高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换课文内容课件ppt

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5.5.2　简单的三角恒等变换 学 习 目 标核 心 素 养1.能用二倍角公式导出半角公式，能用两角和与差的三角函数公式导出积化和差、和差化积公式．体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．(重点)2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．(难点、易错点)1.通过公式的推导，培养逻辑推理素养.2.借助三角恒等变换的简单应用，提升数学运算素养.半角公式(1)sin＝± ，(2)cos＝± ，(3)tan＝± ，(4)tan＝＝＝，tan＝＝＝.1．已知180°＜α＜360°，则cos的值等于(　　)A．－　 B.C．－   D.C　[∵180°＜α＜360°，∴90°＜＜180°，又cos2＝，∴cos α＝－.]2．已知cos α＝，α∈，则sin 等于(　　)A.　　　B．－     C.　　　D.A　[由题知∈，∴sin >0，sin ＝＝.]3．已知2π＜θ＜4π，且sin θ＝－，cos θ＜0，则tan的值等于________．－3　[由sin θ＝－，cos θ＜0得cos θ＝－，∴tan＝＝＝＝＝－3.]化简求值问题【例1】　(1)设5π＜θ＜6π，cos＝a，则sin等于(　　)A.　　　 B.C．－   D．－(2)已知π<α<，化简：＋.[思路点拨]　(1)先确定的范围，再由sin2＝得算式求值．(2)1＋cos θ＝2cos2，1－cos α＝2sin2，去根号，确定的范围，化简．(1)D　[∵5π＜θ＜6π，∴∈，∈.又cos＝a，∴sin＝－＝－.](2)[解]　原式＝＋.∵π＜α＜，∴＜＜，∴cos＜0，sin＞0，∴原式＝＋＝－＋＝－cos.1．化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．2．利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系．(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2＝，cos2＝计算．(4)下结论：结合(2)求值．提醒：已知cos α的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．1．已知cos θ＝－，且180°<θ<270°，求tan .[解]　法一：∵180°<θ<270°，∴90°<<135°，即是第二象限角，∴tan <0，∴tan ＝－＝－＝－2.法二：∵180°<θ<270°，即θ是第三象限角，∴sin θ＝－＝－＝－，∴tan ＝＝＝－2.三角恒等式的证明【例2】　求证：＝sin 2α.[思路点拨]　法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明；法二：cos2α不变，直接用二倍角正切公式变形．[证明]　法一：用正弦、余弦公式．左边＝＝＝＝＝sincoscos α＝sin αcos α＝sin 2α＝右边，∴原式成立．法二：用正切公式．左边＝＝cos2α·＝cos2α·tan α＝cos αsin α＝sin 2α＝右边，∴原式成立．三角恒等式证明的常用方法1执因索果法：证明的形式一般化繁为简；2左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；3拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；4比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；5分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.2．求证：＝.[证明]　左边＝＝＝＝＝＝＝右边．所以原等式成立．恒等变换与三角函数图象性质的综合【例3】　已知函数f(x)＝cos－2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期．(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.[思路点拨]　→→→[解](1)f(x)＝cos－2sin xcos x＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin，所以T＝＝π.(2)证明：令t＝2x＋，因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤，因为y＝sin t在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)≥sin＝－，得证．三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝asin ωx＋bcos ωx＋k的形式，借助辅助角公式化为y＝Asinωx＋φ＋k或y＝Acosωx＋φ＋k的形式，将ωx＋φ看作一个整体研究函数的性质.3．已知函数f(x)＝sin＋2sin2(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．[解]　(1)∵f(x)＝sin＋2sin2＝sin＋1－cos＝2＋1＝2sin＋1＝2sin＋1，∴T＝＝π.(2)当f(x)取得最大值时，sin＝1，有2x－＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)，∴所求x的集合为. 三角函数在实际问题中的应用[探究问题]1．用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？提示：通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影响．2．建立三角函数模型后，通常要将函数解析式化为何种形式？提示：化成y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式．【例4】　如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？[思路点拨]　→→[解]　设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsin α，OB＝Rcos α，∴l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsin α＋Rcos α＝R(sin α＋cos α)＋R＝Rsin＋R.∵0<α<，∴<α＋<，∴l的最大值为R＋R＝(＋1)R，此时，α＋＝，即α＝，即当α＝时，△OAB的周长最大．1．在例4条件下，求长方形面积的最大值．[解]　如图所示，设∠AOB＝α，则AB＝Rsin α，OA＝Rcos α.设矩形ABCD的面积为S，则S＝2OA·AB，∴S＝2Rcos α·Rsin α＝R2·2sin αcos α＝R2sin 2α.∵α∈，∴2α∈(0，π)．因此，当2α＝，即α＝时，Smax＝R2.这时点A，D到点O的距离为R，矩形ABCD的面积最大值为R2.2．若例4中的木料改为圆心角为的扇形，并将此木料截成矩形，(如图所示)，试求此矩形面积的最大值．[解]　如图，作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连接OE，设∠MOE＝α，α∈，在Rt△MOE中，ME＝Rsin α，OM＝Rcos α，在Rt△ONH中，＝tan，得ON＝NH＝Rsin α，则MN＝OM－ON＝R(cos α－sin α)，设矩形EFGH的面积为S，则S＝2ME·MN＝2R2sin α(cos α－sin α)＝R2(sin 2α＋cos 2α－)＝2R2sin－R2，由α∈，则＜2α＋＜，所以当2α＋＝，即α＝时，Smax＝(2－)R2.应用三角函数解实际问题的方法及注意事项1方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.2注意：在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系.②注意实际问题中变量的范围.③重视三角函数有界性的影响.提醒：在利用三角变换解决实际问题时，常因忽视角的范围而致误.1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．2．研究形如f(x)＝asin x＋bcos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a、b应熟练掌握．例如sin x±cos x＝sin；sin x±cos x＝2sin等.1．思考辨析(1)cos ＝.(　　)(2)存在α∈R，使得cos ＝cos α.(　　)(3)对于任意α∈R，sin ＝sin α都不成立．(　　)(4)若α是第一象限角，则tan ＝.(　　)[提示]　(1)×.只有当－＋2kπ≤≤＋2kπ(k∈Z)，即－π＋4kπ≤α≤π＋4kπ(k∈Z)时，cos ＝.(2)√.当cos α＝－＋1时，上式成立，但一般情况下不成立．(3)×.当α＝2kπ(k∈Z)时，上式成立，但一般情况下不成立．(4)√.若α是第一象限角，则是第一、三象限角，此时tan ＝成立．[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√2．若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]是减函数，则a的最大值是(　　)A.　　　　B.　　　　C.　　　　 D．πC　[f(x)＝cos x－sin x＝cosx＋.当x∈[0，a]时，x＋∈，a＋，所以结合题意可知，a＋≤π，即a≤，故所求a的最大值是.故选C.]3．函数f(x)＝sin2x的最小正周期为________．π　[因为f(x)＝sin2x＝，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.]4．北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，求cos 2θ.[解]　由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈，所以cos θ－sin θ＝.由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2，所以cos θ＋sin θ＝，所以cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝.