2020-2021学年广西省桂林市高二（上）期末考试数学（理）试卷人教A版

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这是一份2020-2021学年广西省桂林市高二（上）期末考试数学（理）试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 命题“若x<1，则x2<1”的逆命题是（）
A.若x≥1，则x2≥1B.若x2<1，则x<1
C.若x2≥1，则x≥1D.若x2<1，则x≤1

2. 不等式(x+1)(x−2)<0的解集为（）
A.{x|x<−1或x>2}B.{x|−11}D.{x|−2
3. 若a，b， c∈R且a>b，则一定有( )
A.a−c>b−cB.a−bc>0C.1a<1bD.a2>b2

4. 在等差数列an中，若a1=2，a2=4，则a4=（）

A.6B.8C.16D.32

5. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=45∘，B=60∘，a=2，则b=( )
A.6B.2C.3D.26

6. 设x，y满足约束条件 x+y≥0，x≤1，y≤0，则z=2x+y的最大值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3

7. 双曲线x2−y28=1的渐近线方程是（）
A.y=±xB.y=±22xC.y=±2xD.y=±24x

8. 已知命题p:∀x∈R，x>sinx，则（）
A.¬p:∃x0∈R，x0C.¬p:∃x0∈R，x0≤sinx0D.¬p:∀x∈R，x
9. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，c=3，B=π6，则△ABC的面积为（）
A.32B.34C.32D.34

10. 若a∈R，则“a>2”是“|a|>2”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件

11. 已知x>0，y>0，且2x+1y=1，若2x+y>m恒成立，则实数m的取值范围是（）
A.(−∞,7]B.−∞,7C.(−∞,9]D.−∞,9

12. 设抛物线C: y2=4x的焦点为F，过F的直线与C交于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为( )
A.22B.2C.322D.32
二、填空题

若x∈0,+∞，则x+4x的最小值是________.

设P是椭圆x242+y232=1上的动点，则P到该椭圆的两焦点距离之和为________.

若等比数列{an}的各项均为正数且a4a7=9，则lg3a1+lg3a2+...+lg3a10=________.

已知F是双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点，O为坐标原点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N，若OM→⋅MF→=0，|MN|=b，则C的离心率为________．
三、解答题

记Sn为等差数列an的前n项和，已知a1=−1，S3=3.
(1)求an的通项公式；

(2)求Sn.

已知a∈R，命题p:∀x∈1,2，a≤x2；命题q:∃x0∈R，x02+2ax0−a−2=0.
(1)若p是真命题，求a的最大值；

(2)若p∨q是真命题， p∧q是假命题，求a的取值范围．

如图，在△ABC中，D是BC上的点，AB=33，BD=4, C=π3，AD=7.

(1)求角B的大小；

(2)求△ACD的面积．

某单位建造一间背面靠墙的小房，地面是面积为12m2的矩形，房高为3m．因地理位置的限制，房屋侧面的宽度x不得超过5m，房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，不计房屋背面的费用，设房屋的总造价为y元．
(1)求y用x表示的函数关系式；

(2)当x为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？

设数列an满足a1+3a2+⋯+2n−1an=2n.
(1)求an的通项公式；

(2)记数列ann的前n项和为Tn，证明： Tn<3.

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的两个焦点与短轴的一个端点恰好围成面积为3的等边三角形．
(1)求C的方程；

(2)如图，设C的左，右顶点分别为A，B，右焦点为F，P是C上异于A，B的动点，直线AP与直线x=a交于点D，当点P运动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广西省桂林市高二（上）期末考试数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
四种命题间的逆否关系
【解析】
直接根据逆命题的定义即可得解.
【解答】
解：∵ 原命题是：若x<1，则x2<1，
∴ 其逆命题是：若x2<1，则x<1.
故选B.
2.
【答案】
B
【考点】
一元二次不等式的解法
【解析】
利用一元二次不等式(x−x1)(x−x2)<0(x1【解答】
解：∵ (x+1)(x−2)<0，
∴ −1∴ 原不等式的解集为{x|−1故选B．
3.
【答案】
A
【考点】
不等式性质的应用
【解析】
利用不等式的基本性质即可判断出结论．
【解答】
解：由a>b，则a−c>b−c，故A正确；
而a−bc与0的大小关系不确定，故B错误；
1a与1b的大小关系不确定，例如取a=2，b=−1，12>−1，故C错误；
a2与b2的大小关系不确定，例如取a=1，b=−2，12<(−2)2，故D错误．
故选A．
4.
【答案】
B
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
利用等差数列通项公式先求出公差d，由此能求出a4.
【解答】
解：设等差数列{an}的公差为d，
∵ a1=2，a2=4，
∴ d=a2−a1=4−2=2，
∴ a4=a1+3d=2+6=8.
故选B.
5.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
【解析】
由A，B的度数求出sinA与sinB的值，以及a的值，利用正弦定理即可求出b的值．
【解答】
解：∵ A=45∘，B=60∘，a=2，
∴ 由正弦定理asinA=bsinB得：
b=asinBsinA=2×3222=6．
故选A.
6.
【答案】
C
【考点】
简单线性规划
求线性目标函数的最值
【解析】
（1）画出不等式组表示的平面区域，利用数形结合进行求解即可.
【解答】
解：画出不等式组表示的平面区域如下图所示：
由z=2x+y得y=−2x+z，
平移直线y=−2x+z，
由图象可知当直线y=−2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，
联立y=0，x=1，解得A(1,0)，
则zmax=2×1+0=2.
故选C.
7.
【答案】
B
【考点】
双曲线的渐近线
【解析】
根据双曲线渐近线方程的求法，结合题意，直接计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，双曲线的方程为x2−y28=1，
则其渐近线方程为x2−y28=0，
化简可得22x±y=0．
故x2−y28=1的渐近线方程为：y=±22x．
故选B.
8.
【答案】
C
【考点】
命题的否定
【解析】
根据全称命题否定的方法，结合已知中原命题，可得答案．
【解答】
解：∵ p:∀x∈R，x>sinx，
∴ p的否定形式为∃x0∈R，x0≤sinx0.
故选C.
9.
【答案】
D
【考点】
三角形的面积公式
【解析】
由已知利用三角形的面积公式即可计算得解．
【解答】
解：因为a=1，c=3，B=π6，
所以S△ABC=12acsinB=12×1×3×12=34.
故选D.
10.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
（1）根据题目所给信息进行解题即可.
【解答】
解：已知|a|>2 ，解得a<−2或a>2，
则“a>2”是“|a|>2”的充分不必要条件.
故选A.
11.
【答案】
D
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】

【解答】
解：因为2x+1y=1，且x>0，y>0，
所以2x+y=2x+y2x+1y
=4+1+2xy+2yx≥5+22xy⋅2yx=9，
当且仅当2xy=2yx，即x=y=3时，等号成立，
所以2x+y的最小值为9，
所以m<9.
故选D.
12.
【答案】
C
【考点】
抛物线的应用
三角形的面积公式
【解析】
设直线AB的倾斜角为θ，利用|AF|=3，可得点A到准线l:x=−1的距离为3，从而csθ=13，进而可求|BF|，|AB|，由此可求AOB的面积．
【解答】
解：设直线AB的倾斜角为θ(0<θ<π)及|BF|=m，
∵ |AF|=3，
∴ 点A到准线l:x=−1的距离为3，
∴ 2+3csθ=3，
∴ csθ=13，
∵ m=2+mcs(π−θ)，
∴ m=21+csθ=32，
∴ △AOB的面积为S=12×|OF|×|AB|×sinθ
=12×1×(3+32)×223=322.
故选C．
二、填空题
【答案】
4
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
直接利用基本不等式求最值即可.
【解答】
解：∵ x∈0,+∞，
∴ x+4x≥2x⋅4x=4，
当且仅当x=4x，即x=2时取等号，
∴ x+4x的最小值为4.
故答案为：4.
【答案】
8
【考点】
椭圆的定义
【解析】
直接利用椭圆方程，结合椭圆定义求解即可．
【解答】
解：椭圆x242+y232=1中，a=4，
由椭圆的定义可知，P到该椭圆的两焦点距离之和为2a=8．
故答案为：8．
【答案】
10
【考点】
等比数列的性质
对数的运算性质
【解析】
利用等比数列和对数的性质，结合题设条件导出lg3a1+lg3a2+...+lg3a10=lg3(a1⋅a2⋅)=lg3(a4a7)5，由此能够求出其结果．
【解答】
解：∵ 等比数列{an}中，每项均是正数，且a4a7=9，
∴ lg3a1+lg3a2+...+lg3a10
=lg3(a1⋅a2⋅)
=lg3(a4a7)5
=lg3310
=10．
故答案为：10.
【答案】
2
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的渐近线
双曲线的标准方程
【解析】
根据双曲线渐近线的性质，得到MF|=b，即M是NF的中点，求出M，N的坐标，建立方程进行求解即可．
【解答】
解：依题意作图，
双曲线的渐近线OM：y=bax，ON:y=−bax，Fc,0.
∵OM→⋅MF→=0，|MN|=b，
∴MF是焦点到渐近线的距离，则|MF|=b，
则|MF|=|MN|，即M是NF的中点，
则NF的斜率为k=−ab，NF的方程为y=−ab(x−c)，
由y=bax,y=−abx−c,
得x=a2c,y=abc,
即Ma2c,abc，
设Nm,n，则m+c2=a2c，n2=abc，
即m=2a2c−c，n=2abc，.
∵N在直线y=−bax上，
∴2abc=−ba2a2c−c，即−2a2=2a2−c2，
得4a2=c2，即c=2a，
则离心率e=ca=2.
故答案为：2．
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ 等差数列an中， a1=−1， S3=3，
∴ a1=−1 ，3a1+3d=3，
解得a1=−1， d=2，
∴ an=−1+2n−1=2n−3.
(2)∵ a1=−1， an=2n−3，
∴ Sn=a1+ann2=−1+2n−3n2 =n2−2n．
【考点】
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ 等差数列an中， a1=−1， S3=3，
∴ a1=−1 ，3a1+3d=3，
解得a1=−1， d=2，
∴ an=−1+2n−1=2n−3.
(2)∵ a1=−1， an=2n−3，
∴ Sn=a1+ann2=−1+2n−3n2 =n2−2n．
【答案】
解：(1)令fx=x2−a，
根据题意，若命题p为真命题，
只要x∈1,2时，fxmin≥0即可，
也就是1−a≥0，
即a≤1，
∴ a的最大值为1.
(2)由(1)知，命题p为真命题时，a≤1；
命题q为真命题时， Δ=4a2−42−a≥0，
解得a≤−2或a≥1.
∵ 命题“p∨q”为真命题，命题"p∧q"为假命题，
∴ 命题p与q一真一假，
当命题p为真，命题q为假时，−2当命题p为假，命题q为真时，a>1.
综上：a>1或−2【考点】
复合命题及其真假判断
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)令fx=x2−a，
根据题意，若命题p为真命题，
只要x∈1,2时，fxmin≥0即可，
也就是1−a≥0，
即a≤1，
∴ a的最大值为1.
(2)由(1)知，命题p为真命题时，a≤1；
命题q为真命题时， Δ=4a2−42−a≥0，
解得a≤−2或a≥1.
∵ 命题“p∨q”为真命题，命题"p∧q"为假命题，
∴ 命题p与q一真一假，
当命题p为真，命题q为假时，−2当命题p为假，命题q为真时，a>1.
综上：a>1或−2【答案】
解：(1)在△ABD中，
csB=AB2+BD2−AD22×AB×BD
=27+16−72×33×4
=32.
(2)由(1)知B=π6，C=π3，
所以∠BAC=π2.
又AB=33，所以AC=3，BC=6.
由BD=4，知DC=2，
所以S△ACD=12×AC×DC×sinC
=12×3×2×32=332.
【考点】
余弦定理
三角形的面积公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)在△ABD中，
csB=AB2+BD2−AD22×AB×BD
=27+16−72×33×4
=32.
(2)由(1)知B=π6，C=π3，
所以∠BAC=π2.
又AB=33，所以AC=3，BC=6.
由BD=4，知DC=2，
所以S△ACD=12×AC×DC×sinC
=12×3×2×32=332.
【答案】
解：(1)因为侧面宽度为x，则正面长度为12x，
由题意可得：y=3(2x×150+12x×400)+5800
=900(x+16x)+5800(0故y=900(x+16x)+5800(0(2)由(1)可得：
y=900(x+16x)+5800
≥900×2x⋅16x+5800
=900×8+5800=13000.
当且仅当x=16x，即x=4时，ymin=13000，
所以当x为4m时，总造价最低，最低总造价是13000元．
【考点】
根据实际问题选择函数类型
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
（1）求出正面的长度，即可求出y；（2）利用基本不等式即可求解．
【解答】
解：(1)因为侧面宽度为x，则正面长度为12x，
由题意可得：y=3(2x×150+12x×400)+5800
=900(x+16x)+5800(0故y=900(x+16x)+5800(0(2)由(1)可得：
y=900(x+16x)+5800
≥900×2x⋅16x+5800
=900×8+5800=13000.
当且仅当x=16x，即x=4时，ymin=13000，
所以当x为4m时，总造价最低，最低总造价是13000元．
【答案】
(1)解：当n=1时， a1=2，
当n≥2时，
a1+3a2+⋯ +2n−3an−1+2n−1an=2n ①，
a1+3a2+⋯+2n−3an−1=2n−1 ②，
∴ ①−②得： 2n−1an=2，
∴ an=22n−1n≥2．
当n=1时， a1=2，上式也成立，
∴ an=22n−1n∈N∗ .
(2)证明：由(1)知ann=22n−1n．
当n=1时， a1=2，
当n≥2时， ann=22n−1n<22n−2n
=1n−1n=1n−1−1n，
∴ Tn≤2+1−12+12−13+⋯+1n−1−1n
=3−1n<3.
【考点】
数列的概念及简单表示法
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)解：当n=1时， a1=2，
当n≥2时，
a1+3a2+⋯ +2n−3an−1+2n−1an=2n ①，
a1+3a2+⋯+2n−3an−1=2n−1 ②，
∴ ①−②得： 2n−1an=2，
∴ an=22n−1n≥2．
当n=1时， a1=2，上式也成立，
∴ an=22n−1n∈N∗ .
(2)证明：由(1)知ann=22n−1n．
当n=1时， a1=2，
当n≥2时， ann=22n−1n<22n−2n
=1n−1n=1n−1−1n，
∴ Tn≤2+1−12+12−13+⋯+1n−1−1n
=3−1n<3.
【答案】
解：(1)设椭圆半焦距为c，
依题意有12⋅2c⋅3c=3，
则c=1，b=3，a=2，
故C的方程为x24+y23=1.
(2)以BD为直径的圆与直线PF相切，
证明如下：易知A−2,0，B2,0，F1,0，在点B处的切线方程为x=2，
由题意可设直线AP的方程为y=kx+2k≠0，
则点D坐标为2,4k，BD中点E的坐标为2,2k，
由y=kx+2,x24+y23=1,得3+4k2x2+16k2x+16k2−12=0，
设点P的坐标为x0,y0，则−2x0=16k2−123+4k2，
所以x0=6−8k23+4k2，y0=kx0+2=12k3+4k2，
①当k=±12时，点P的坐标为1,±32，点D的坐标为2,±2，
直线PF⊥x轴，此时以BD为直径的圆x−22+y±12=1与直线PF相切．
②当k≠±12时，则直线PF的斜率kPF=y0x0−1=4k1−4k2，
所以直线PF的方程为y=4k1−4k2x−1，
点E到直线PF的距离：
d=|8k1−4k2−2k−4k1−4k2|16k21−4k22+1=|2k+8k31−4k2|1+4k2|1−4k2|=2|k|，
又因为|BD|=2R=4|k|，故以BD为直径的圆与直线PF相切．
综上得，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆的位置关系
圆与圆锥曲线的综合问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设椭圆半焦距为c，
依题意有12⋅2c⋅3c=3，
则c=1，b=3，a=2，
故C的方程为x24+y23=1.
(2)以BD为直径的圆与直线PF相切，
证明如下：易知A−2,0，B2,0，F1,0，在点B处的切线方程为x=2，
由题意可设直线AP的方程为y=kx+2k≠0，
则点D坐标为2,4k，BD中点E的坐标为2,2k，
由y=kx+2,x24+y23=1,得3+4k2x2+16k2x+16k2−12=0，
设点P的坐标为x0,y0，则−2x0=16k2−123+4k2，
所以x0=6−8k23+4k2，y0=kx0+2=12k3+4k2，
①当k=±12时，点P的坐标为1,±32，点D的坐标为2,±2，
直线PF⊥x轴，此时以BD为直径的圆x−22+y±12=1与直线PF相切．
②当k≠±12时，则直线PF的斜率kPF=y0x0−1=4k1−4k2，
所以直线PF的方程为y=4k1−4k2x−1，
点E到直线PF的距离：
d=|8k1−4k2−2k−4k1−4k2|16k21−4k22+1=|2k+8k31−4k2|1+4k2|1−4k2|=2|k|，
又因为|BD|=2R=4|k|，故以BD为直径的圆与直线PF相切．
综上得，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．

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