高考人教版数学知识点总结及例题解析

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高考所有知识点
高中数学专题一 集合
一、集合有关概念
集合的中元素的三个特性：
(1) 元素的确定性 互异性 无序性
(1) 集合的表示方法：列举法与描述法。
u 注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作：N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
即：① 任何一个集合是它本身的子集。AÍA
②真子集:如果AÍB,且A¹ B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)
③如果 AÍB, BÍC ,那么 AÍC
④ 如果AÍB 同时 BÍA 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
u 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集


u 高考试题
u 3．不等式的解集是 （ ）
u A．　　　 B．且
u C．　　　 D．且
u 5．设集合，，则 （ ）
A．　 B．　　　 C．　　　 D．
6．设A、B、I均为非空集合，且满足AB I，则下列各式中错误的是 （ ）
A．(A)∪B=I B．(A)∪(B)=I
C．A∩(B)= D．(A)(B)= B
（2）设为全集，是的三个非空子集，且，则下面论断正确的是 ( )
（A） （B）
（C） （D）
⑴、设集合，，则 ( )
A． B．
C． D．
5．设，集合，则 ( ) www.xkb123.com
A．1 B． C．2 D．
1．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
（1）已知集合，，则中所含元素的个数为 ( )
（A）3 （B）6 (C) 8 （D）10
2.已知全信U＝（1，2，3， 4，5），集合A＝,则集合CuA等于 ( )
（A）　　 （B） (C) (D)
2．已知全集，集合，，则集合中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
1．设不等式的解集为M，函数的定义域为N，则为 ( )
（A）[0，1） （B）（0，1） （C）[0，1] （D）（-1，0] 、
1.集合A= {x∣}，B=，则= （D）
（A） (B) (C) {x∣ } (D) {x∣}
1. 集合，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
1、设全集为R，函数的定义域为M，则为 ( )
A、 B、 C、 D、

答案 DBCBC –D
答案BBADC-
高中数学专题二 复 数
一．基本知识

【1】复数的基本概念
（1）形如a + bi的数叫做复数（其中）；复数的单位为i，它的平方等于－1，即.其中a叫做复数的实部，b叫做虚部
实数：当b = 0时复数a + bi为实数
虚数：当时的复数a + bi为虚数；
纯虚数：当a = 0且时的复数a + bi为纯虚数
（2）两个复数相等的定义：

（3）共轭复数：的共轭记作；
（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；，对应点坐标为；（象限的复习）
（5）复数的模：对于复数，把叫做复数z的模；
【2】复数的基本运算
设，
（1） 加法：；
（2） 减法：；
（3） 乘法： 特别。
（4）幂运算：
【3】复数的化简
（是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：
对于，当时z为实数；当z为纯虚数是z可设为进一步建立方程求解

二． 例题分析
【变式2】（2010年全国卷新课标）已知复数，则=
A. B. C.1 D.2
【例4】已知，
（1） 求的值；
（2） 求的值；
（3） 求.
【变式1】已知复数z满足，求z的模.

【变式2】若复数是纯虚数，求复数的模.

【例5】（2012年全国卷 新课标）下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（ ）
的共轭复数为的虚部为

【例6】若复数（i为虚数单位），
（1） 若z为实数，求的值
（2） 当z为纯虚，求的值.

【变式1】设是实数，且是实数，求的值..

【变式2】若是实数，则实数的值是 .
【例7】复数对应的点位于第 象限
【变式1】是虚数单位,等于 ( )
A．i B．-i C．1 D．-1
【变式2】已知=2+i,则复数z=（）
（A）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i
【变式3】i是虚数单位，若，则乘积的值是
（A）－15 （B）－3 （C）3 （D）15
【例8】（2012年天津）复数= （ ）
（A） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
【变式4】（2007年天津）已知是虚数单位， （ ）
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ．
【变式5】.（2011年天津）已知是虚数单位，复数= （ ）
ABCD
【变式6】（2011年天津） 已知i是虚数单位，复数（ ）
(A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i

高中数学专题三 函数


（定义域、值域、映射、抽象函数、单调性、奇偶性、最值、极值、指数函数、对数函数、幂函数、一次、二次函数、反比例函数 、导数）

第一章、函数的有关概念
1．函数的概念： y=f(x)，x∈A．自变量x;定义域A；函数值y，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
注意：
1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)
2．值域 : 先考虑其定义域
4．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
5．映射
A、B集合，对应法则f， A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”
对于映射f：A→B来说，则应满足：
(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；
(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6.分段函数

补充：复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

二．函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
（1）增函数
定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x10)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，且|PF1|＝|PF2|，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.＋1
C. D.＋1
解析：∵(＋)·＝0，
∴OB⊥PF2且B为PF2的中点，
又O是F1F2的中点

∴OB∥PF1，∴PF1⊥PF2.
则
整理，可得(－1)c＝2a，
∴e＝＝＋1.
答案：D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
7．(2011·江西)若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．
解析：可知其中一个切点(1,0)为椭圆的右焦点，∴c＝1.
两切点的连线AB被OP垂直平分，∴所求直线OP斜率kOP＝.∴kAB＝－2，
∴直线AB：y－0＝－2(x－1)
∴y＝－2x＋2，∴上顶点坐标为(0,2)．
∴b＝2，a2＝b2＋c2＝5
∴椭圆方程＋＝1.
答案：＋＝1
8．(2011·课标)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．
解析：由已知4a＝16，a＝4，又e＝＝，
∴c＝2，
∴b2＝a2－c2＝8，∴椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
9．(2011·浙江)设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若＝5，则点A的坐标是____________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵F1(－，0)，F2(，0)，

∵＝(x1＋，y1)，＝(x2－，y2)，
∴(x1＋，y1)＝5(x1－，y2)，
∵⇒，
又∵点A，B都在椭圆上，
∴＋y＝1，
＋y＝1，
∴＋(5y2)2＝1，
∴＋25y＝1，
∴25－20x2＋24＝1，
∴25－20x2＋24＝1，
∴x2＝，∴x1＝5x2－6＝0，
∴把x1＝0代入椭圆方程得y＝1，∴y1＝±1，
∴点A(0，±1)．
答案：(0，±1)
10．(2011·全国)已知F1、F2分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2,0)，AM为∠F1AF2的角平分线，则|AF2|＝________.
解析：如图所示，

由角平分线定理知：＝，
∵点M为(2,0)，
∴点A在双曲线的右支上，
∵F1(－6,0)，F2(6,0)，a＝3，
∴|F1M|＝8，|F2M|＝4，
∴＝＝2， ①
又由双曲线定义知|AF1|－|AF2|＝2a＝6， ②
由①②解得|AF2|＝6.
答案：6
三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11．(12分)(2011·江西)P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)上一点，M、N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值．

解：(1)点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线－＝1上，有－＝1，
由题意又有·＝，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，则e＝＝.
(2)联立，得4x2－10cx＋35b2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)
则①
设＝(x3，y3)，＝λ＋，即
又C为双曲线上一点，即x－5y＝5b2，有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2
化简得：λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2
又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，
所以x－5y＝5b2，x－5y＝5b2
由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2
得λ2＋4λ＝0，解出λ＝0或λ＝－4.




12．(13分)(2011·辽宁)如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e.直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.

(1)设e＝，求|BC|与|AD|的比值；
(2)当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．
解：(1)因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设
C1：＋＝1，C2：＋＝1(a>b>0)．
设直线l：x＝t(|t|