高中数学4.3 对数教案及反思

 4.3.2　对数的运算

课程标准：掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件．掌握换底公式并能用换底公式进行求值、化简．

教学重点：对数的运算性质、换底公式．

教学难点：灵活运用对数运算性质和换底公式.

教学过程

基础知识

知识点一　对数运算性质

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么，

(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；

(2)loga＝logaM－logaN；

(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．

思考1：在积的对数运算性质中，三项的乘积式loga(MNQ)是否适用？你能得到一个怎样的结论？

提示：适用，loga(MNQ)＝logaM＋logaN＋logaQ，积的对数运算性质可以推广到真数是n个正数的乘积．

知识点二　换底公式

(1)对数的换底公式：logab＝(a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0)．

(2)三个较为常用的推论

①logab·logbc·logca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不为1)；

②logab＝(a>0，b>0，且均不为1)；

③logambn＝logab(a>0，b>0，且均不为1，m≠0)．

基础自测

1．若，，，，，下列式子中正确的个数是(　　)

①；

②；

③；

④.

A．0　     B．1      C．2    D．3

[解析] 由对数运算法则知，均不正确．故选A．

2．等于(　　)

A．1 B．2

C．5 D．6

[解析]　.

3．(2020·天津和平区高一期中测试)计算：_____.

[解析] 原式.

4.求下列各式的值：

(1)；(2)lg5＋lg2；

(3)ln3＋ln；(4)log35－log315.

[解析] (1)方法一：log3(27×92)＝log327＋log392＝log333＋log334＝3log33＋4log33＝3＋4＝7；

方法二：log3(27×92)＝log3(33×34)＝log337＝7log33＝7.

(2)lg5＋lg2＝lg(5×2)＝lg10＝1.

(3)ln3＋ln＝ln(3×)＝ln1＝0.

(4)log35－log315＝log3＝log3＝log33－1＝－1.

题型探究

题型一  对数运算性质的应用

例1　用logax，logay，logaz表示：

(1)loga(xy2)；(2)loga(x)；(3)loga.

[解析]　(1)loga(xy2)＝logax＋logay2＝logax＋2logay.

(2)loga(x)＝logax＋loga＝logax＋logay.

(3)loga＝loga＝[logax－loga(yz2)]

＝(logax－logay－2logaz)．

[归纳提升]　对对数式进行计算、化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质．二要注意取值范围对符号的限制．

【对点练习】❶ 用logax、logay、logaz表示下列各式：

(1)loga(x3y5)；(2)loga.

[解析] (1)loga(x3y5)＝logax3＋logay5＝3logax＋5logay.

(2)loga＝loga－loga(yz)

＝logax－(logay＋logaz)

题型二  利用对数运算性质化简、求值

例2　化简下列各式：

(1)log2(23×45)；

(2)；

(3)lg14－2lg＋lg7－lg18；

(4)log2＋log2；

(5)log2(1＋＋)＋log2(1＋－)．

[分析]　熟练掌握对数的运算性质并能逆用性质是解题的关键．进行对数运算，要注意法则的正用和逆用．在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案．

[解析]　(1)log2(23×45)＝log223＋log245

＝3＋5log24＝3＋5×2＝13.

(2)＝＝＝1.

(3)方法一：lg14－2lg＋lg7－lg18

＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)

＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.

方法二：lg14－2lg＋lg7－lg18

＝lg14－lg()2＋lg7－lg18

(4)log2＋log2

＝log2[()()]＝log2＝log24＝2.

(5)log2(1＋＋)＋log2(1＋－)

＝log2[(1＋)2－()2]＝log2(3＋2－3)

＝log22＝log22＝.

＝lg＝lg1＝0.

[归纳提升]　利用对数运算性质化简与求值的原则

(1)正用或逆用公式，对真数进行处理．

(2)选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．

【对点练习】❷ 计算下列各式的值：

(1)(2020·湖南衡阳高一期末测试)log3＋lg－lg4；

(2)(2020·江苏、苏州市高一期中测试)(lg5)2＋lg2×lg50.

[解析]　(1)原式＝

＝＋lg＝＋lg10－1

＝－1＝.

(2)原式＝(lg5)2＋lg2×lg(5×10)

＝(lg5)2＋lg2×(1＋lg5)

＝(lg5)2＋lg2＋lg2·lg5

＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2

＝lg5＋lg2＝lg10＝1.

题型三  换底公式的应用

例3　(1)计算log2·log3·log5；

(2)若log34·log48·log8m＝log42，求m的值．

[分析]　(1)对数的底数不同，如何将其化为同底的对数？

(2)等式左边前一个对数的真数是后面对数的底数，利用换底公式很容易进行约分求解m的值．

[解析] (1)原式＝··

＝＝－12.

(2)由题意，得··＝＝，∴lgm＝lg3，即lgm＝lg3，

∴m＝.

[归纳提升] 关于换底公式的用途和本质：

(1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对数，然后查表求值，以此来解决对数求值的问题．

(2)换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．

(3)在运用换底公式时，若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如logab＝；logaan＝n，logambn＝logab；lg2＋lg5＝1等，将会达到事半功倍的效果．

【对点练习】❸ 计算下列各式的值：

(1)log89·log2732；

(2)log927；

(3)log2·log3·log5.

[解析] (1)log89·log2732＝·＝·＝·＝.

(2)log927＝＝＝＝.

(3)log2·log3·log5

＝log25－3·log32－5·log53－1

＝－3log25·(－5log32)·(－log53)

＝－15···

＝－15.

误区警示

忽视真数大于零致误

例4 解方程：log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1.

[错解]原方程变形为log2(x＋1)－log2(x＋4)＝1，

∴log2(x＋1)－log2＝1，∴log2＝log22，

∴＝2，∴x2－2x－15＝0，∴x＝－3或x＝5，

故原方程的解为x＝－3或x＝5.

[错因分析]　解题过程中忽视对数logaN中真数N必须大于0时对数才有意义．实际上，在解答此类题时，要时刻关注对数本身是否有意义．另外，在运用对数运算性质或相关公式时也要谨慎，以防出错．

[正解]∵log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1，∴log4＝1，

∴解得x＝5或x＝－3(舍去)．

∴方程log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1的解为x＝5.

[方法点拨]　在将对数方程化为代数方程的过程中，未知数的范围扩大或缩小就容易产生增根．故解对数方程必须把所求的解代入原方程进行检验，否则易产生增根，造成解题错误．也可以像本题的求解过程这样，在限制条件下去求解．

学科素养

转化与化归思想的应用与综合分析解决问题的能力

例5  (1)设3x＝4y＝36，求＋的值；

(2)已知log23＝a,3b＝7，求log1256.

[分析] (1)欲求＋的值，已知3x＝36,4y＝36，由此两式怎样得到x，y，容易想到对数的定义——故可用等式两端取同底的对数(指对互化)来解决．

(2)已知条件中有指数式，也有对数式，而待计算式为对数式，因此可将指数式3b＝7化为对数式解决．观察所给数字特征、条件式中为2、3、7，又12＝3×22,56＝7×23，故还可以利用换底公式的推论loganbm＝logab，将条件中的对数式log23＝a化为指数式解答．

[解析] (1)由已知分别求出x和y，

∵3x＝36,4y＝36，

∴x＝log336，y＝log436，

由换底公式得：x＝＝，y＝＝，

∴＝log363，＝log364，∴＋＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝log3636＝1.

(2)解法一：因为log23＝a，所以2a＝3.又3b＝7，故7＝(2a)b＝2ab，故56＝23＋ab，又12＝3×4＝2a×4＝2a＋2，

从而log1256＝＝.

解法二：因为log23＝a，所以log32＝.又3b＝7，所以log37＝b.从而

log1256＝＝＝＝＝.

[归纳提升]　1.应用换底公式应注意的事项

(1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．

(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用．

2．对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化．

3．利用换底公式计算、化简、求值的一般思路：

思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数．

思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)→化简、通分、求值．