国传统的玉礼器之一，也是“六瑞”之一，象征着吉祥等寓意.穿孔称作“好”，边缘器体称作“肉”.《尔雅·释器》“肉倍好谓之璧，好倍肉谓之瑗，肉好若一谓之环”.一般把体形扁平、周边圆形、中心有一上下垂直相透的圆孔的器物称为璧.如图所示，某玉璧通高2.5cm，孔径8cm、外径18cm，则该玉璧的体积为(   )

A. B. C. D.

6.如图(1),木楔(xiē)子在传统木工中运用得比较广泛,它使得棒卯配合的牢度得到最大化的满足,是一种简单的机械工具,是填充器物的空隙使其更加牢固的木橛、木片等.图(2)为一个木楔子的直观图,其中,四边形ABCD是长AB为4,宽AD为2的矩形, ,,, ,则该木楔子的体积为(   )

A.12 B. C. D.5

7.如图，在长方体中，，点E,F分别在棱AD,AB上，且是线段EF的中点.过点M作线段AM的垂线交长方体的外接球于点Q，则点Q的轨迹围成的图形的面积为(   )
 

A. B. C. D.

二、填空题

8.在中，，将绕边AC所在直线旋转一周得到几何体，则的侧面积为__________.

9.现有一块长80cm，宽40cm的铁皮，为充分利用这块铁皮，如图有三种设计方案，先剪成扇形然后以扇形为圆锥的侧面做成无底的圆锥形容器（接口不计），比较三个方案选出铁皮利用最充分的方案，该方案做成容器后的容积为________.（铁皮厚度不计）
 

10.中国古代数学专著《九章算术》中对两种特殊的几何体“堑堵”和“阳马”有记载.“堑堵”即是底面为直角三角形，一侧棱垂直于底面的三棱锥.“阳马”即是底面为矩形有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一直三棱柱.过点A作一平面与BC平行交棱于点D，交棱于点E，平面ADE与平面ABC所成的锐角是，的最大值为2.当堑堵的体积与阳马的体积相等时，______.

11.将一块边长为6的正方形纸片，先按图（1）所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，然后将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个正四棱锥模型（如图（2）所示），当该正四棱锥体积最大时，它的底面边长为_______________.
 

12.如图，已知正三棱柱的所有棱长均为12 cm,D,E分别是棱，的中点，平面BDE将正三棱柱截成两部分，则其中较大部分的体积为______.
 

13.任意一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面.像这样，表面连续变形，可变为球面的多面体称为简单多面体.多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其各维对象数总满足一定的数量关系，在三维空间中，多面体欧拉定理可表示为：顶点数+面数-棱数=2.正多面体的每个面都是正n边形，顶点数是V，棱数为E，面数是F，每个顶点连的棱数是m，则下面对于正多面体的描述正确的是_______________.
①在正十二面体中，满足等式：；
②在正多面体中，满足等式：；
③在三维空间中，正多面体有且仅有4种；
④以正六面体各面中心为顶点作一个正八面体，正六面体与正八面体的体积之比为；
⑤以正六面体各面中心为顶点作一个正八面体，正六面体与正八面体的表面积之比为.

参考答案

1.答案：C

解析：因为正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，由勾股定理可得侧面上的三角形的高为.由正四棱锥轴截面为边长为的正三角形，可知正三角形内有一内切圆（内切圆的半径就是内切球的半径），易知内切球的半径为2，正四棱锥的高为，则它们的体积之比为，故选C.
 

2.答案：D

解析：依题意,得大半球的球面面积为，小半球的球面面积为，圆环的面积为，所以该几何体的表面积为，故选D.

3.答案：D

解析：本题考查多面体外接球体积的计算.如图，把该多面体补形为正方体，由所给多面体的棱长为2，得正方体的棱长为，正方体的中心即为多面体的外接球球心，球心到多面体顶点的距离为，即所求外接球的半径，其体积.

4.答案：D

解析：本题考查数学文化背景下的黄金分割正四棱锥的概念及其有关计算.如图，由题可知，为黄金分割直角三角形，设，则.又，则，则，以四棱锥的高为边长的正方形的面积.正四棱锥的四个侧面是全等的，，以四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥的侧面积之比为.故选D.
 

5.答案：C

解析：本题考查简单组合体的体积.由题意知，该玉璧的体积为底面半径为9cm，高为2.5cm的圆柱的体积减去底面半径为4cm，高为2.5cm的圆柱的体积，即.故选C.

6.答案：B

解析：如图，设H为EF的中点，连接DH,CH由四边形ABCD为矩形,得.∠，.又,平面EFDA.由,

，，易得四边形ADHE为正方形，，为等腰直角三角形，，该木楔子的体积.故选B.
 

7.答案：A

解析：由已知得，所以，由点M是线段EF的中点，得与过点M且与AM垂直的直线形成一个平面，过点E作，交于，过点F作交于，由，得平面，此平面与长方体的外接球的交点即为点Q的轨迹，为一圆面，球心O到此平面的距离为平面与平面的距离，为，所以截面圆的半径，所以点Q的轨迹围成的图形的面积为.

8.答案：

解析：如图所示：

因为在中，，
所以所得圆锥的底面半径为，高为，母线为，
所以其侧面积为.

9.答案：

解析：方案二中,,方案三中, ,所以方案二与方案三相比,方案三利用更充分,方案三中剩余,方案一中, ,所以,所以.因为,所以方案三最好,设方案三中围成的圆锥的底面半径为r,母线长为l,高为h,所以,母线长,所以高,所以圆锥的体积.

10.答案：1

解析：过点A作直线m平行于直线BC，则AC,EC都与直线m垂直，直线m与BC,DE都平行，即直线m是平面ABC与平面ADE的交线，所以，易知当E与重合时，.当点D为的中点，E为的中点时，堑堵体积与阳马体积相等，都为三棱柱体积的三分之一，此时.
 

11.答案：

解析：设正四棱锥的底面边长为a，底面对角线长为，
侧棱长为，
高为，
正四棱锥的体积是
，
，由，得.
当该正四棱锥体积最大时，它的底面边长为.

12.答案：

解析：在平面中，延长，交于点P，在平面中，连接交于点F，交CA的延长线于点Q，连接DF，BQ.因为D是的中点，所以，.因为E是的中点，所以，易证，所以.又，所以，所以.所以，，，所以平面BDE截正三棱柱所得较大部分的体积
.
.
 

13.答案：①⑤

解析：本题考查新定义背景下的正多面体的概念、正多面体的体积和表面积公式.
①由欧拉定理：顶点数+面数-棱数得，所以①正确.
②不妨举反例，在正六面体(正方体)中，，，，，，则，，，所以②错误.
③在三维空间中，正多面体有且仅有5种，分别为正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示，所以③错误.

④⑤如图所示：不妨设正六面体(正方体)的棱长为2，正八面体可以看成为两个全等正四棱锥的组合体，则正四棱锥的高为1，棱长为，所以正六面体的体积为，正八面体的体积为，所以正六面体与正八面体的体积之比为6：1.正方体的表面积为，正八面体的表面积为，所以正六面体与正八面体的表面积之比为，所以④错误，⑤正确.故正确的是①⑤.