人教版12.3 角的平分线的性质示范课ppt课件

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∵ PD⊥OA，PE⊥OB PD=PE ∴ OC平分∠AOB.
证明角相等;证明角的倍分关系
第十二章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第3课时 角平分线的性质与判定解题课
1.会应用角平分线的性质和判定解决一些实际问题.2.会应用角平分线的性质和判定证明角相等、相等相等.
重点:角平分线的性质和判定的综合应用.难点:角平分线的性质和判定解决实际问题.
知识点一：角平分线与全等三角形结合证明线段相等
例1：如图:所示， 在△ABC中,AD是∠BAC的平分线，E,F分别为AB,AC上的点，且∠AED +∠AFD= 180º.求证：DE=DF.
证明:如图所示，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N,
∵AD是∠BAC的平分线，∴DM= DN.
∵∠AED+∠AFD= 180º,∠DFN+∠AFD=180º.∴∠AED= ∠DFN,
在∆DEM和∆DFN中，
∴∆DEM≌∆DFN(AAS),∴DE=DF.
运用角的平分线及全等三角形的性质判断线段的关系或角的关系时： 通常是利用角的平分线性质得出全等三角形，建立更多的相等线段和相等的角，进而为解决问题创造条件.
1：如图所示，已知∠AOB=90º，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA,OB交于点C,D. PC和PD有怎样的数量关系?证明你的结论，
知识点二：角平分线与全等三角形结合证明角之间的关系
例2：如图所示， ∠1=∠2,P为BN上一点,且PD⊥BC于D,AB+ BC= 2BD,求证：∠ BAP+∠BCP=180º.
解析:要证明两个角的和是180º,可把它们移到一起，证它们是邻补角.
证法1:过P作PE⊥BA于E,如图所示，
∵PD⊥BC,∠1=∠2,∴PE=PD.
在Rt∆BPE和Rt∆BPD中，
∴Rt∆BPE≌Rt∆BPD(HL),
∵AB+ BC=2BD, BC=CD+ BD, AB=BE -AE,∴AE=CD.
∵PE⊥BE,PD⊥BC,∴∠PEB=∠PDC= 90º.
在∆PEA和∆PDC中，
∴∆PEA≌∆PDC(SAS),
∴∠PCB= ∠PAE.∵∠BAP+∠EAP=180º∴∠BAP+∠BCP=180º，
证法2:在BC上截取BF= BA,连接PF,如图
证法3:在BC上取点E，使DE= BD,连接PE,如图所示，
1.如图所示，已知CD⊥AB于D,BE⊥AC于E ,CD,BE相交于点O,OB=OC.求证：∠1=∠2.
2.如图所示，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=CD，BD平分∠ ABC.求证：∠A+∠C= 180º.
例3：如图, CE⊥AB, BF⊥AC,BF交CE于点D,且BD=CD.(1)求证:点D在∠BAC的平分线上;
证明:∵CE⊥AB,BF⊥AC, ∴∠DEB=∠DFC=90º，
在△DEB和△DFC中，
∴∆DEB≌∆DFC(AAS).
知识点三：角平分线的性质与判定的综合运用
又∵CE⊥AB, BF⊥AC,∴点PD在∠BAC的平分线上.
(2)若将条件“BD=CD”与结论“点D在∠BAC的平分线上”互换，成立吗?试说明理由，
解:(2)成立，理由如下:
∵点 D在∠BAC的平分上,CE⊥AB.BF⊥AC,
在∆DEB和∆DFC中，
∴∆DEB≌∆DFC(ASA)，∴BD=CD.
证明角平分线的方法: (1) 定义法：证明两个角相等; (2)应用“角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上”来证明.应用此定理判定角平分线时，需要满足两个条件: “垂直”和“相等”.
1.如图所示，已知∆ABC中，D是BC上的点，连接AD.(1)若AD为角平分线，求证:S∆ABD∶S∆ACD=AB∶AC;(2)若S∆ABD∶S∆ACD=AB∶AC,求证:AD平分∠BAC.
例4：如图所示，在∆ABC中，BD平分∠ABC,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=12, BC=18.(1)求S∆ABD : S∆BCD的值;
知识点四：运用角平分线的性质解决面积问题
解析:(1)根据角平分线的性质得到DE=DF,根据三角形的面积公式计算即可得到答案;(2)根据三角形的面积公式计算即可求出DE的长.
解:(1)∵BD平分∠ABC, DE⊥AB于E,DF⊥BC于F, ∴DE= DF,
例4：如图所示，在∆ABC中，BD平分∠ABC,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=12, BC=18.(2)若S∆ABC =36，求DE的长.
计算图形的面积，能直接利用公式的，代入公式直接计算，但很多情况无法直接利用面积公式进行计算，这种情况一般是将图形重新分割成能直接计算面积的几部分.然后通过组合的方法计算或表示图形的面积。
1.如图，AD是∆ABC的角平分线，DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,∆ADG和∆AED的面积分别为49和40，求△EDF的面积.
2、如图,∆ABC的三边AB, BC, CA的长分别为40, 50,60,其三条角平分线交于点O,求S∆AOB:S∆BOC:S∆COA.
证明: 如图 所示，过点G作GH⊥AC于点H,
在Rt∆AHG和Rt∆ABG中，
∴Rt∆AHG≌Rt∆ABG. ∴AH =AB.同理CH=CD
又∵AG, CG分别平分∠EAC和∠FCA,∴ BG= HG= DG，
知识点五：运用角平分线的性质证明线段的和差
例5：如图所示，AE//CF,AG,CG分别平分∠EAC和∠FCA,过点G的直线BD⊥AE,交AE于B,交CF于D,求证:AB+CD=AC.
解析:首先过点G作GH⊥AC于点H,由AE//CF,BD⊥ AE,可得GD⊥CD,GB⊥AB,又由AG,CG分别平分∠EAC和∠FCA,根据角平分线的性质得出HG= BG,进而判断出∆AHG≌∆ABG,即可得出AH=AB,同理CH=CD,即可得结论.
∴AB+CD=AH+CH=AC
∵AE//CF，BD⊥AE,∴GD⊥ CD.
证明线段的和差关系的方法: 要证明一条线段的长度等于另两条线段的长度的和，可采用转化的方法，即将两条线段转化为一条线段. 常采用的方法是通过角平分线上的点向角的两边作垂线段，根据角平分线的性质得到线段相.
2、如图,在∆ABC中，∠ABC=90º,D为BC上一点，在∆ADE中，∠E=∠C,∠1=90º﹣ ∠EDC(1)求证：∠1=∠2.(2)求证：ED=BC+BD
对自己说，你有什么收获？ 对同学说，你有什么温馨提示？ 对老师说，你还有什么困惑？