苏教版必修1第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.3 幂函数教案设计

《幂函数》教学设计

一．　教材分析

幂函数是继指数函数和对数函数后研究的又一基本函数。通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触的函数，进一步确立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合检测。

二．　学情分析

学生通过对指数函数和对数函数的学习，已经初步掌握了如何去研究一类函数的方法，即由几个特殊的函数的图象，归纳出此类函数的一般的性质这一方法，为学习本节课打下了基础。

三．　教学目标

1．知识目标

（1）通过实例，了解幂函数的概念；

（2）会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质；

（3）了解幂函数随幂指数改变的性质变化情况。

 2．能力目标

在探究幂函数性质的活动中，培养学生观察和归纳能力，培养学生数形结合的意识和思想。

3． 情感目标

     通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，培养学生合作、交流、探究的意识品质，同时让学生在探索、解决问题过程中，获得学习的成就感。

四．　教学重点  常见的幂函数的图象和性质。

五．　教学难点  画幂函数的图象引导学生概括出幂函数性质。

六．　教学用具  多媒体

七．　教学过程

（一）创设情境（板书）

我们知道对于N＝ab，N随b的变化而变化，我们建立了指数函数y＝ax；如果a一定，b随N的变化而变化，我们建立了对数函数y＝logax.设想：如果b一定，N随a的变化而变化，是不是也应该可以确定一个函数呢？本节我们就来探讨这个问题．

问题一：下列问题中的函数各有什么特征？（课件投影）

（1）某人购买了每千克1元的蔬菜x千克，应付y元，这里x与y的关系是什么？

（2）正方形的边长为x，则它的面积y是多少？

（3）如果正方体的棱长为x，那么它的体积y是多少？

（4）如果正方形场地的面积为x，那么它的边长y是多少？

（5）某人在xs内骑车匀速行进了1km，那么他的速度y(km/s)是多少?

 由学生讨论、总结，即可得出都是自变量的若干次幂的形式．

问题二：这五个函数关系式从结构上看有什么共同的特点吗？

这时，学生观察可能有些困难，老师提示，可以用x表示自变量，用y表示函数值，上述函数式变成：y＝xa的函数，其中x是自变量，a是实常数．由此揭示课题：今天这节课，我们就来研究：幂函数

（二）、建立模型

定义：一般地，函数y＝xa叫作幂函数，其中x是自变量，a是实常数。

（投影:为了研究方便，我们只对 是有理数的情况进行一些讨论

常见的幂函数有 y＝x，y＝x2，y＝x1， y＝x3 ， y＝x0.5

特殊的幂函数还有 y＝ x0 ，你知道它的定义域吗？

深化认知

判断：下列函数是幂函数的是：

 总结：　幂函数的结构特征

学生回答，老师点评。

学生完成跟踪练习1

教师投影

引导：有了幂函数的概念后，我们接下来做什么？―――研究幂函数的性质。

      通过什么方式来研究？――――――画函数的图象。

      为使作图高效，我们可先做点什么―――分析函数的定义域、奇偶性。

（三）问题探究

1.   探究：请尝试填写表格中七个幂函数的定义域及奇偶性，为了便于判断，可将

分数指数幂可还原成         形式，负指数幂可还原成         形式

教师引导学生从函数解析式出发来研究函数性质，学生填表，教师投影

2.完善表格并通过列表作图分别在同一坐标系下作出下列两组幂函数在第一象限内的图象

教师将学生分成3组分别画出三类不同幂指数的图像，并让每组代表回答自己所画的这类幂函数图像所过的定点、单调性、凹凸性等特征；

师生一起总结：幂函数的图像和性质

①     请在下图直角坐标系中，作出幂指数在第一象限内的大致图像，并总结幂函数在第一象限内的性质:

并归纳出它们在第一象限具有的共同性质．

学生回答，老师点评：幂函数的性质．

⒈     幂函数在区间(0，＋)上都有定义，

且图像都不会出现在第     象限中；

⒉     定点：幂函数都通过点     

特别地，当时，还过点     

⒊     单调性及凹凸性：

当       时，幂函数在区间(0，＋)上都单调递增；

特别地，当       时，图像上凸，当       时，图像下凹

当       时，幂函数在区间(0，＋)上都单调递减，

图像均       ，并与两坐标轴           

⒋     指数大小与图像高低的关系：

幂函数在直线       的     侧，指大图高，左侧正好相反

提醒学生课后将其余两组图像画完并再次对比利用上述性质

教师引导学生完成跟踪练习2

如图是幂函数y＝xm，y＝xn与y＝x1在第一象限的图象，则实数m，n与－1，0，1的大小关系是　　　　　　　．

教师引导：

②     请由表格中的定义域及奇偶性补全上述七个幂函数其余部分图像并填好表格中各个函数的单调性，可知：

幂函数图像的作图步骤：先作出幂函数在          内的图像，再根据          完成整个函数的图像.

（四）拓展延伸

将下列函数序号填在相应图象下面的括号里。

（五）归纳小结

今天的学习内容和方法有哪些？你有哪些收获和经验？

（六）布置作业：

课本 第90页习题1-5题

附：板书设计

教学后记

（１）本节课开始时要注意用相关熟悉例子引入新课。

（２）画函数图象时，为提高课堂效率，可分三组，一定要让学生动手操作画图，以提高学生探索问题的兴趣和能力。

（３）由于课程标准对幂函数的研究范围有相对限制，故要求较低。

（４）由于幂函数的性质随幂指数的改变会出现较大的变化，因此要学生在一节课中象指数函数和对数函数那样完全掌握这类函数的性质是比较困难的，因此本人采用了从特殊到一般、再从一般到特殊的方法安排教学：先重点研究了几个常见的幂函数的图象和性质，然后通过几何画板软件动态演示幂函数的图象（在第一象限）随幂指数连续变化情况，让学生归纳幂函数性质随幂指数改变的变化情况（其他象限内的情况，可结合奇偶性得到），最后再通过改变画板中的幂函数的幂指数（用参数的方法），让学生预测将要出现什么样的图象，让学生检测自己探索成果的有效性，体验成功，享受学习的乐趣。