数学苏教版3.4.2 函数模型及其应用教案及反思

与三角函数有关的一类实际应用题

编写：吴梦佳         审核：

    高考常见应用题模型：（1）函数与不等式模型；（2）函数与导数模型；（3）三角函数模型；（4）数列模型。江苏高考一直坚持以建模为主的应用题的考查，如何由实际问题转化为数学问题（即数学化）是复习的关键。12年方程模型，13年解不等式模型，14年解析几何背景的条件不等式模型，15年函数与导数模型，16年和17年立体几何为背景。

【目标】：

运用三角函数、解三角的相关知识建立三角模型并能解决相关问题。

【典例导析】：

典例1.

某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转180°而成，如图2.已知圆O的半径为10 cm，设∠BAO＝θ，0<θ<，圆锥的侧面积为S cm2.

(1) 求S关于θ的函数关系式；

(2) 为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S最大．求S取得最大值时腰AB的长度．

【反思】

解数学问题应用题重点在过好三关：

（1）事理关：阅读理解，知道命题所表达的内容；

（2）文理关：将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言，用数学关系式表述事件；

（3）数理关：由题意建立相关的数学模型，将实际问题数学化，并解答这一数学模型，得出符合实际意义的解答。

典例2.一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施，其轴截面如图中实线所示是等腰梯形，米，在AB的延长线上，为锐角圆E与都相切，且其半径长为米是垂直于AB的一个立柱，则当的值设计为多少时，立柱EO最矮？

【反思】：

典例3.

    如图，直线l是湖岸线，O是l上一点，弧是以O为圆心的半圆形栈桥，C为湖岸线l上一观景亭，现规划在湖中建一小岛D，同时沿线段CD和DP（点P在半圆形栈桥上且不与点A，B重合）建栈桥，考虑到美观需要，设计方案为DP=DC，∠CDP=60°且圆弧栈桥BP在∠CDP的内部，已知BC=2OB=2（km），设湖岸BC与直线栈桥CD，DP是圆弧栈桥BP围成的区域（图中阴影部分）的面积为S（km2），∠BOP=θ

（1）求S关于θ的函数关系式；

（2）试判断S是否存在最大值，若存在，求出对应的cosθ的值，若不存在，说明理由．

【试一试】．在一个直角边长为m的等腰直角三角形ABC的草地上，铺设一个也是等腰直角三角形PQR的花地，要求P、Q、R三点分别在⊿ABC的三条边上，且要使⊿PQR的面积最小．现有两种设计方案：

方案一：直角顶点Q在斜边AB上，R、P分别在直角边AC、BC上；

方案二：直角顶点Q在直角边BC上，R、P分别在直角边AC、斜边AB上；

请问应选用哪一种方案？并说明理由．