高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式本章综合与测试复习课件ppt

不等式的性质

【例1】　如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则以下列选项中不一定成立的是(　　)

A．ab＞ac　　 B．c(b－a)＞0

C．cb2＜ab2   D．ac(a－c)＜0

C　[c＜b＜a，ac＜0⇒a＞0，c＜0.

对于A：⇒ab＞ac，A正确．

对于B：⇒c·(b－a)＞0，B正确．

对于C：⇒cb2≤ab2cb2＜ab2，C错，即C不一定成立．

对于D：ac＜0，a－c＞0⇒ac(a－c)＜0，D正确，选C.]

不等式真假的判断，要依靠其适用范围和条件来确定，举反例是判断命题为假的一个好方法，用特例法验证时要注意，适合的不一定对，不适合的一定错，故特例只能否定选择项，只要四个中排除了三个，剩下的就是正确答案了.

1．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是(　　)

A．ab>ac   B．ac>bc

C．a|b|>c|b|   D．a2>b2>c2

A　[由a>b>c及a＋b＋c＝0知a>0，c<0，

又∵a>0，b>c，∴ab>ac.故选A.]

2．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________．

－1≤a－b≤6　[∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5，

∴－1≤a－b≤6.]

基本不等式

【例2】　设x<－1，求y＝的最大值．

[解]　∵x<－1，∴x＋1<0.

∴－(x＋1)>0，

∴y＝＝

＝＝(x＋1)＋＋5

＝－＋5

≤－2＋5＝1，

当(x＋1)2＝4，即x＝－3时取“＝”．]

基本不等式的主要应用是求函数的最值或范围，既适用于一个变量的情况，也适用于两个变量的情况.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能.解答此类问题关键是创设应用不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目的在于使等号能够成立.

3．若x，y为实数，且x＋2y＝4，则xy的最大值为________．

2　[xy＝·x·(2y)≤·2＝2(当且仅当x＝2y，且x＋2y＝4，即x＝2，y＝1时取“＝”)．]

一元二次不等式的解法

【例3】　解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a＜0.

[解]　方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a.

函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，所以

(1)当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}；

(2)当a＝－1时，原不等式解集为∅；

(3)当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．

解一元二次不等式时，要注意数形结合，充分利用对应的二次函数图像、一元二次方程的解的关系.如果含有参数，则需按一定的标准对参数进行分类讨论.

4．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是{x|1＜x＜m}，则m＝________.

2　[因为ax2－6x＋a2<0的解集是{x|1＜x＜m}，

所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，

且m>1⇒⇒]

不等式恒成立问题

【例4】　(1)若不等式x2＋mx－1＜0对于任意x∈{x|m≤x≤m＋1}都成立，则实数m的取值范围是________．

(2)对任意－1≤m≤1，函数y＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．

(1)－＜m＜0　[由题意，得函数y＝x2＋mx－1在{x|m≤x≤m＋1}上的最大值小于0，又抛物线y＝x2＋mx－1开口向上，

所以只需

即解得－＜m＜0.]

(2)[解]　由y＝x2＋(m－4)x＋4－2m

＝(x－2)m＋x2－4x＋4，

g＝(x－2)m＋x2－4x＋4可看作以m为自变量的一次函数．

由题意知在－1≤m≤1上，g的值恒大于零，

所以

解得x＜1或x＞3.

故当x＜1或x＞3时，对任意的－1≤m≤1，函数y＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零．

对于恒成立不等式求参数范围问题常见类型及解法有以下两种：

1变更主元法

根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元.

2转化法求参数范围

已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值的集合为B＝{y|m≤y≤n}，

则1y≥k恒成立⇒ymin≥k即m≥k；

2y≤k恒成立⇒ymax≤k即n≤k.

5．若不等式ax2－2x＋2>0对于满足1<x<4的一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．

[解]　∵1<x<4，

∴不等式ax2－2x＋2>0可化为a>.

令y＝，且1<x<4，

则y＝＝－22＋≤，

当且仅当＝，即x＝2时，函数y取得最大值，

∴a>即为所求．