2020-2021学年北京市丰台区高二（上）期中数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年北京市丰台区高二（上）期中数学试卷人教A版，共6页。

1. 直线3x−y+1=0的倾斜角为( )
A.π6B.π3C.2π3D.5π6

2. 以下现象是随机事件的是（ ）
A.标准大气压下，水加热到100​∘C，必会沸腾
B.长和宽分别为a，b的矩形，其面积为a×b
C.走到十字路口，遇到红灯
D.三角形内角和为180∘

3. 从甲，乙，丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为( )
A.12B.13C.23D.1

4. 已知向量＝(1, 2, 3)，＝(−1, 0, 1)，则+2＝（ ）
A.(−1, 2, 5)B.(−1, 4, 5)C.(1, 2, 5)D.(1, 4, 5)

5. 已知直线l经过点A(0, 4)，且与直线2x−y−3=0垂直，那么直线l的方程是（ ）
A.x+2y−8=0B.x+2y+8=0C.2x−y−4=0D.2x−y+4=0

6. 如图：在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，则下列向量中与BM→相等的向量是（ ）

A.−12a→+12b→+c→B.12a→+12b→+c→
C.−12a→−12b→+c→D.12a→−12b→+c→

7. 甲、乙两个气象站同时作气象预报，如果甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7，那么在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为（ ）
A.0.8B.0.7

8. 已知平面α的一个法向量为＝(1, 2, 1)，A(1, 0, −1)，B(0, −1, 1)，且A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（ ）
A.B.C.D.1

9. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为0.4．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮中至多两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989．据此估计，该运动员三次投篮中至多两次命中的概率为（ ）

10. 已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B如图所示．其中n(Ω)＝12，n(A)＝6，n(B)＝4，n(A∪B)＝8，则事件A与事件（ ）

A.是互斥事件，不是独立事件
B.不是互斥事件，是独立事件
C.既是互斥事件，也是独立事件
D.既不是互斥事件，也不是独立事件
二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．

经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：
则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是________．

已知向量＝(−1, 2, 1)，＝(3, x, y)，且 // ，则x+y＝________．

已知点B是点A(3, 4, 5)在坐标平面Oxy内的射影，则＝________．

已知过点(0, 2)的直线l的方向向量为(1, 6)，点A(a, b)在直线l上，则满足条件的一组a，b的值依次为________．

若直线l经过点P(2, 3)且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为________．

在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，BC＝1，点P在侧面AA1BB1上，若点P到直线AA1和CD的距离相等，则A1P的最小值为________．

三、解答题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

从两名男生（记为B1和B2）和两名女生（记为G1和G2）这四人中依次选取两名学生．
(Ⅰ)请分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样的样本空间；
(Ⅱ)求利用有放回简单随机抽样选到一名男生和一名女生的概率．

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝2．
(Ⅰ)求证：PD⊥AC；
(Ⅱ)求平面PBC与平面PBD的夹角．


甲、乙两人组成“明日之星队”参加“疫情防控与生命健康”趣味知识竞赛．每轮竞赛由甲、乙各答一道题目，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为．在每轮答题中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
(Ⅰ)求甲在两轮答题中，答对一道题目的概率；
(Ⅱ)求“明日之星队”在两轮答题中，答对三道题目的概率．

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC＝90∘，AB＝AC＝2，AA1＝3．M是AB的中点，N是B1C1的中点，点P在线段A1N上，且，Q是BC1与B1C的交点．
(Ⅰ)求证：PQ // 平面A1CM；
(Ⅱ)在线段AA1上是否存在点S，使得直线CS与平面A1CM所成角的正弦值为？请说明理由．

参考答案与试题解析
2020-2021学年北京市丰台区高二（上）期中数学试卷
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.
【答案】
B
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
把直线的方程化为斜截式，求出斜率，根据斜率和倾斜角的关系，倾斜角的范围，求出倾斜角的大小．
【解答】
解：直线3x−y+1=0 即 y=3x+1，故直线的斜率等于3，设直线的倾斜角等于α，
则 0≤α<π，且tanα=3，故 α=60∘.
故选B.
2.
【答案】
C
【考点】
随机事件
【解析】
利用必然事件、随机事件的定义直接求解．
【解答】
在A中，标准大气压下，水加热到100​∘C，必会沸腾是必然事件，故A错误；
在B中，长和宽分别为a，b的矩形，其面积为a×b是必然事件，故B错误；
在C中，走到十字路口，遇到红灯是随机事件，故C正确；
在D中，三角形内角和为180∘是必然事件，故D正确．
3.
【答案】
C
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
从3个人中选出2个人，则每个人被选中的概率都是 23．
【解答】
解：从3个人中选出2个人当代表，则所有的选法共有3种，
即：甲乙、甲丙、乙丙，
其中含有甲的选法有两种，故甲被选中的概率是23.
故选C．
4.
【答案】
A
【考点】
空间向量
向量的线性运算性质及几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
A
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
由题意可求出直线l的斜率，由点斜式写出直线方程化简即可．
【解答】
解：∵ 直线l与直线2x−y−3=0垂直，
∴ 直线l的斜率为−12，
则y−4=−12x，
即x+2y−8=0．
故选：A．
6.
【答案】
A
【考点】
空间向量
向量的线性运算性质及几何意义
【解析】
利用空间向量的加法的三角形法则，结合平行六面体的性质分析解答．
【解答】
由题意，BM→=BC→+CC1→+C1M→=BC→+CC1→+12C1A1→
=BC→+CC1→−12(AB→+BC→)=−12AB→+12BC→+CC1→=−12a→+12b→+c→；
7.
【答案】
D
【考点】
相互独立事件
相互独立事件的概率乘法公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
B
【考点】
点、线、面间的距离计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
9.
【答案】
D
【考点】
n次独立重复试验
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
B
【考点】
互斥事件与对立事件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．
【答案】
0.74
【考点】
互斥事件的概率加法公式
【解析】
由互斥事件的概率公式可得．
【解答】
由表格可得至少有2人排队的概率
P＝0.3+0.3+0.1+0.04＝0.74
【答案】
−9
【考点】
共线向量与共面向量
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
5
【考点】
空间两点间的距离公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
1，8
【考点】
直线的点斜式方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
y=32x或x+y−5=0
【考点】
直线的截距式方程
【解析】
分类讨论：当直线l经过原点时，直线l的方程直接求出；当直线l不经过原点时，设直线l的方程为x+y=a，把点P(2, 3)代入即可得出．
【解答】
解：当直线l经过原点时，直线l的方程为y=32x．
当直线l不经过原点时，设直线l的方程为x+y=a，把点P(2, 3)代入可得2+3=a，
∴ 直线l的方程为x+y−5=0．
综上可得直线l的方程为：y=32x或x+y−5=0．
故答案为：y=32x或x+y−5=0．
【答案】
【考点】
点、线、面间的距离计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、解答题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
【答案】
（1）从两名男生（记为B1和B2）和两名女生（记为G7和G2）这四人中依次选取两名学生，
有放回简单随机抽样时，样本空间为：
Ω1＝{(B2，B1)，(B1, B2)，(B1, G1)，(B4, G2)，(B2, B5)，(B2, B2)，(B5, G1)，(B2, G4)，
(G1, B1)，(G4, B2)，(G1, G4)，(G1, G2)，(G8, B1)，(G2, B3)，(G2, G1)，(G4, G2)}．
不放回简单随机抽样的样本空间为：
Ω2＝{(B3，B2)，(B1, G3)，(B1, G2)，(B8, B1)，(B2, G2)，(B2, G2)，
(G2, B1)，(G1, B6)，(G1, G2)，(G8, B1)，(G2, B4)，(G2, G1)}．
（2）利用有放回简单随机抽样，样本空间为：
Ω5＝{(B1，B1)，(B3, B2)，(B1, G6)，(B1, G2)，(B8, B1)，(B2, B6)，(B2, G1)，(B2, G2)，
(G1, B5)，(G1, B2)，(G3, G1)，(G1, G2)，(G2, B1)，(G4, B2)，(G2, G5)，(G2, G2)}．
共包含16个基本事件，
其中，选到一名男生和一名女生包含的基本事件有7个
(B1, G1)，(B8, G2)，(B2, G2)，(B2, G2)，(G7, B1)，(G1, B8)，(G2, B1)，(G6, B2)，
∴ 选到一名男生和一名女生的概率P＝＝．
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
证明：(Ⅰ)∵ 侧棱PD⊥底面ABCD，且AC⊂底面ABCD，
∴ PD⊥AC；
（2）∵ 侧棱PD⊥底面ABCD，∴ PD⊥DA，
又ABCD为正方形，∴ DA⊥DC，DC，
以D为坐标原点，分别以DA，DP所在直线为x，y，∵ PD＝DC＝2，
∴ D(0, 5, 0)，2，4)，2，0)，4，2)，
＝(2, 3, 0)，，0，3)，，，
设平面PBD的一个法向量为，
由，取y5＝−1，得；
设平面PBC的一个法向量为，
由，取y8＝1，得．
∴ cs<>＝，
由图可知，平面PBC与平面PBD的夹角为锐角，
∴ 平面PBC与平面PBD的夹角为．
【考点】
二面角的平面角及求法
直线与平面垂直
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
（1）每轮竞赛由甲、乙各答一道题目，乙每轮答对的概率为．
在每轮答题中，甲和乙答对与否互不影响．
∴ 甲在两轮答题中，答对一道题目的概率为：
P1＝＝．
（2）“明日之星队”在两轮答题中，答对三道题目的概率为：
P2＝+++＝．
【考点】
相互独立事件
相互独立事件的概率乘法公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
（1）证明：以A为原点，以AC，AA1为坐标轴建立空间直角坐标系A−xyz，
则A1(6, 0, 3)，7，0)，1，3)，1，3)，6，），
∴ ＝(1，1，＝(1，1，-），，1，5)，，0，7)，
∴ ＝＝（，，∴ ＝-＝（，，-），
设平面A1CM的法向量为＝(x，y，则，即，
令z＝2可得＝(6，6，
∴ ＝3×−2×，∴ ，
又PQ⊄平面A1CM，
∴ PQ // 平面A1CM．
（2）假设线段AA7存在点S，使得直线CS与平面A1CM所成角的正弦值为，
不妨设AS＝h(3≤h≤3)，则S(0，7，∴ ＝(−2，0，
∴ cs<，>＝＝，
∴ ＝，解得h＝2，
∴ S为线段AA8靠近A1的三等分点时，直线CS与平面A1CM所成角的正弦值为．
【考点】
直线与平面平行
直线与平面所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答排队人数
0
1
2
3
4
≥5
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04