人教B版 (2019)5.4 数列的应用随堂练习题

专题5.4数列的应用与数学归纳法（A卷基础篇）

参考答案与试题解析

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（2015·湖南高二学业考试）一个蜂巢里有1只蜜蜂.第1天，它飞出去找回了1个伙伴；第2天，2只蜜蜂飞出去，各自找回了1个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂的只数为（     ）

A． B． C． D．

2．（2020·贵州铜仁伟才学校高一期中）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵.”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有（   ）

A．人 B．人

C．人 D．人

3．（2020·四川成都·高一月考（理））“一尺之锤，日取其半，万世不竭”语出《庄子·天下》，意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完（一尺约等于33.33厘米）．这形象地说明了事物具有无限可分性．问：当剩余的棍棒长度小于1厘米时需要截取的最少次数为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

4．（2018·平遥县综合职业技术学校高二期中）某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，这种细菌由1个繁殖成（    ）

A．64 B．128 C．256 D．255

5．（2020·河北桃城·衡水中学高三其他（理））有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍.初日屠五两，今三十日屠讫，向共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？"在这个问题中，该屠夫前5天所屠肉的总两数为（    ）

A．35 B．75 C．155 D．315

6．（2020·琼山·海南中学高三月考）《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问：5人各得多少橘子．”根据这个问题，5人所得橘子个数的中位数是（    ）

A．6 B．8 C．10 D．12

7．（2019·安徽相山·淮北一中高一期中）朱世杰是历史上有名的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数一五间”，有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日？”其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”，在这个问题中，第8天应发大米（  ）

A．350升 B．339升 C．2024升 D．2124升

8．（2020·全国高三专题练习（文））一个蜂巢里有只蜜蜂.第天，它飞出去找回了个伙伴；第天，只蜜蜂飞出去，各自找回了个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂(　　)

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9．（2019·山东济南一中高三期中）设是等差数列，为其前项和，且，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．、均为的最大值

10．（2020·湖南雁峰·衡阳市八中高二月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（    ）

A．此人第三天走了二十四里路

B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里

C．此人第二天走的路程占全程的

D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍

11．（2020·山东曲阜一中月考）在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（    ）

A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第三天走的路程站全程的

C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 D．此人后三天共走了42里路

12．（2019·福建省厦门第六中学高一月考）已知数列是等比数列，有下列四个命题，其中正确的命题有（     ）

A．数列是等比数列 B．数列是等比数列

C．数列是等比数列 D．数列是等比数列

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（2020·内蒙古赤峰·高一期末（文））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________

14．（2020·全国专题练习）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的颜率的比都等于，若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率为_____________.

15．（2020·河南中原·郑州一中高三其他（文））《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设n个月后共有老鼠只，则_____.

16．（2020·浙江高三二模）《九章算术》中有一题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.”该女子第二日织______尺，若女子坚持日日织，十日能织______尺.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（2019·广西壮族自治区柳江中学高一期末）某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付款方式：第一种，每天支付38圆；第二种，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，以此类推：第三种，第一天付0.4元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍），你会选择哪种方式领取报酬呢？

18．（2020·上海杨浦·复旦附中期末）某水泥厂计划用一台小型卡车从厂区库房运送20根水泥电线杆，到一条公路沿着路侧架设，已知库房到该公路入口处500米，从库房出发卡车进入公路后继续行驶，直到离入口50米处时放下第一根电线杆，然后沿着该公路同一侧边每隔50米逐一放下余下电线杆，放完折返库房重新装运剩余电线杆．已知卡车每趟从库房最多只能运送3根水泥杆．问：卡车运送完这批水泥杆，并最终返回库房，至少运送几趟？最少行驶多少米？

19．（2018·上海闵行·高三一模）某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童．此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，公司还获得了相应的广告效益．据测算，首日参与活动人数为人，以后每天人数比前一天都增加，天后捐步人数稳定在第天的水平，假设此项活动的启动资金为万元，每位捐步者每天可以使公司收益元（以下人数精确到人，收益精确到元）．

（1）求活动开始后第天的捐步人数，及前天公司的捐步总收益；

（2）活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？

20．（2020·广西桂林·期末（理））在数列中，已知，.

（1）计算，，；

（2）根据计算结果猜想出的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论.

21．（2019·江西期末（理））设数列的前项和为，且对任意的正整数都满足．

（1）求，，的值，猜想的表达式；

（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的的表达式的正确性．

22．（2019·陕西省商丹高新学校期中（理））某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修维护费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元.

（1）若扣除投资和各种装修维护费，则从第几年开始获取纯利润？

（2）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①纯利润总和最大时，以10万元出售该楼；②年平均利润最大时以46万元出售该楼，问哪种方案更优？