综合卷（课件+教案+练习）

专题强化训练(三)　函数的概念与性质

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)

A．[－1,2]　B．(－1,2]　C．[2，＋∞)　D．[1，＋∞)

B　[由得－1<x≤2，故选B.]

2．设f(x)＝2x＋3，g(x)＝f(x－2)，则g(x)＝(　　)

A．2x＋1  B．2x－1  C．2x－3   D．2x＋7

B　[∵f(x)＝2x＋3，∴f(x－2)＝2(x－2)＋3＝2x－1，即g(x)＝2x－1，故选B.]

3．下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)的是(　　)

A．f(x)＝x2　　 B．f(x)＝

C．f(x)＝|x|   D．f(x)＝2x＋1

B　[由题意可知f(x)是(0，＋∞)上的单调递减函数，故选B.]

4．函数y＝x在[－1,1]上是(　　)

A．增函数且是奇函数   B．增函数且是偶函数

C．减函数且是奇函数   D．减函数且是偶函数

A　[由幂函数的性质知，当α＞0时，y＝xα在第一象限内是增函数，所以y＝x在(0,1]上是增函数．令y＝f(x)＝x，x∈[－1,1]，则f(－x)＝(－x)＝－x＝－f(x)，所以f(x)＝x是奇函数．

因为奇函数的图象关于原点对称，所以当x∈[－1,0)时，y＝x也是增函数．

当x＝0时，y＝0，又当x＜0时，y＝x＜0，当x＞0时，y＝x＞0，所以y＝x在[－1,1]上是增函数．

故y＝x在[－1,1]上是增函数且是奇函数．]

5．函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列命题：

①f(0)＝0；

②若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1；

③若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数；

④若x>0时，f(x)＝x2－2x，则x<0时，f(x)＝－x2－2x.其中正确命题的个数是(　　)

A．1　　　　B．2           C．3　　　　 D．4

C　[f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝0，①正确；其图象关于原点对称，且在对称区间上具有相同的单调性，最值相反且互为相反数，所以②正确，③不正确；对于④，x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x，即④正确．]

二、填空题

6．函数y＝的单调区间是________．

(－∞，－1)和(－1，＋∞)　[因为y＝可由y＝向左平移1个单位得到，

画出函数的图象，如图，

结合图象可知该函数的递减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)．]

7．函数f(x)＝x2－2ax＋1在区间[－1,2]上的最小值是f(2)，则a的取值范围是________．

[2，＋∞)　[由题意可知f(x)在[－1,2]上单调递减，故a≥2.]

8．已知函数y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2，且g(1)＝1，则g(－1)＝________.

3　[由g(1)＝1，且g(x)＝f(x)＋2，∴f(1)＝g(1)－2＝－1，又y＝f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝1，

从而g(－1)＝f(－1)＋2＝3.]

三、解答题

9．已知函数f(x－1)＝x2＋(2a－2)x＋3－2a.

(1)若函数f(x)在区间[－5,5]上为单调函数，求实数a的取值范围；

(2)求a的值，使f(x)在区间[－5,5]上的最小值为－1.

[解]　令x－1＝t，则x＝t＋1，f(t)＝(t＋1)2＋(2a－2)·(t＋1)＋3－2a＝t2＋2at＋2，所以f(x)＝x2＋2ax＋2.

(1)因为f(x)图象的对称轴为x＝－a，

由题意知－a≤－5或－a≥5，解得a≤－5或a≥5.

故实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)．

(2)当a>5时，f(x)min＝f(－5)＝27－10a＝－1，解得a＝(舍去)；

当－5≤a≤5时，f(x)min＝f(－a)＝－a2＋2＝－1，解得a＝±；

当a<－5时，f(x)min＝f(5)＝27＋10a＝－1，解得a＝－(舍去)．综上，a＝±.

10．定义在R上的偶函数f(x)在y轴左方(含原点)的图象如图所示，且解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0，x≤0)．

(1)补全函数f(x)的图象；

(2)求出函数f(x)的解析式；

(3)讨论方程f(x)＝d的根的个数；

(4)作出y＝|f(x)|的图象．

[解]　(1)f(x)的图象如图1所示．

图1

(2)由图象得，

即

解之得a＝－1，b＝－1，c＝0.

所以当x≤0时，f(x)＝－x2－x.当x>0时，－x<0.

所以f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x.

又f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，

所以f(x)＝－x2＋x.

所以f(x)的解析式为f(x)＝

也可以写成f(x)＝－x2＋|x|.

(3)由y＝d的图象(图略)，y＝f(x)的图象知(如图1)，

当d>时，方程f(x)＝d无实根；

当d＝或d<0时，方程f(x)＝d有两个实根；

当d＝0时，方程f(x)＝d有三个实根；

当0<d<时，方程f(x)＝d有四个实根．

(4)y＝|f(x)|的图象如图2所示．

图2

[等级过关练]

1．已知f(x)＝x＋－1，f(a)＝2，则f(－a)＝(　　)

A．－4　　　B．－2　　　C．－1　　　D．－3

A　[∵f(x)＝x＋－1，∴f(a)＝a＋－1＝2，∴a＋＝3，∴f(－a)＝－a－－1＝－－1＝－3－1＝－4.]

2．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是(　　)

A．(－∞，2)   B．(－2,2)

C．(2，＋∞)   D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

B　[由题意知f(－2)＝f(2)＝0，当x∈(－2,0)时，f(x)<f(－2)＝0，由对称性知，x∈[0,2)时，f(x)为增函数，f(x)<f(2)＝0，故x∈(－2,2)时，f(x)<0，因此选B.]

3．设函数y＝f(x)是偶函数，它在[0,1]上的图象如图．则它在[－1,0]上的解析式为________．

f(x)＝x＋2　[由题意知f(x)在[－1,0]上为一条线段，且过(－1,1)，(0,2)，设f(x)＝kx＋b，代入解得k＝1，b＝2.

所以f(x)＝x＋2.]

4．已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－2,3]上的最大值为6，则a的值为________．

或－5　[f(x)＝ax2＋2ax＋1＝a(x＋1)2＋1－a，对称轴x＝－1，

当a>0时，图象开口向上，在[－2,3]上的最大值为

f(3)＝9a＋6a＋1＝6，所以a＝；

当a<0时，图象开口向下，在[－2,3]上的最大值为

f(－1)＝a－2a＋1＝6，所以a＝－5.

综上，a的值为或－5.]

5．已知奇函数f(x)＝px＋＋r(p，q，r为常数)，且满足f(1)＝，f(2)＝.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)试判断函数f(x)在区间上的单调性，并用函数单调性的定义进行证明；

(3)当x∈时，f(x)≥2－m恒成立，求实数m的取值范围．

[解]　(1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

∴r＝0.又即解得

∴f(x)＝2x＋.

(2)f(x)＝2x＋在区间上单调递减．

证明如下：

设任意的两个实数x1，x2，且满足0<x1<x2≤，

则f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)＋－

＝2(x1－x2)＋

＝.

∵0<x1<x2≤，

∴x2－x1>0,0<x1x2<，1－4x1x2>0，

∴f(x1)－f(x2)>0，

∴f(x)＝2x＋在区间上单调递减．

(3)由(2)知f(x)＝2x＋在区间上的最小值是f＝2.

要使当x∈时，f(x)≥2－m恒成立，

只需当x∈时，f(x)min≥2－m，

即2≥2－m，解得m≥0，

即实数m的取值范围为[0，＋∞)．