苏教版必修13.3 幂函数教案

3．3　幂函数

教学目标：

1．了解幂函数的概念，会画出幂函数的图象．

2．能根据幂函数的图象，了解幂函数的性质．

3．会用几个常见的幂函数性质比较大小．

教学过程：

1．幂函数

一般地，我们把形如的函数叫做幂函数.

判断函数是否为幂函数时要根据定义，即的系数为1，指数位置的为一个常数，或者经过变形后满足条件的均可．

【做一做1】下列函数是幂函数的有________．

①y＝x2

②y＝

③y＝x3＋x

④y＝2x

⑤y＝x－3

答案：①②⑤

2．幂函数的图象与性质

函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．

从图中可以观察得到它们的特征如下：

【做一做2－1】，，的大小关系是__________．

答案：a＜b＜c

【做一做2－2】函数的奇偶性是__________，单调性是__________．

答案：奇函数　在R上单调递增

【做一做2－3】函数y＝x－2的值域为__________．

答案：(0，＋∞)

当n取不同的有理数时，幂函数y＝xn的图象及性质．

剖析：我们只研究n是有理数的情况，规定n＝是既约分数：

(1)如下表所示：

(2)当n∈N*时，定义域为R；

当n＝0时，定义域为{x|x≠0}；

当n为负整数时，定义域为{x|x≠0}；

当n＝(p，q∈N*，q＞1，且p，q互质)时，①若q为偶数，则定义域为[0，＋∞)，②若q为奇数，则定义域为R，

当n＝－(p，q∈N*，q＞1，且p，q互质)时，①若q为偶数，则定义域为(0，＋∞)，②若q为奇数，则定义域为{x|x≠0}．

(3)①在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．

②当n＞0时，图象都通过原点，并且在(0，＋∞)上的图象是上升的，向上无限伸展，是增函数；当n＝0时，图象是除去点(0,1)的直线y＝1；当n＜0时，图象都不过原点，并且在(0，＋∞)上的图象是下降的，向右与x轴无限靠近，是减函数．

③在直线x＝1的右侧，指数n越大图象位置越高．

题型一  幂函数的性质

【例1】当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)x－5m－3为减函数，求实数m的值．

分析：幂函数的一般形式为y＝xα，说明其系数为1，由此确定m值．

解：由条件得解得m＝2.

反思：对于幂函数y＝xα来说，其系数为1，当题目中还有其他性质时，必须根据此性质写出约束条件．本题函数在(0，＋∞)上为减函数，说明指数小于0.

【例2】将四个数1.20.5,1.20.6,0.51.2,0.61.2按从小到大的顺序排列．

分析：本题要用到两类函数，既要运用指数函数的性质，又要运用幂函数的性质，不能混淆两种函数．

解：因为函数y＝1.2x在R上单调递增，

所以1.20.6＞1.20.5＞1.20＝1.

因为函数y＝x1.2在(0，＋∞)上单调递增，

所以0.51.2＜0.61.2＜11.2＝1.

综上所述，0.51.2＜0.61.2＜1.20.5＜1.20.6.

反思：在函数值的大小比较中，0和1是两个特殊值，它们起着桥梁作用．

题型二  幂函数的图象及其应用

课堂总结